Контрагерентность -- нелокальное условие?
Apr. 29th, 2012 07:11 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть A -- коммутативное кольцо, f и g -- два его элемента, порождающие единичный идеал, M и N -- модули над A[f−1] и A[g−1], соответственно. Предположим, что модули M и N контраприспособлены (т.е. ExtA1(A[h−1],M) = 0 = ExtA1(A[h−1],N) для всех h∈A) или даже являются A-модулями кокручения.
Пусть имеется изоморфизм A-модулей HomA(A[g−1],M) = HomA(A[f−1],N) (обозначим этот A-модуль через K). Существует ли тогда (по возможности, контраприспособленный) A-модуль P, такой что M = HomA(A[f−1],P) и N = HomA(A[g−1],P)?
Если модуль P существует, его можно восстановить как коядро морфизма K → M⊕N. В общем случае, такое коядро является решением нашей задачи тогда и только тогда (кажется), когда морфизм K → M⊕N инъективен. Инъективен ли он в общем случае? Что-то я не вижу сейчас никаких причин для этого.
В геометрической терминологии, это означает, что у нас имеются контрагерентные копучки, связанные с M и N, соответственно на Spec A[f−1] и Spec A[g−1], есть отождествление их ограничений на пересечение, и все это можно даже однозначным образом продолжить до копучка O-модулей на Spec A. Но ниоткуда не следует, что этот копучок на Spec A контрагерентен.
P.S. Вот еще как про это можно думать. Пусть схема X представлена в виде объединения двух своих открытых подсхем U, V ⊂ X, и пусть jU: U→X и jV: V→X -- соответствующие отображения вложения. Нам понадобится еще обозначение для отображения вложения k: U∩V → X. Пусть M и N -- квазикогерентные пучки соответственно на U и V, ограничения которых на U∩V изоморфны квазикогерентному пучку L. Тогда склеенный пучок на X определяется как ядро сюръективного морфизма квазикогерентных пучков jU*M ⊕ jV*N → k*L.
В случае же контрагерентных копучков, пока все выглядит так, что соответствующий (двойственный) морфизм не будет допустимым мономорфизмом в точной категории контрагерентных копучков на X. Так что результатом склейки двух контрагерентных копучков с покрытия двумя открытыми множествами является не копучок, а двучленный комплекс контрагерентных копучков.
Пусть имеется изоморфизм A-модулей HomA(A[g−1],M) = HomA(A[f−1],N) (обозначим этот A-модуль через K). Существует ли тогда (по возможности, контраприспособленный) A-модуль P, такой что M = HomA(A[f−1],P) и N = HomA(A[g−1],P)?
Если модуль P существует, его можно восстановить как коядро морфизма K → M⊕N. В общем случае, такое коядро является решением нашей задачи тогда и только тогда (кажется), когда морфизм K → M⊕N инъективен. Инъективен ли он в общем случае? Что-то я не вижу сейчас никаких причин для этого.
В геометрической терминологии, это означает, что у нас имеются контрагерентные копучки, связанные с M и N, соответственно на Spec A[f−1] и Spec A[g−1], есть отождествление их ограничений на пересечение, и все это можно даже однозначным образом продолжить до копучка O-модулей на Spec A. Но ниоткуда не следует, что этот копучок на Spec A контрагерентен.
P.S. Вот еще как про это можно думать. Пусть схема X представлена в виде объединения двух своих открытых подсхем U, V ⊂ X, и пусть jU: U→X и jV: V→X -- соответствующие отображения вложения. Нам понадобится еще обозначение для отображения вложения k: U∩V → X. Пусть M и N -- квазикогерентные пучки соответственно на U и V, ограничения которых на U∩V изоморфны квазикогерентному пучку L. Тогда склеенный пучок на X определяется как ядро сюръективного морфизма квазикогерентных пучков jU*M ⊕ jV*N → k*L.
В случае же контрагерентных копучков, пока все выглядит так, что соответствующий (двойственный) морфизм не будет допустимым мономорфизмом в точной категории контрагерентных копучков на X. Так что результатом склейки двух контрагерентных копучков с покрытия двумя открытыми множествами является не копучок, а двучленный комплекс контрагерентных копучков.
