Вопрос по элементарной теории групп
May. 12th, 2012 09:16 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicРодившийся из путаницы, случившейся в ходе обсуждения одной вступительной задачи в магистратуру нашего факультета, имевшего место в поезде Севастополь-Москва.
Пусть у некой группы множество классов сопряженности конечно. Следует ли из этого, что сама группа конечна?
Мне почему-то смутно помнится, что я когда-то знал совсем несложное доказательство этого, но, может быть, я путаю с каким-то другим вопросом. Единственное, что удается вспомнить -- это что если в группе G есть подгруппа H конечного индекса, то в H содержится подгруппа N, имеющая конечный индекс и нормальная в G. Это я умею доказывать, конечно, но связи со сформулированным выше вопросом не вижу.
Непонятен уже такой простейший частный случай. Допустим, все неединичные элементы некой группы сопряжены. Следует ли из этого, что группа конечна (и, соответственно, имеет порядок ≤ 2)?
Пусть у некой группы множество классов сопряженности конечно. Следует ли из этого, что сама группа конечна?
Мне почему-то смутно помнится, что я когда-то знал совсем несложное доказательство этого, но, может быть, я путаю с каким-то другим вопросом. Единственное, что удается вспомнить -- это что если в группе G есть подгруппа H конечного индекса, то в H содержится подгруппа N, имеющая конечный индекс и нормальная в G. Это я умею доказывать, конечно, но связи со сформулированным выше вопросом не вижу.
Непонятен уже такой простейший частный случай. Допустим, все неединичные элементы некой группы сопряжены. Следует ли из этого, что группа конечна (и, соответственно, имеет порядок ≤ 2)?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2012-05-12 05:20 pm (UTC)no subject
Date: 2012-05-12 05:26 pm (UTC)Хотя пока что не вполне понятно. Что такое HNN-расширение, я посмотрел в интернете, и теперь мне кажется, что два элемента можно сделать сопряженными в объемлющей группе, если они имеют в исходной группе одинаковый порядок. Видимо, ваше утверждение относится к группам, у которых все нетривиальные элементы имеют бесконечный порядок? Тогда нужно еще проверять, что это свойство сохраняется при HNN-расширениях.
Но, по крайней мере, ответ я понял: утверждается, что он отрицательный.
no subject
Date: 2012-05-12 05:29 pm (UTC)no subject
Date: 2012-05-12 05:37 pm (UTC)no subject
Date: 2012-05-12 05:31 pm (UTC)