Жираф большой, ему видней

[posic]

Гротендик написал много букв, пытаясь доказать в естественной общности гипотезы Вейля (очень конкретные утверждения, впервые сформулированные отнюдь не им). Я написал много букв, пытаясь найти естественную общность для доказательства комодульно-контрамодульного соответствия (абстрактного принципа, который придумал я). Теперь ко мне приходят студенты, желающие написать много букв без цели доказательства чего бы то ни было вообще.

При всем понимании, что популярность Бурбаки и Гротендика восходит к временам, сильно предшествующим моему рождению, избежать ощущения себя персонажем, вынесенным в заголовок, довольно трудно. Я выступаю в роли популярного преподавателя, якобы успешно воплотившего этот бурбакистский или гротендичий подход, -- так ко мне и приходят советоваться. Нет бы, пойти к Бейлинсону, Дринфельду, Воеводскому... но до Америки далеко.

Студенты, видимо, сопоставляют мою последнюю лекцию с моим последним препринтом в Архиве, не понимая, что мой нынешний стиль преподавания сложился в начале 90-х годов, а мой нынешний стиль научной работы -- во второй половине 2000-х. Они не ощущают того, что так остро ощущаю я, -- что мой нынешний способ работать в математике есть некая крайность, дальше которой, собственно говоря, почти ничего уже и нет, кроме стенки.

Не знаю уж, может быть, простое распространение биографической информации, на уровне "я побывал в пяти психушках в трех странах" и "я был пять лет безработным после постдоков", могло бы произвести отрезвляющее действие? Вряд ли, конечно -- ведь, в конце концов, библиографическая информация более-менее общедоступна (к MathSciNet'у доступ есть у студентов нашего факультета?), и из нее ясно видно все то же самое.

Плюс к тому, можно заметить, что в юности я писал короткие заметки с простыми доказательствами конкретных утверждений и без всякого этого бурбакизма и гротендичества. Некоторые из них приобрели относительную популярность еще в середине 90-х или к началу 00-х.

Откуда можно сделать вывод, что изначально я вовсе не стремился перегротендичить Гротендика (подразумевается стиль работы, а не уровень достижений), но просто придумать что-нибудь интересное на интересовавшие меня темы. Просто со второй половины 90-х, действительно, постепенно стало ясно, какого стиля требуют эти темы, и во что отливается самое интересное из того, что у меня получается.

Следствием этой, наряду с другими причинами, стало перечисленное через два абзаца выше -- невзирая на указанное в абзаце, следующем после того. Другим следствием стало понимание, что предмет велик, стилей работы в нем есть разных много, какой из них вам лучше подойдет -- вы не можете заключить из детских увлечений популярными героями, и здесь надо просто найти себе подходящий кусок работы и делать его, а подвиги потом сами получатся.

Comments

[oskar-808.livejournal.com]

Тут важен вопрос выбора разумной общности, у каждого она своя. Скажем, можно было бы изучать предкатегории(направленные графы с композицией, которая может не быть ассоциативной и не обладать тождественными стрелками). Также можно было бы изучать слабые предкатегории(то же, только композиция определена лишь для некоторого подмножества стрелок)(прошу прощения за терминологию, я придумал эти понятия только что, лишь для иллюстрации идеи). Я сразу отбросил изучение этих вещей, потому что не знаю ни одного(содержательного) примера слабой предкатегории, отличной от категории. Возможно, когда-нибудь я об этом пожалею, узнав, что такие примеры всё же существуют и требуют внимания.

Примеров многоарных операций не то чтобы уж много знаю, но они по крайней мере существуют. А вот на счёт магм я могу совсем конкретный пример привести. Например, H-пространство - это унитальная магма в Toph. Высшие гомотопические группы абелевы потому, что на n-мерной сфере(n>1) есть структура абелевой группы в Toph^{op}. Введение категории Mag(A)(хорошо бы считать A топосом) было отчасти мотивировано этими примерами.

[posic.livejournal.com]

Вся моя жизнь сложилась бы по-другому и гораздо скучнее, не найди я 14 лет назад в старинном мемуаре 1965-го года в библиотеке один совершенно конкретный пример бесконечноарной операции.

[(Anonymous)]

а что это за пример бесконечноарной операции, если не секрет?

[posic.livejournal.com]

Имеются в виду контрамодульные операции бесконечного суммирования. Скажем, у вас есть векторное пространство P над полем k, и всякой последовательности элементов p₀, p₁, p₂, ... ∈ P сопоставлен элемент, обозначаемый через ∑_i=0^∞ xⁱ p_i ∈ P.

Такое пространство P называется "контрамодулем над топологическим кольцом формальных степенных рядов k[[x]]" (или над дискретной коалгеброй над k, двойственной к этой топологической алгебре). Определение контрамодуля над коалгеброй (над коммутативным кольцом, а не над полем, но это уже детали) я и нашел в мемуаре Эйленберга и Мура 65-го года.

[posic.livejournal.com]

А так -- ну да, я знаю пару теорем, которые можно доказать про H-пространства в таком минималистском определении. Но к каким целям должна стремиться и какие теоремы должна доказывать общая теория категорий магм в топосах -- для меня загадка. Вы, наверное, это понимаете.