Алгебра замкнутых форм на диске кошулева

[posic]

http://mi.mathnet.ru/rus/faa/v46/i3/p71

Английская версия доступна на Архиве -- http://arxiv.org/abs/1007.5010

Comments

[(Anonymous)]

Замечательно, что есть на русском, правда доступна для всех желающих станет через 3 года.

[pirkosha.livejournal.com]

From the point of view of a homological algebraist, topological algebra as such
is a treacherous ground which is better avoided whenever possible.

Лёня, а можно объяснить, почему так?

[posic.livejournal.com]

Это вопрос не логической аргументации, а ощущения от предмета. В моем случае, это ощущение довольно старое; юзер roma может подтвердить, что я говорил что-то подобное около 1990-го года, что ли, т.е. в возрасте, наверное, меньше 18-ти. Так или иначе, у меня это ощущение сохранилось и вот теперь доехало до публикации в статье в Функциональном анализе. При этом можно сказать, что моя научная карьера в немалой степени была и остается построена на противоречии одновременного притяжения к этой зыбкой почве и осознания ее зыбкости.

Мои контрамодули, например -- это такой специальный способ иметь топологическую алгебру без топологической алгебры. Полуалгебры -- способ заменить топологическую алгебру Ли Вирасоро/Каца-Муди на дискретную полуобертывающую-полукообертывающую.

Можно привести какие-то доводы, но они не будут сами по себе слишком убедительны. Например, можно сказать, что вообще всякая топология (не гомотопическая) -- очень зыбкая почва. В отличие от произвольной группы, поля, коммутативного кольца, ассоциативного кольца и т.д., произвольное топологическое пространство -- объект достаточно ужасный. Реально работать и иметь дело можно только с очень конкретными, отчетливо отграниченными, достаточно узкими классами топологических пространств. Есть какие-нибудь локально компактные вполне несвязные топологические пространства, есть CW-комплексы, и т.д.

Добавление алгебраической структуры (топологическая группа и т.п.) улучшает ситуацию не настолько кардинально, как может на первый взгляд показаться, и вывод тот же самый: чтобы что-то можно было делать, класс топологических алгебраических структур должен быть конкретным, узким и отчетливо отграниченным. Мера зыбкости каждого отдельного участка этой почвы должен быть тщательно исследована и проверена, прежде чем по этому участку можно будет ходить.

Можно указать на примеры неожиданно возникающих проблем "как бы на ровном месте" и ошибок в работах разных авторов. Скажем, насколько я мог понять из книжек Бурбаки, факторпространство полного топологического векторного пространства по замкнутому подпространству не обязано быть полным. Верно ли это утверждение в частном случае топологических векторных пространств с линейной топологией, я просто не знаю. Ряд утверждений, приводимых без доказательств в работе Бейлинсона, упирается в этот вопрос (ответить на который не мог, когда я его спрашивал, и сам Саша). Характерно, что в этой его работе, в свою очередь, указываются и исправляются ошибки из ранее вышедшей книжки...

Другой пример -- ошибки и трудности в работах Гайцгори-Каждана по группам двумерных петель. Там используется язык не топологической алгебры, а инд- и про-объектов -- близкий, но на вид как бы более алгебраический; оказывается, что это совершенно не помогает. Категории векторных пространств расширяются до абелевых, но почва остается зыбкой.
http://arxiv.org/abs/math/0302174
http://arxiv.org/abs/math/0406282

[buddha239.livejournal.com]

Что-то я, наверное, не понимаю: что такое полное топологическое пространство?

[pirkosha.livejournal.com]

Для топологических пространств полнота смысла не имеет. Она имеет смысл для так называемых "равномерных" пространств - топологических пространств с дополнительной структурой, которая, грубо говоря, позволяет "сравнивать" между собой окрестности РАЗНЫХ точек. Равномерная структура есть, в частности, на всех метрических пространствах, а также на всех топологических абелевых группах (а на неабелевых их даже две). Для топологической абелевой группы (G,+) полнота определяется так: будем называть направленность (x_i) (т.е. последовательность, занумерованную произвольным частично упорядоченным направленным множеством I) направленностью Коши, если для каждой окрестности нуля U\subset G найдется такое i_0\in I, что для всех i,j>i_0 выполнено x_i-x_j\in U. Группа G называется полной, если она хаусдорфова и всякая направленность Коши сходится. Если G метризуема, то вместо направленностей Коши достаточно рассматривать последовательности Коши. Если G - нормированное пространство, то полнота G в указанном выше смысле равносильна его полноте как метрического пространства.

[pirkosha.livejournal.com]

Примерно понятно... Интуитивное ощущение, что если снабдить алгебраические объекты топологией, то жизнь от этого станет только сложнее, поэтому таких вещей лучше по возможности избегать. Правильно?

