![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicOrganization: Max-Planck-Institut f\"ur Mathematik
Date: Fri 11 Oct 2002 18:59:59
From: Leonid Positselski
Privet, Roma i Serezha,
v moem predyduschem pis'me ot 3 avgusta sego goda bylo dano, kak ya polagayu, pravil'noe opredelenie polubeskonechnyh gomologij associativnyh algebraicheskih struktur. Cel'yu nynehsnego pis'ma yavlyaetsya opredelenie polubeskonechnyh kogomologij, t.e. Ext_{\infty/2} v Serezhinyh oboznacheniyah. V svoem izlozhenii ya budu priblizitel'no sledovat' planu, namechennomu v predyduschem pis'me (za isklyucheniem novogo razdela VII etogo pis'ma, kotoryj ne imeet analoga dlya polubeskonechnyh gomologij).
I: kakie abelevy kategorii modulej rassmatrivayutsya;
II: ot kakogo funktora na etih kategoriyah nado brat'
proizvodnyj funktor;
III: otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah, t.e.,
kakie kompleksy kontramodulej schitat' trivial'nymi;
IV: poluproektivnye kompleksy S-modulej, poluinjektivnye
kompleksy S-kontramodulej, i koinjektivnye C-kontramoduli;
V: konstrukcii rezol'vent;
VI: opredelenie proizvodnogo funktora;
VII: ekvivalentnost' proizvodnyh kategorij; polubeskonechnye
kogomologii kak Hom v triangulirovannoj kategorii.
Ya budu suschestvennejshim obrazom opirat'sya na pis'mo nomer chetyre (poslednee) iz serii "letnih pisem" 2000-go goda, v kotorom razbiralos' opredelenie kategorii kontramodulej, i v osobennosti, ponyatie kontramodulya nad komodul'noj algebroj.
I-1. Pust' dana koalgebra C i komodul'naya algebra S nad nej; predpolagaetsya, chto S injektivna nad C kak sleva, tak i sprava. Pervym argumentom funktora polubeskonechnyh Ext-ov budut kompleksy levyh S-modulej (sm. predyduschee pis'mo). Vtorym argumentom funktora polubeskonechnyh Ext-ov budut kompleksy levyh S-kontramodulej (sm. pis'mo nomer chetyre iz letnej serii 2000-go goda).
I-2. Esli C konechnomerna, to vmesto komodul'noj algebry S mozhno govorit' ob osoboj pare associativnyh algebr A i A^#, snabzhennyh obschej podalgebroj N (dvojstvennoj k C).
V etom sluchae pravye S-moduli sut' pravye A-moduli, levye S-moduli sut' levye A^#-moduli, a levye S-kontramoduli sut' levye A-moduli, i, nakonec, pravye S-kontramoduli sut' pravye A^#-moduli. Pervym argumentom funktora polubeskonechnyh kogomologij okazyvayutsya kompleksy levyh A^#-modulej, vtorym -- kompleksy levyh A-modulej.
I-3. Kak vidno iz vysheskazannogo, pri postroenii teorii polubeskonechnyh KOgomologij v terminah komodul'noj algebry S bez ispol'zovaniya kontramodulej obojtis' nevozmozhno dazhe v tom sluchae, kogda i C, i S, i vse rassmatrivaemye moduli konechnomerny. Hotya esli govorit' tol'ko o kontramodulyah nad koalgebroj, to, konechno zhe, levye C-kontramoduli i levye C-komoduli sut' odno i to zhe, esli C konechnomerna.
II-1. Polubeskonechnye kogomologii yavlyayutsya proizvodnym funktorom funktora kogomomorfizmov Cohom nad komodul'noj algebroj S. Poslednij funktor sopostavlyaet kazhdomu levomu S-modulyu L i levomu S-kontramodulyu P vektornoe prostranstvo Cohom_S(L,P) "kogomomorfizmov nad S iz L v P". Etot funktor opredelyaetsya kak "yadro nekotorogo otobrazheniya iz koyadra nekotorogo otobrazheniya v koyadro nekotorogo otobrazheniya", v svyazi s chem on, ochevidno, ne tochen ni sleva, ni sprava ni po pervomu, ni po vtoromu argumentu.
