Как объяснить ребенку, что такое эллиптические кривые и производные категории

[posic]

Из-под замка:

0. Ищется в интернете картинка с кубической кривой в вещественной плоскости. Можно даже две -- с одной связной компонентой и с двумя. Вот: это эллиптические кривые. (Например, в статье http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve есть хорошие картинки.)

1. Бывает на числах операция сложения, бывает на ненулевых числах -- умножения. А есть еще целое семейство похожих операций, следующий уровень. С каждым числом можно связать двухместную операцию на неком множестве. Числа образуют прямую, а в этом более сложном случае, получаются кривые. (Если последует вопрос, можно показать картинку, как складывать точки на кубической кривой.)

2. Бывают две отдельные точки, из одной в другую не пройдешь, не выходя за их пределы. А бывает окружность, на ней между двумя точками можно пройти двумя способами -- по часовой стрелке и против. А еще бывает сфера. А еще бывает тор, на нем есть окружности разных типов. Люди это изучали, и придумали производные категории.

Comments

[posic.livejournal.com]

О, я совсем позабыл про то старое объяснение. Даже сейчас не могу сообразить, как бы это лучше сказать.

[roma.livejournal.com]

можно еще говорить про гомотопическую алгебру, что это наука про то как важно не только что А это Б, но также важно помнить как именно мы отождествили А с Б, и помнить про отождествления между отождествлениями, и отождествления между отождествлениями между отождествлениями и т.п., так сказать оперировать с ментальным актом идентификации А и Б как с новой вещью, с которой можно оперировать (почти) так же как с исходными А и Б.

Можно дальше спекулировать в том духе, что вообще мышление так устроено: при слове "кошка" обычно не вспоминают всех виденных кошек, и даже не столько думают о признаках, отличающих кошек (хотя если попросить определить что такое кошка станут формулировать такие признаки) -- т.е. на самом деле не оперируют с классом эквивалентности, а с внутренней структурой класса и взаимоотношениями с другими классами, так сказать важны не объекты,
и не классы изоморфизма, а морфизмы, или даже 2-морфизмы... Но надо признать, что спекуляция несколько размытая.

[posic.livejournal.com]

Это гуманитарщина такая, да (неплохая).

А мои два объяснения решают разные задачи. Если человек, который совсем никакой (современной научной) математики не знает, спрашивает что такое гомологическая алгебра/производные категории/..., можно на пальцах что-нибудь из топологии объяснить. Скажем, какие бывают замкнутые кривые на торе, и т.п.

(Однажды я рассказал моей родственнице, музыканту-come-медсестре, формулировку теоремы Эйлера про эйлерову характеристику выпуклых многогранников, в качестве объяснения, "чем я занимаюсь". Ну, в таких случаях, как известно, чувствуешь себя педагогическим гением ровно до тех пор, пока не слышишь обратно, как обучаемый тебе излагает свои впечатления. Много лет спустя она спрашивала меня, типа, по-прежнему ли я занимаюсь, ну вот этим, про многогранники. Ср. самый первый коммент к этому постингу, выше.)

А что исчезает разница между X вложенным в Y и Y вложенным в X, это можно рассказывать человеку, который уже знает чего-то. Что такое топологическое пространство, например, или группа, хоть что-нибудь.