![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicI. "Матричные факторизации" и редукция скаляров в фильтрованных
G-модулях с перестановочными присоединенными факторами
0. Пусть G -- проконечная группа, k -- полное нетерово
коммутативное локальное кольцо с максимальным идеалом m, и t \in m
-- фиксированный элемент. Наконец, пусть \chi: G \to k^* --
фиксированный мультипликативный характер (гомоморфизм групп),
непрерывный в m-адической топологии k^*.
Перестановочным G-модулем над k называется конечно-порожденный
свободный k-модуль с дискретным действием G, допускающий
k-линейный базис, сохраняемый действием G как подмножество модуля.
Эквивалентным образом, G-модуль над k перестановочен, если он
изоморфен прямой сумме конечного числа G-модулей, индуцированных
с тривиальных модулей k над некотороми открытыми подгруппами
в G. Категория перестановочных G-модулей над k наделяется
тривиальной структурой точной категории (точными тройками в которой
являются расщепимые точные тройки в аддитивной категории
перестановочных G-модулей над k).
Градуированный (целыми числами) G-модуль M над k с конечным
числом ненулевых градуировочных компонент, являющихся конечно-
порожденными свободными k-модулями, называется скрученно
перестановочным, если компонента M^i с действием G, открученным
на \chi^{-i}, является перестановочным G-модулем над k для каждого
целого i. Аддитивная категория скрученно перестановочных
градуированных G-модулей над k наделяется тривиальной точной
структурой (аналогично предыдущему абзацу).
Нас интересует следующая точная категория \F_k. Объекты \F_k -- это
конечно-порожденные свободные k-модули M, снабженные убывающей
фильтрацией F, индексированной целыми числами, и непрерывным
действием группы G, удовлетворяющими следующим условиям. Действие G
должно сохранять фильтрацию F. Присоединенные факторы gr_F^i M =
F^iM/F^{i+1}M должны быть тоже свободными k-модулями, и
градуированный G-модуль gr_F M должен быть скрученно перестановочным.
Точные тройки в \F_k -- это короткие последовательности G-модулей
над k с нулевой композицией, морфизмы в которых сохраняют
фильтрацию F, а тройки присоединенных факторов по F точны в точной
категории скрученно перестановочных градуированных G-модулей над k.
Факторкольцо k/t кольца k по главному идеалу (t) \sub k, порожденному
t, является тоже полным нетеровым локальным кольцом, так что ему
соответствует аналогичная точная категория \F_{k/t} (при построении
которой используется характер G \to (k/t)^*, получаемый как
композиция G \to k^* \to (k/t)^*). Имеется очевидный точный функтор
редукции по модулю t, действующий из точной категории \F_k в точную
категорию \F_{k/t} и переводящий модуль M в модуль М/t = M/tM
с индуцированной фильтрацией и действием G (аналогичные точные
функторы действуют между точными категориями перестановочных
G-модулей и скрученно перестановочных градуированных G-модулей
над k и k/t).
Рассмотрим категорию \H, объектами которой являются диаграммы вида
(U,V) = (V \to U \to V \to U) в категории \F_k, в которых два
отображения V \to U совпадают, а композиции V \to U \to V и
U \to V \to U равны отображениям умножения на t, и при этом после
редукции по модулю t и перехода к присоединенным факторам по
фильтрации F последовательность становится точной в точной категории
скрученно перестановочных градуированных G-модулей над k/t.
Последнее требование эквивалентно тому, чтобы после редукции
по модулю t последовательность становилась точной в точной
категории \F_{k/t}.
Пусть функтор \Delta: \H \to \F_{k/t} сопоставляет диаграмме (U,V)
образ морфизма U/t \to V/t в точной категории \F_{k/t}. Рассмотрим
также функтор \Delta^gr = gr_F \circ \Delta, являющийся композицией
функтора \Delta и перехода к присоединенному фактору по фильтрации F
и сопоставляющий диаграмме (U,V) образ морфизма gr_F U/t \to
gr_F V/t в точной категории скрученно перестановочных градуированных
G-модулей над k/t. Отметим, что функторы редукции /t
и присоединенного фактора gr_F коммутируют на категории
конечно-порожденных фильтрованных k-модулей со свободными
присоединенными факторами.