II-2. Imeetsya sleduyuschaya svyaz' mezhdu moim opredeleniem funktora Cohom_S i Serezhinymi formulami dlya polubeskonechnogo Ext-a iz subsekcii 4.7 ("Choice of resolutions") stat'i "Semi-infinite cohomology of quantum groups II". Pust' L -- levyj A^#-modul', a P -- levyj A-modul'. Togda Cohom_S(L,P) = Hom_{A^#}(L, S\ot_A P), esli P proektiven kak levyj N-modul', i Cohom_S(L,P) = Hom_A(Hom_{A^#}(S,L), P), esli L injektiven kak levyj N-modul'.
Bolee togo, dlya levogo S-modulya L i levogo S-kontramodulya P, nad proizvol'noj komodul'noj algebroj S, imeyutsya tozhdestva Cohom_S(L,P) = Hom_S(L, C\ocn_C P), esli P - proektivnyj C-kontramodul', i Cohom_S(L,P) = Hom_{S-contra}(Hom_S(S,L), P), esli L injektivnyj C-komodul'. Zdes' P \mapsto C\ocn_C P i L \mapsto Hom_C(C,L) = Hom_S(S,L) sut' funktory mezhdy kategoriyami levyh S-modulej i levyh S-kontramodulej, kotorye byli vvedeny v konce chetvertogo pis'ma iz serii 2000-go goda.
Dokazatel'stvo ili oproverzhenie predostavlyaetsya chitatelyam. Eto i est' tot samyj funktor, proizvodnym funktorom kotorogo budut polubeskonechnye kogomologii.
III. Teper' ya dolzhen vvesti pravil'noe otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah, yavlyayuschihsya argumentami buduschego proizvodnogo funktora. Otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah S-modulej bylo vvedeno v predyduschem pis'me; ostaetsya razobrat' sluchaj S-kontramodulej. Dlya poslednih pravil'noe otnoshenie ekvivalentnosti yavlyaetsya smes'yu "otnosheniya D-dva-shtriha" vdol' C-kontramodul'noj struktury i "otnosheniya D v perpendikulyarnom napravlenii". Napomnyu, chto v kategoriyah "D-dva-shtriha" trivial'nymi yavlyayutsya kompleksy, kotorye mozhno poluchit' iz svertok tochnyh troek kompleksov operaciyami vzyatiya konusa i beskonechnogo pryamogo proizvedeniya (v protivopolozhnost' beskonechnoj pryamoj summe dlya kategorij D-shtrih).
Formal'noe opredelenie: (beskonechnyj, voobsche govorya, vo vse storony) kompleks S-kontramodulej nazyvaetsya trivial'nym, esli on trivialen kak kompleks C-kontramodulej (t.e., posle zabyvaniya ostal'noj struktury). Kompleks C-kontramodulej X nazyvaetsya trivial'nym, esli on udovletvoryaet sleduyuschim dvum ekvivalentnym usloviyam:
a) dlya lyubogo kompleksa P proektivnyh (naprimer, svobodnyh) kontramodulej nad C imeem Hom(P,X)=0 v gomotopicheskoj kategorii C-kontramodulej; ili
b) X kak kompleks kontramodulej mozhno poluchit' operaciyami konusa i beskonechnogo proizvedeniya iz total'nyh kompleksov tochnyh troek kompleksov kontramodulej.
Opredelenie: proizvodnoj kategoriej levyh kontramodulej nad komodul'noj algebroj S nazyvaetsya faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii kompleksov levyh S-kontramodulej po podkategorii trivial'nyh kompleksov, opredelennoj vyshe. Analogichnym obrazom opredelyaetsya proizvodnaya kategoriya levyh C-kontramodulej.
