![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть C -- кокольцо над некоммутативным кольцом A, такое что C является плоским левым и правым A-модулем, а A имеет конечную слабую гомологическую размерность. Отметим, что из последнего условия следует, что точная категория левых A-модулей кокручения имеет конечную гомологическую размерность.
Определение: левый C-контрамодуль A-кокручения P называется C/A-проективным (C-контрамодулем A-кокручения), если функтор гомоморфизмов C-контрамодулей из P переводит короткие точные последовательности А-инъективных C-контрамодулей в короткие точные последовательности абелевых групп. Например, C-контрамодули, индуцированные с A-модулей кокручения, относятся к этому классу.
Лемма (ср. Semimodules, Lemma 3.1.3(b)): всякий C-контрамодуль A-кокручения может быть вложен допустимым мономорфизмом (в точной категории C-контрамодулей A-кокручения) в A-инъективный C-контрамодуль. При этом вложение можно выбрать так, чтобы коядро было конечно итерированным расширением C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения.
Лемма (ср. Semimodules, Lemma 5.3.1(b)): левый C-контрамодуль A-кокручения P является C/A-проективным C-контрамодулем A-кокручения тогда и только тогда, когда ExtC,i(P,Q) = 0 для всех i > 0 и всех A-инъективных левых C-контрамодулей Q. В частности, функтор HomC в A-инъективный левый C-контрамодуль Q переводит короткие точные последовательности C/A-проективных левых C-контрамодулей A-кокручения в короткие точные последовательности абелевых групп. Класс C/A-проективных левых C-контрамодулей A-кокручения замкнут относительно расширений и перехода к ядру сюръекции, являющемуся A-модулем кокручения.
Лемма (ср. Semimodules, Lemma 9.1.2(b)): Всякий С-контрамодуль A-кокручения является факторконтрамодулем некоторого C/A-проективного C-контрамодуля A-кокручения по A-инъективному C-контрамодулю.
Доказательство: пусть P -- C-контрамодуль A-кокручения и P → J -- допустимый мономорфизм из него в A-инъективный C-контрамодуль, коядро которого является C/A-проективным C-контрамодулем A-кокручения. Пусть K -- коядро морфизма P → J и пусть HomA(C,J) → J -- морфизм контрадействия. Тогда ядро F композиции HomA(C,J) → J → K, будучи расширением двух A-модулей кокручения, само является A-модулем кокручения, и следовательно, C-контрамодулем A-кокручения. Композиция отображений F → HomA(C,J) → J пропускается через вложение P → J, так что имеется естественный (сюръективный) морфизм C-контрамодулей A-кокручения F → P. Ядро его изоморфно ядру отображения HomA(C,J) → J и является, следовательно, A-инъективным C-контрамодулем. C-контрамодуль A-кокручения F, будучи ядром сюръективного отображения C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения HomA(C,J) → K, является C/A-проективным C-контрамодулем A-кокручения.
Следствие (ср. Semimodules, Remark 9.1): всякий C/A-проективный C-контрамодуль A-кокручения можно получить из С-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения, с помощью операций расширения, перехода к ядру сюръекции, являющемуся C-контрамодулем A-кокручения, и перехода к прямому слагаемому.
Следствие: для любого C-комодуля кокручения M, C-контрамодуль ΨC(M) = HomC(C,M) является A-модулем кокручения.
Доказательство: это следствие не из предыдущего следствия, а из следствия в конце (и других результатов) предыдущего постинга. (Альтернативным образом, можно прямо проверить, что HomA(F,HomC(C,M)) = HomC(C⊗AF, M) является точным функтором на точной категории плоских A-модулей F.)
Определение: левый C-контрамодуль A-кокручения P называется C/A-проективным (C-контрамодулем A-кокручения), если функтор гомоморфизмов C-контрамодулей из P переводит короткие точные последовательности А-инъективных C-контрамодулей в короткие точные последовательности абелевых групп. Например, C-контрамодули, индуцированные с A-модулей кокручения, относятся к этому классу.
Лемма (ср. Semimodules, Lemma 3.1.3(b)): всякий C-контрамодуль A-кокручения может быть вложен допустимым мономорфизмом (в точной категории C-контрамодулей A-кокручения) в A-инъективный C-контрамодуль. При этом вложение можно выбрать так, чтобы коядро было конечно итерированным расширением C-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения.
Лемма (ср. Semimodules, Lemma 5.3.1(b)): левый C-контрамодуль A-кокручения P является C/A-проективным C-контрамодулем A-кокручения тогда и только тогда, когда ExtC,i(P,Q) = 0 для всех i > 0 и всех A-инъективных левых C-контрамодулей Q. В частности, функтор HomC в A-инъективный левый C-контрамодуль Q переводит короткие точные последовательности C/A-проективных левых C-контрамодулей A-кокручения в короткие точные последовательности абелевых групп. Класс C/A-проективных левых C-контрамодулей A-кокручения замкнут относительно расширений и перехода к ядру сюръекции, являющемуся A-модулем кокручения.
Лемма (ср. Semimodules, Lemma 9.1.2(b)): Всякий С-контрамодуль A-кокручения является факторконтрамодулем некоторого C/A-проективного C-контрамодуля A-кокручения по A-инъективному C-контрамодулю.
Доказательство: пусть P -- C-контрамодуль A-кокручения и P → J -- допустимый мономорфизм из него в A-инъективный C-контрамодуль, коядро которого является C/A-проективным C-контрамодулем A-кокручения. Пусть K -- коядро морфизма P → J и пусть HomA(C,J) → J -- морфизм контрадействия. Тогда ядро F композиции HomA(C,J) → J → K, будучи расширением двух A-модулей кокручения, само является A-модулем кокручения, и следовательно, C-контрамодулем A-кокручения. Композиция отображений F → HomA(C,J) → J пропускается через вложение P → J, так что имеется естественный (сюръективный) морфизм C-контрамодулей A-кокручения F → P. Ядро его изоморфно ядру отображения HomA(C,J) → J и является, следовательно, A-инъективным C-контрамодулем. C-контрамодуль A-кокручения F, будучи ядром сюръективного отображения C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения HomA(C,J) → K, является C/A-проективным C-контрамодулем A-кокручения.
Следствие (ср. Semimodules, Remark 9.1): всякий C/A-проективный C-контрамодуль A-кокручения можно получить из С-контрамодулей, индуцированных с A-модулей кокручения, с помощью операций расширения, перехода к ядру сюръекции, являющемуся C-контрамодулем A-кокручения, и перехода к прямому слагаемому.
Следствие: для любого C-комодуля кокручения M, C-контрамодуль ΨC(M) = HomC(C,M) является A-модулем кокручения.
Доказательство: это следствие не из предыдущего следствия, а из следствия в конце (и других результатов) предыдущего постинга. (Альтернативным образом, можно прямо проверить, что HomA(F,HomC(C,M)) = HomC(C⊗AF, M) является точным функтором на точной категории плоских A-модулей F.)
