Контракогерентные копучки

[posic]

Определение: модуль M над коммутативным кольцом R называется контраприспособленным относительно элемента r ∈ R, если для любой последовательности элементов m_i ∈ M, i ≥ 0, найдется (не единственная!) последовательность элементов n_i ∈ M, такая что n_i = m_i + r n_i+1 для всех i ≥ 0.

Попросту это значит, что Ext_R¹(R[r⁻¹], M) = 0. Например, если r действует в M нулевым или обратимым оператором, то M r-контраприспособлен. R-модуль M называется контраприспособленным, если он контраприспособлен относительно любого элемента r ∈ R.

Пусть R → S -- морфизм коммутативных колец, такой, что индуцированное отображение спектров является открытым вложением аффинных схем. Тогда Ext_Rⁿ(S,M) = 0 для всех n > 0, если R-модуль M контраприспособлен. Кроме того, в этом случае N = Hom_R(S,M) является контраприспособленным S-модулем.

Контраприспособленные R-модули образуют в абелевой категории R-модулей точную подкатегорию, замкнутую относительно расширений и бесконечных произведений, и содержащую вместе с любым R-модулем все его фактормодули. Инъективные R-модули контраприспособлены. Всякий R-модуль имеет двучленную правую резольвенту из контраприспособленных R-модулей.

Контракогерентным копучком F на схеме X называется следующий набор данных. Каждой аффинной открытой подсхеме Spec R = U ⊂ X должен быть сопоставлен контраприcпособленный R-модуль F(U). Каждой паре вложенных открытых аффинных подсхем Spec S = V ⊂ Spec R = U ⊂ X должен быть сопоставлен изоморфизм S-модулей F(V) ≅ Hom_R(S,F(U)). (Заметим, что тогда имеется естественное отображение коограничения F(V) → F(U); отсюда "копучки".)

Похоже, что контракогерентные копучки на схеме образуют точную категорию с точными функторами бесконечных произведений. В случае аффинной схемы X = Spec R это просто точная категория контраприспособленных R-модулей. Таким образом, мы получили частичное решение этой задачи -- http://posic.livejournal.com/290276.html

Далее, R-модуль M называется r-контрамодулем, если для любой последовательности m_i ∈ M, как выше, последовательность n_i, как выше, не только существует, но и единственна. Пусть I ⊂ M -- идеал; будем называть (R,I)-контрамодулем такой R-модуль, который является r-контраприспособленным для всех r ∈ R и r-контрамодулем для всех r ∈ I.

Будем предполагать, что R -- нетерово кольцо. Тогда из второго условия следует, что на M есть естественная структура модуля над пополнением R по идеалу I. В частности, если идеал I максимальный, то все r ∈ R∖I действуют на M обратимыми операторами, так что второе условие влечет первое.

Склейкой-глобализацией понятия (R,I)-контрамодуля должно получаться понятие контракогерентного копучка над нетеровой формальной схемой.

Задача: для любой нетеровой формальной схемы X, построить эквивалентность между контрапроизводной категорией контракогерентных копучков и копроизводной категорией квазикогерентных дискретных пучков (кручения) на X.

Comments

[buddha239.livejournal.com]

Ну да - я вижу, что резольвенты длины 1. :) Но, может быть, это как-то можно урегулировать?:)

[posic.livejournal.com]

Зачем "урегулировать"? Чем короче резольвенты, тем лучше, и случай гомологической размерности 1 бывает гораздо проще общего. С другой стороны, да, можно усилить условие, заменив R[r⁻¹] на произвольный плоский R-модуль. Получится то, что называется cotorsion modules им. Енокса (см. мой следующий постинг).