Пусть \I \sub \H обозначает идеал морфизмов, аннулируемых функтором
\Delta. Другими словами, морфизм диаграмм (U',V') \to (U'',V'')
принадлежит \I тогда и только тогда, когда диагональное отображение
U' \to V'' делится на t. Отметим, что всякий морфизм из \I
аннулируется также функтором \Delta^gr, но обратное совершенно
неверно. Обозначим через \S класс морфизмов в \H или \H/I,
переводимых в изоморфизмы функтором \Delta, или, что эквивалентно,
функтором \Delta^gr. Отметим, что всякий морфизм в \H, аннулируемый
композицией с каким-либо морфизмом или морфизмами из \S (с одной
или даже с двух сторон), принадлежит \I.
1. Наша первая цель -- показать, что класс морфизмов \S является
локализующим (т.е., удовлетворяет условиям Оре) в категории \H/\I.
Пусть (X,Y) \to (K,L) \from (U,V) -- два морфизма в \H, такие что
морфизм \Delta^\gr(U,V) \to \Delta^\gr(K,L) является допустимым
эпиморфизмом скрученно перестановочных градуированных G-модулей
над k/t. Тогда морфизм U\oplus L \to K -- допустимый эпиморфизм
в \F_k. В самом деле, достаточно проверить, что морфизм
gr_F(U)\oplus gr_F(L) \to gr_F(K) является допустимым эпиморфизмом
скрученно перестановочных градуированных G-модулей над k; при этом
ясно, что морфизм gr_F(U)/t \oplus gr_F(L)/t \to gr_F(K)/t является
допустимым эпиморфизмом скрученно перестановочных градуированных
G-модулей над k/t. Остается воспользоваться следующей леммой.
Лемма. Пусть M и N -- перестановочные G-модули над k. Тогда всякий
морфизм \bar f: M/t \to N/t в категории G-модулей над k/t поднимается
до морфизма f: M \to N в категории G-модулей над k (т.е., \bar f
= f/t). При этом морфизм f является допустимым мономорфизмом или
допустимым эпиморфизмом в категории перестановочных модулей тогда и
только тогда, когда таковым является f/t. Далее, последовательность
перестановочных G-модулей над k с нулевой композицией точна тогда и
только тогда, когда точна (в соответствующей точной категории)
ее редукция по модулю t.
Доказательство: G-модуль Hom_k(M,N) над k тоже перестановочный,
G-модуль Hom_{k/t}(M/t,N/t) над k/t перестановочный и изоморфен
редукции G-модуля Hom_k(M,N) над k по модулю t, и ясно, что
отображение редукции Hom_k(M,N) \to Hom_{k/t}(M/t,N/t) отождествляет
подмодуль G-инвариантов Hom_{k/t}(M/t,N/t)^G с редукцией подмодуля
G-инвариантов Hom_k(M,N)^G по модулю t. Это доказывает первое
утверждение. Если теперь M/t \to N/t -- допустимый мономорфизм,
то существует перестановочный G-модуль \bar R над k/t, такой что
G-модуль N/t над k изоморфен прямой сумме M/t и \bar R. Очевидно,
перестановочный G-модуль \bar R можно поднять до перестановочного
G-модуля R над k; поднимая отображение \bar R \to N/t до гомоморфизма
G-модулей R \to N над k, получаем гомоморфизм k-свободных G-модулей
g: M\oplus R \to N над k, становящийся изоморфизмом после редукции
по t. Ввиду леммы Накаямы, гомоморфизм g является изоморфизмом.
Доказательства утверждений про допустимые эпиморфизмы и точные
последовательности аналогичны.
Далее условия Оре проверяются так же, как в разделе 4.2 статьи [MMJ].
2. Начиная с этого момента мы будем предполагать, что элемент t
не является делителем нуля в k.
