Квазинаивное ко-контра соответствие
Dec. 15th, 2012 07:43 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНовые идеи: 1. нельзя ли доказать, по образцу http://posic.livejournal.com/2012/11/06/ , что производная категория контрагерентных копучков на нетеровой схеме (конечной размерности Крулля) компактно порождена?
Для полуотделимой нетеровой схемы (даже без предположения о размерности Крулля) мы это знаем, поскольку, согласно "наивному ко-контра соответствию", эта категория эквивалентна производной категории квазикогерентных пучков, для которой утверждение хорошо известно (см. предыдущий постинг). Произвольную нетерову схему покрыть полуотделимыми и рассуждать, как в постинге по ссылке.
Конечность размерности Крулля в отсутствие полуотделимости предполагать необходимо, потому что с локально контраприспособленными контрагерентными копучками иначе я работать не умею, а для копучков локально кокручения иначе нет "наивного ко-контра соответствия" на полуотделимой открытой подсхеме.
Еще лучше: 2. нельзя ли построить эквивалентность (неограниченных) производных категорий квазикогерентных копучков и контрагерентных копучков на нетеровой схеме конечной размерности Крулля (без предположения полуотделимости -- "квазинаивное ко-контра соответствие")?
Я бы рассуждал так: выберем конечную вялую резольвенту K пучка O. Имея гомотопически инъективный комплекс инъективных квазикогерентных пучков, сопоставим ему тотальный комплекс бикомплекса контрагерентных копучков Hom в него из комплекса K. Имея гомотопически проективный комплекс проективных контрагерентных копучков (лучше -- локально кокручения), сопоставим ему тотальный комплекс бикомплекса его контратензорных произведений с комплексом пучков K.
Это очевидно два сопряженных функтора; проверку того, что морфизмы сопряжения являются квазиизоморфизмами, надо как-нибудь свести к случаю полуотделимой/аффинной открытой подсхемы (где воспользоваться уже известным).
Для полуотделимой нетеровой схемы (даже без предположения о размерности Крулля) мы это знаем, поскольку, согласно "наивному ко-контра соответствию", эта категория эквивалентна производной категории квазикогерентных пучков, для которой утверждение хорошо известно (см. предыдущий постинг). Произвольную нетерову схему покрыть полуотделимыми и рассуждать, как в постинге по ссылке.
Конечность размерности Крулля в отсутствие полуотделимости предполагать необходимо, потому что с локально контраприспособленными контрагерентными копучками иначе я работать не умею, а для копучков локально кокручения иначе нет "наивного ко-контра соответствия" на полуотделимой открытой подсхеме.
Еще лучше: 2. нельзя ли построить эквивалентность (неограниченных) производных категорий квазикогерентных копучков и контрагерентных копучков на нетеровой схеме конечной размерности Крулля (без предположения полуотделимости -- "квазинаивное ко-контра соответствие")?
Я бы рассуждал так: выберем конечную вялую резольвенту K пучка O. Имея гомотопически инъективный комплекс инъективных квазикогерентных пучков, сопоставим ему тотальный комплекс бикомплекса контрагерентных копучков Hom в него из комплекса K. Имея гомотопически проективный комплекс проективных контрагерентных копучков (лучше -- локально кокручения), сопоставим ему тотальный комплекс бикомплекса его контратензорных произведений с комплексом пучков K.
Это очевидно два сопряженных функтора; проверку того, что морфизмы сопряжения являются квазиизоморфизмами, надо как-нибудь свести к случаю полуотделимой/аффинной открытой подсхемы (где воспользоваться уже известным).
