![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть M и I -- два квазикогерентных пучка над схемой X. Для любой аффинной открытой подсхемы j: U → X положим FU = HomOX(j*j*M, I). Поскольку кольцо OX(U) действует эндоморфизмами пучка j*j*M, группа FU имеет естественную структуру OX(U)-модуля. Мне кажется, что
1) для любых двух вложенных аффинных открытых подсхем V ⊂ U ⊂ X, имеет место естественный изоморфизм FV = HomO(U)(O(V), FU);
2) если Ext1(j*j*M, I) = 0 в абелевой категории квазикогерентных пучков на X для любой открытой аффинной подсхемы j: U → X, то ExtO(U)1(O(V), FU) = 0 для любых вложенных открытых аффинных подсхем V ⊂ U ⊂ X.
Таким образом, в этих предположениях U → FU оказывается контрагерентным копучком на X. Остается еще двойственный функтор придумать -- (контра)тензорное произведение пучка на копучок c получением пучка.
... А, вот же она, двойственная конструкция. Пусть M -- квазикогерентный пучок и F -- контрагерентный копучок на X. Для каждой аффинной открытой подсхемы j: U → X рассмотрим квазикогерентный пучок j* (j*M ⊗OU FU), где FU обозначает заодно квазикогерентный пучок на U, соответствующий OX(U)-модулю FU.
Нужно взять прямую сумму таких пучков по всем открытым аффинным подсхемам U ⊂ X, и профакторизовать по отождествлениям, вытекающим из морфизмов пучков jV*FV → jU*FU, связанным с морфизмами OX(U)-модулей O(U)⊗O(V)FV → FU для вложенных аффинных открытых подсхем V ⊂ U ⊂ X.
Для целей "соответствия" рассматривать M = OX. Возможно, следует предполагать схему X полуотделимой (чтобы вложения аффинных открытых подсхем были аффинными морфизмами).
1) для любых двух вложенных аффинных открытых подсхем V ⊂ U ⊂ X, имеет место естественный изоморфизм FV = HomO(U)(O(V), FU);
2) если Ext1(j*j*M, I) = 0 в абелевой категории квазикогерентных пучков на X для любой открытой аффинной подсхемы j: U → X, то ExtO(U)1(O(V), FU) = 0 для любых вложенных открытых аффинных подсхем V ⊂ U ⊂ X.
Таким образом, в этих предположениях U → FU оказывается контрагерентным копучком на X. Остается еще двойственный функтор придумать -- (контра)тензорное произведение пучка на копучок c получением пучка.
... А, вот же она, двойственная конструкция. Пусть M -- квазикогерентный пучок и F -- контрагерентный копучок на X. Для каждой аффинной открытой подсхемы j: U → X рассмотрим квазикогерентный пучок j* (j*M ⊗OU FU), где FU обозначает заодно квазикогерентный пучок на U, соответствующий OX(U)-модулю FU.
Нужно взять прямую сумму таких пучков по всем открытым аффинным подсхемам U ⊂ X, и профакторизовать по отождествлениям, вытекающим из морфизмов пучков jV*FV → jU*FU, связанным с морфизмами OX(U)-модулей O(U)⊗O(V)FV → FU для вложенных аффинных открытых подсхем V ⊂ U ⊂ X.
Для целей "соответствия" рассматривать M = OX. Возможно, следует предполагать схему X полуотделимой (чтобы вложения аффинных открытых подсхем были аффинными морфизмами).