G-модулях с перестановочными присоединенными факторами
0. Пусть G -- проконечная группа, k -- полное нетерово
коммутативное локальное кольцо с максимальным идеалом m, и t \in m
-- фиксированный элемент. Наконец, пусть \chi: G \to k^* --
фиксированный мультипликативный характер (гомоморфизм групп),
непрерывный в m-адической топологии k^*.
Перестановочным G-модулем над k называется конечно-порожденный
свободный k-модуль с дискретным действием G, допускающий
k-линейный базис, сохраняемый действием G как подмножество модуля.
Эквивалентным образом, G-модуль над k перестановочен, если он
изоморфен прямой сумме конечного числа G-модулей, индуцированных
с тривиальных модулей k над некотороми открытыми подгруппами
в G. Категория перестановочных G-модулей над k наделяется
тривиальной структурой точной категории (точными тройками в которой
являются расщепимые точные тройки в аддитивной категории
перестановочных G-модулей над k).
Градуированный (целыми числами) G-модуль M над k с конечным
числом ненулевых градуировочных компонент, являющихся конечно-
порожденными свободными k-модулями, называется скрученно
перестановочным, если компонента M^i с действием G, открученным
на \chi^{-i}, является перестановочным G-модулем над k для каждого
целого i. Аддитивная категория скрученно перестановочных
градуированных G-модулей над k наделяется тривиальной точной
структурой (аналогично предыдущему абзацу).
Нас интересует следующая точная категория \F_k. Объекты \F_k -- это
конечно-порожденные свободные k-модули M, снабженные убывающей
фильтрацией F, индексированной целыми числами, и непрерывным
действием группы G, удовлетворяющими следующим условиям. Действие G
должно сохранять фильтрацию F. Присоединенные факторы gr_F^i M =
F^iM/F^{i+1}M должны быть тоже свободными k-модулями, и
градуированный G-модуль gr_F M должен быть скрученно перестановочным.
Точные тройки в \F_k -- это короткие последовательности G-модулей
над k с нулевой композицией, морфизмы в которых сохраняют
фильтрацию F, а тройки присоединенных факторов по F точны в точной
категории скрученно перестановочных градуированных G-модулей над k.
Факторкольцо k/t кольца k по главному идеалу (t) \sub k, порожденному
t, является тоже полным нетеровым локальным кольцом, так что ему
соответствует аналогичная точная категория \F_{k/t} (при построении
которой используется характер G \to (k/t)^*, получаемый как
композиция G \to k^* \to (k/t)^*). Имеется очевидный точный функтор
редукции по модулю t, действующий из точной категории \F_k в точную
категорию \F_{k/t} и переводящий модуль M в модуль М/t = M/tM
с индуцированной фильтрацией и действием G (аналогичные точные
функторы действуют между точными категориями перестановочных
G-модулей и скрученно перестановочных градуированных G-модулей
над k и k/t).
Рассмотрим категорию \H, объектами которой являются диаграммы вида
(U,V) = (V \to U \to V \to U) в категории \F_k, в которых два
отображения V \to U совпадают, а композиции V \to U \to V и
U \to V \to U равны отображениям умножения на t, и при этом после
редукции по модулю t и перехода к присоединенным факторам по
фильтрации F последовательность становится точной в точной категории
скрученно перестановочных градуированных G-модулей над k/t.
Последнее требование эквивалентно тому, чтобы после редукции
по модулю t последовательность становилась точной в точной
категории \F_{k/t}.
Пусть функтор \Delta: \H \to \F_{k/t} сопоставляет диаграмме (U,V)
образ морфизма U/t \to V/t в точной категории \F_{k/t}. Рассмотрим
также функтор \Delta^gr = gr_F \circ \Delta, являющийся композицией
функтора \Delta и перехода к присоединенному фактору по фильтрации F
и сопоставляющий диаграмме (U,V) образ морфизма gr_F U/t \to
gr_F V/t в точной категории скрученно перестановочных градуированных
G-модулей над k/t. Отметим, что функторы редукции /t
и присоединенного фактора gr_F коммутируют на категории
конечно-порожденных фильтрованных k-модулей со свободными
присоединенными факторами.