IV-1. Operaciya Cohom_S rasprostranyaetsya s (kontra)modulej na kompleksy (kontra)modulej po sleduyuschemu ochevidnomu pravilu: Cohom_S(L,P) est' kompleks, poluchennyj v rezul'tate vzyatiya beskonechnogo proizvedeniya vdol' diagonalej bikompleksa Cohom_S(L^i, P^j). Otmechu, chto dlya operacii "tipa gomomorfizmov", v otlichie ot operacij "tipa tenzornogo proizvedeniya", v etom meste sleduet brat' pryamoe proizvedenie (a ne pryamuyu summu) vdol' diagonalej.
Dva opredeleniya: kompleks levyh S-modulej F nazyvaetsya poluproektivnym, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa levyh S-kontramodulej T kompleks Cohom_S(F,T) aciklichen kak kompleks vektornyh prostranstv. Kompleks levyh S-kontramodulej P nazyvaetsya poluinjektivnym, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa levyh S-komodulej T kompleks Cohom_S(T,P) aciklichen.
Analogichnym obrazom, kompleks levyh C-komodulej nazyvaetsya koproektivnym, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa levyh C-kontramodulej kompleks Cohom_C mezhdu nimi aciklichen. Kompleks levyh C-kontramodulej nazyvaetsya koinjektivnym, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa levyh C-komodulej sootvetstvuyuschij kompleks vektornyh prostranstv Cohom_C aciklichen.
IV-2. Ponyatno, chto dlya kompleksov C-komodulej tri svojstva -- injektivnosti (v osmysle sootv. proizvodnoj kategorii), koploskosti (v smysle predyduschego pis'ma) i koproektivnosti (v smysle poslednego opredeleniya) -- vse dovol'no blizki mezhdu soboj. Netrudno videt', chto kompleks injektivnyh komodulej yavlyaetsya koproektivnym, a koproektivnyj kompleks vsegda yavlyaetsya koploskim. Analogichnym obrazom, vsyakij kompleks proektivnyh C-kontramodulej yavlyaetsya koinjektivnym.
Samyj interesnyj vopros: kak svyazany ponyatiya poluploskosti i poluproektivnosti dlya kompleksov S-modulej? Chastichnyj otvet: vse poluproektivnye kompleksy yavlyayutsya poluploskimi (dokazatel'stvo: ispol'zovat' tot fakt, chto dvojstvennoe vektornoe prostranstvo k pravomu S-komodulyu yavlyaetsya levym S-kontramodulem, i formulu Cohom_S(L, M^*) = (M\ot_S L)^*).
Dva utverzhdeniya: vsyakij poluproektivnyj kompleks levyh S-modulej yavlyaetsya koproektivnym kak kompleks levyh C-komodulej. Vsyakij poluinjektivnyj kompleks levyh S-kontramodulej yavlyaetsya koinjektivnym kak kompleks levyh C-kontramodulej. Dokazatel'stva: v pervom sluchae ispol'zovat' sleduyuschij funktor koindukcii dlya kontramodulej: vsyakomu C-kontramodulyu P sopostavlyaetsya koinducirovannyj S-kontramodul' Cohom_C(S,P). Vo vtorom sluchae ispol'zovat' funktor indukcii iz predyduschego pis'ma.
IV-3. Na samom dele primenitel'no k C-ko/kontramodulyam vse eto ustroeno neskol'ko prosche. Kak izvestno, glavnaya osobennost' proizvodnyh kategorij D-shtrih i D-dva-shtriha sostoit v tom, chto svojstva prisposoblennosti kompleksov v nih mozhno proveryat' poob'ektno. Naprimer, kompleks C-komodulej injektiven (ortogonalen sprava k trivial'nym kompleksam otnositel'no obyknovennogo funktora Hom v gomotopicheskoj kategorii komodulej) togda i tol'ko togda, kogda on gomotopicheski ekvivalenten kompleksu injektivnyh ob'ektov. To zhe samoe dlya kontramodulej i proektivnyh kompleksov. Poetomu imeet smysl dat' esche neskol'ko opredelenij.