Если так, то вообще-то есть немало примеров, когда вводить топологию на алгебраических объектах очень полезно. Особенно ярко это проявляется в комплексно-аналитической геометрии. Можно вспомнить, например, простое доказательство теоремы Грауэрта о прямом образе (Kiehl & Verdier), работы Серра 50-х гг. и т.п. (см. книгу Banica, Stanasila "Algebraic methods in the global theory of complex spaces" и последнюю главу книги Demailly). Другая серия примеров - последние работы Waldmann'a по "неформальному" деформационному квантованию.

чтобы что-то можно было делать, класс топологических алгебраических структур должен быть конкретным, узким и отчетливо отграниченным

Да, конечно. Произвольное (пусть даже локально выпуклое) топологическое векторное пространство или топологическая алгебра - вещь слишком общая. Но вот, скажем, банаховы алгебры или ядерные алгебры Фреше (два почти не пересекающихся класса) - уже вполне приличные товарищи.

Верно ли это утверждение в частном случае топологических векторных пространств с линейной топологией, я просто не знаю

Линейные топологии - особая статья. Функциональные аналитики их вообще не изучают, т.к. для аналитика основное поле - это поле действительных или комплексных чисел (ну или p-адических, но это уже считается экзотикой) - короче, какое-нибудь нормированное поле. Но если топология на основном поле отлична от дискретной, то векторное пространство с линейной топологией вообще не является топологическим векторным пространством (умножение на скаляр разрывно). Поэтому искать информацию о линейных топологиях в книжках с названием "Топологические векторные пространства" бессмысленно - там ничего об этом не будет. Вообще мое (возможно, ошибочное) ощущение таково, что линейная топология - вещь скорее алгебраическая, нежели аналитическая.

[posic.livejournal.com]

> Примерно понятно... Интуитивное ощущение, что если снабдить алгебраические объекты топологией, то жизнь от этого станет только сложнее, поэтому таких вещей лучше по возможности избегать. Правильно?

Нет. Что жизнь станет сложнее -- это только хорошо (написал же я, в конце концов, книжку про полуконтрамодули над полуалгебрами над кокольцами над некоммутативными кольцами). Просто сложная жизнь должна быть увлекательной и интересной сложной жизнью, а не невозможной сложной жизнью, состоящей из одних ошибок, подвохов и проблем. Какие-то подвохи и проблемы могут быть, но они должны образовывать скорее закрытый, чем открытый список, и возможность разработать эффективные средства преодоления препятствий должна существовать.

Меня как алгебраиста интересуют именно классы математических объектов, с которыми можно интересно работать. Класс топологических абелевых групп (векторных пространств, и т.п.) в целом таковым не является (как мы согласились). Если речь заходит о конкретных узких подклассах, то нужно обсуждать каждый из них по-отдельности (какие у них свойства, где они возникают, какие там есть интересные примеры и т.д.). Конечно, я при этом предпочитаю вещи с алгебраическим, а не аналитическим привкусом (такие как, например, линейная топология).

Вообще, если ваш вопрос был о причинах невысокой популярности гомологического функционального анализа, то напрашивающийся ответ такой, что людей, склонных одновременно к алгебре и к анализу в такой степени, чтобы заниматься этой тематикой, вообще немного. Говорят, что и деятельность на стыке алгебры и анализа в комплексно-аналитической геометрии (аналитические пучки и т.п.) не очень-то развивается.

[pirkosha.livejournal.com]

Вообще, если ваш вопрос был о причинах невысокой популярности гомологического функционального анализа, то напрашивающийся ответ такой, что людей, склонных одновременно к алгебре и к анализу в такой степени, чтобы заниматься этой тематикой, вообще немного.

Нет-нет, вопрос был не о том. Я просто хотел понять смысл той фразы из Вашего препринта, не более того. И Вы вполне исчерпывающе ответили, спасибо.

А насчет невысокой популярности гомологического функционального анализа - тут я и сам, кажется, знаю ответ. Первую причину Вы назвали, а вторая в том, что в гомологической теории банаховых (именно банаховых!) алгебр, скажем так, слишком уж много очевидных гробов. Ну не странно ли, что мы не можем сосчитать глобальную размерность алгебры непрерывных функций на отрезке? А про (ко)гомологии Хохшильда конкретных банаховых алгебр известно лишь (за редкими исключениями), когда они равны нулю, а когда нет. А чему они равны, если не нулю, обычно неизвестно (как правило, это нечто нехаусдорфово). Напрашивается вывод, что для банаховых алгебр традиционные гомологические инварианты - вещь не настолько информативная, насколько хотелось бы. С ядерными алгебрами Фреше, кажется, ситуация заметно лучше, хотя и изучена меньше.