Пусть \I \sub \H обозначает идеал морфизмов, аннулируемых функтором
\Delta. Другими словами, морфизм диаграмм (U',V') \to (U'',V'')
принадлежит \I тогда и только тогда, когда диагональное отображение
U' \to V'' делится на t. Отметим, что всякий морфизм из \I
аннулируется также функтором \Delta^gr, но обратное совершенно
неверно. Обозначим через \S класс морфизмов в \H или \H/I,
переводимых в изоморфизмы функтором \Delta, или, что эквивалентно,
функтором \Delta^gr. Отметим, что всякий морфизм в \H, аннулируемый
композицией с каким-либо морфизмом или морфизмами из \S (с одной
или даже с двух сторон), принадлежит \I.
1. Наша первая цель -- показать, что класс морфизмов \S является
локализующим (т.е., удовлетворяет условиям Оре) в категории \H/\I.
Пусть (X,Y) \to (K,L) \from (U,V) -- два морфизма в \H, такие что
морфизм \Delta^\gr(U,V) \to \Delta^\gr(K,L) является допустимым
эпиморфизмом скрученно перестановочных градуированных G-модулей
над k/t. Тогда морфизм U\oplus L \to K -- допустимый эпиморфизм
в \F_k. В самом деле, достаточно проверить, что морфизм
gr_F(U)\oplus gr_F(L) \to gr_F(K) является допустимым эпиморфизмом
скрученно перестановочных градуированных G-модулей над k; при этом
ясно, что морфизм gr_F(U)/t \oplus gr_F(L)/t \to gr_F(K)/t является
допустимым эпиморфизмом скрученно перестановочных градуированных
G-модулей над k/t. Остается воспользоваться следующей леммой.
Лемма. Пусть M и N -- перестановочные G-модули над k. Тогда всякий
морфизм \bar f: M/t \to N/t в категории G-модулей над k/t поднимается
до морфизма f: M \to N в категории G-модулей над k (т.е., \bar f
= f/t). При этом морфизм f является допустимым мономорфизмом или
допустимым эпиморфизмом в категории перестановочных модулей тогда и
только тогда, когда таковым является f/t. Далее, последовательность
перестановочных G-модулей над k с нулевой композицией точна тогда и
только тогда, когда точна (в соответствующей точной категории)
ее редукция по модулю t.
Доказательство: G-модуль Hom_k(M,N) над k тоже перестановочный,
G-модуль Hom_{k/t}(M/t,N/t) над k/t перестановочный и изоморфен
редукции G-модуля Hom_k(M,N) над k по модулю t, и ясно, что
отображение редукции Hom_k(M,N) \to Hom_{k/t}(M/t,N/t) отождествляет
подмодуль G-инвариантов Hom_{k/t}(M/t,N/t)^G с редукцией подмодуля
G-инвариантов Hom_k(M,N)^G по модулю t. Это доказывает первое
утверждение. Если теперь M/t \to N/t -- допустимый мономорфизм,
то существует перестановочный G-модуль \bar R над k/t, такой что
G-модуль N/t над k изоморфен прямой сумме M/t и \bar R. Очевидно,
перестановочный G-модуль \bar R можно поднять до перестановочного
G-модуля R над k; поднимая отображение \bar R \to N/t до гомоморфизма
G-модулей R \to N над k, получаем гомоморфизм k-свободных G-модулей
g: M\oplus R \to N над k, становящийся изоморфизмом после редукции
по t. Ввиду леммы Накаямы, гомоморфизм g является изоморфизмом.
Доказательства утверждений про допустимые эпиморфизмы и точные
последовательности аналогичны.
Далее условия Оре проверяются так же, как в разделе 4.2 статьи [MMJ].
2. Начиная с этого момента мы будем предполагать, что элемент t
не является делителем нуля в k.