Levyj C-komodul' L nazyvaetsya koploskim, esli funktor - \oc_C L na abelevoj kategorii pravyh C-komodulej tochen. Levyj C-komodul' L nazyvaetsya koproektivnym, esli funktor Cohom_C(L,-) na abelevoj kategorii levyh C-kontramodulej tochen. Na samom dele netrudno videt', chto vse tri svojstva injektivnosti, koploskosti i koproektivnosti C-komodulej ekvivalentny (ukazanie: sleduet ogranichit'sya konechnomernymi vtorymi argumentami funktorov Hom, \oc i Cohom, sootvetstvenno, i v takoj situacii sravnit'). Teper', konechno, mozhno bylo by zametit', chto vsyakij kompleks koploskih komodulej koploskij, a koproektivnyh -- koproektiven. Eto nesomenno vernye, no, -- vvidu skazannogo vyshe, -- trivial'nye utverzhdeniya.
Levyj C-kontramodul' P nazyvaetsya koinjektivnym, esli funktor Cohom_C(-,P) na abelevoj kategorii levyh C-komodulej tochen. Levyj C-kontramodul' P nazyvaetsya kontraploskim, esli funktor kontratenzornogo proizvedeniya \ocn_C P na kategorii pravyh C-komodulej tochen. Netrudno videt', chto vsyakij proektivnyj C-kontramodul' koinjektiven, a vsyakij koinjektivnyj C-kontramodul' yavlyaetsya kontraploskim (obratnoe utverzhdenie obsuzhdaetsya v razdele VII). Vsyakij kompleks koinjektivnyh C-kontramodulej yavlyaetsya koinjektivnym kompleksom.
V. Teorema 1: imeet mesto analog osnovnoj teoremy iz razdela V predyduschego pis'ma dlya poluproektivnyh kompleksov S-modulej vmesto poluploskih. Dokazatel'stvo tochno takoe zhe, kak v predyduschem pis'me.
Teorema 2: faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii poluinjektivnyh kompleksov S-kontramodulej po tolstoj podkategorii poluinjektivnyh trivial'nyh kompleksov ekvivalentno proeciruetsya na faktorkategoriyu gomotopicheskoj kategorii vseh kompleksov S-modulej po trivial'nym kompleksam.
Zdes' potrebuetsya perepisat' rassuzhdenie iz predyduschego pis'ma s zamenoj komodulej na kontramoduli. Ya prodelayu eto, s nekotorymi sokrascheniyami.
Lemma. Suschestvuet funktor, sopostavlyayuschij proizvol'nomu S-kontramodulyu surjektivnoe otobrazhenie na nego iz C-koinjektivnogo S-kontramodulya.
Konechno, samym blizhajshim analogom Lemmy iz razdela V predyduschego pis'ma bylo by suschestvovanie takoj surjekcii iz C-proektivnogo S-kontramodulya. Problema tol'ko v tom, chto ya ne umeyu dokazyvat', chto obratnyj predel sohranyaet proektivnost' kontramodulej, -- a dlya koinjektivnosti eto vse-taki udaetsya proverit' v nebhodimom nam sluchae. Dlya celej dannogo razdela C-koinjektivnosti dostatochno, a v razdele VII, gde ponadobyatsya C-proektivnye rezol'venty, mne pridetsya ispol'zovat' nekuyu gipotezu.
