Вечная тема (проективные-инъективные объекты)

[posic]

http://mathoverflow.net/questions/103252/why-are-injective-modules-more-complicated-than-projective-modules
http://mathoverflow.net/questions/8134/existence-of-projective-resolutions-in-abelian-categories
http://mathoverflow.net/questions/38080/what-are-examples-of-cogenerators-in-r-mod

"Почему инъективные сложнее. Почему проективных нету. Почему проективных нету. Почему инъективные сложнее." И так далее.

Не сложнее они, с большинства точек зрения. Нету потому, что вы не там их ищете. Все есть, где ему положено быть. Уметь потому что надо. Читать, запоминать и думать потому что надо.

Жалко, что обсуждение математики вообще и гомологической алгебры в частности все больше превращается в пережевывание общих мест, толчею воды в ступе какую-то бессмысленную. Что никто не знает ничего, не замечает, не вникает ни во что.

Вот вам еще одно откровение: инъективные модули лишь в половине контекстов двойственно-аналогичны проективным. В другой половине случаев, они двойственно-аналогичны плоским.

И остановимся пока на этом. Вечер старческого брюзжания окончен, спасибо за внимание.

Comments

[bbixob.livejournal.com]

off-topic...

не могли бы Вы посоветовать, какие гомологические конструкции могли бы быть
применимы в следующей очень вырожденной ситуации.

У меня есть пучок множеств на категории С с топологией Гротендика,
принимающий всего два значения --- пустое множество и одноэлементное множество, и
категория С является частичным порядком (но не происходит из топологического пространства).
Tаким образом, этот пучок являтся просто монотонным отображением из некоторого частичного
порядка в двуэлементный порядок 0<1.

На самом деле---это пучок соответствует(является) ультрафильтром с некоторыми
свойствами и имеет чисто теоретико-множественное происхождение.

Мне хотелось бы понять, что можно пытаться сделать с таким пучком. Те (ко)гомологии,
про которые я слышал, обычно рассматривают пучки со значениями в Абелевой категории...

Я не совсем понимаю, насколько такая формулировка вопроса осмыслена, и
если нет, заранее прошу прощения.

[posic.livejournal.com]

Из пучка множеств можно сделать пучок абелевых групп, это несложно. Может быть, даже разными способами. Но, как минимум, можно просто свободно натянуть абелеву группу на каждое множество-значение и пучковизировать получившийся предпучок.

Другое дело, что вычислять когомологии ультрафильтра -- звучит как несколько странное занятие (на мой совершенно сторонний и смутно улавливающий, о чем вообще идет речь) слух.

[bbixob.livejournal.com]

Но, как минимум, можно просто свободно натянуть абелеву группу на каждое множество-значение

пустая абелева группа ведь группой не считается? поэтому в данном случае если
натянуть на пустое множество и одноэлементное множество группу, получится одна
и та же группа...

к слову, имеет ли смысл пытаться как-то модифицировать определения производных функторов дельта-функторов, скажем как они изложены у Гротендика ? Категория значений не абелева, но достаточно маленькая, и наверное в ней можно определить(постулировать) понятие короткой точной последовательности.

Другое дело, что вычислять когомологии ультрафильтра -- звучит как несколько странное занятие (на мой совершенно сторонний и смутно улавливающий, о чем вообще идет речь) слух.

да...но вдруг получится определить какой-нибудь новый инвариант...или даже посчитать.

[posic.livejournal.com]

Если натянуть на пустое множество абелеву группу, получится нулевая группа, {0}. Если натянуть на одноэлементное множество абелеву группу, получится группа всех целых чисел, Z.

Гомологическая алгебра в неаддитивных категориях -- обширная деятельность, но я в ней не разбираюсь. Ознакомление с ней я бы начал с изучения википедической статьи http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_category