V-1. Dokazatel'stvo Lemmy. Pust' P -- levyj S-kontramodul'. Rassmotrim ego kak C-kontramodul' i nakroem ego kakim-nibud' proektivnym C-kontramodulem F. Eto legko mozhno sdelat' funktorial'nym obrazom, naprimer, vybrav F(P) = Hom_k(C,P). Oboznachim cherez Q(P) yadro kompozicii otobrazhenij Cohom_C(S, F(P)) \to Cohom_C(S,P) \to Cohom_C(S,P)/im P, gde P \to Cohom_C(S,P) -- strukturnoe otobrazhenie S-kontramodulya P. Netrudno videt', chto kompoziciya Q(P) \to Cohom_C(S, F(P)) \to F(P) \to P yavlyaetsya otobrazheniem S-kontramodulej, v to vremya kak komponuemye morfizmy sut' tol'ko otobrazheniya C-kontramodulej. Krome togo, otobrazhenie Q(P) v P surjektivno, a C-kontramodul' Cohom_C(S, F(P)) proektiven. Teper' utverzhdenie Lemmy vytekaet iz sleduyuschej podlemmy.
Podlemma. Pust' ... \to Q_2 \to T_2 \to Q_1 \to T_1 \to Q_0 -- proektivnaya sistema C-kontramodulej, prichem kontramoduli T_i koinjektivny, a v proektivnoj podsisteme, sostoyaschej iz odnih tol'ko Q_i, vse otobrazheniya surjektivny. Togda obratnyj predel lim Q_i = lim T_i yavlyaetsya koinjektivnym kontramodulem. Dokazatel'stvo podlemmy: nuzhno proverit', chto dlya lyuboj tochnoj trojki levyh C-komodulej L_1 \to L_2 \to L_3 imeetsya tochnaya trojka vektornyh prostranstv Cohom(L_3, lim T_i|Q_i) \to Cohom(L_2, lim) \to Cohom(L_1, lim). Dokazhem snachala, chto dlya lyubogo C-komodulya L my imeem Cohom(L, lim) = lim Cohom(L, T_i|Q_i). Dlya lyubogo kontramodulya X napishem bar-konstrukciyu ... \to Hom_k(C\ot_k C\ot_k L, X) \to Hom_k(C\ot_k L, X) \to Hom_k(L,X); togda Cohom_C(L,X) est', po opredeleniyu, nulevye gomologii etogo kompleksa. Pust' teper' imeetsya proektivnaya sistema kompleksov, gde vse kompleksy s nechetnymi nomerami imeyut gomologii tol'ko v graduirovke nul', a kompleksy s chetnymi nomerami obrazuyut proektivnuyu podsistemu s surjektivnymi otobrazheniyami proekcii. Togda ya utverzhdayu, chto kompleks-obratnyj predel imeet gomologii tol'ko v graduirovke nul', i oni ravny obratnomu predelu nulevyh gomologij kompleksov sistemy. V samom dele, proektivnye sistemy, v kotoryh podsistemy s chetnymi nomerami imeyut surjektivnye otobrazheniya proekcii, yavlyayutsya aciklichnymi ob'ektami po otnosheniyu k proizvodnomu funktoru obratnogo predela lim^1. Ostatok dokazatel'stva podlemmy predostavlyaetsya chitatelyam.
V-2. Na sleduyuschem shage nuzhno pokazat', chto dlya lyubogo kompleksa S-kontramodulej X najdetsya otobrazhenie f: Y\to X, takoe chto vse chleny kompleksa Y sut' koinjektivnye C-kontramoduli, a konus f yavlyaetsya trivial'nym kompleksom. Eto delaetsya tochno tak zhe, kak v punkte V-2 predyduschego pis'ma, s toj raznicej, chto svertka bikompleksa delaetsya s pomosch'yu pryamyh proizvedenij (a ne pryamyh summ) vdol' diagonalej. Potom ispol'zuetsya gomotopicheskij obratnyj predel, i voobsche vse proiskhodit, kak obychno byvaet v D''.
V-3. Na poslednem shage ostaetsya dokazat', chto dlya lyubogo kompleksa C-koinjektivnyh S-kontramodulej Y najdetsya poluinjektivnyj kompleks S-kontramodulej Z vmeste s morfizmom g: Y\to Z, takim chto konus g trivialen (na samom dele, dazhe C-styagivaem). Eto delaetsya tochno tak zhe, kak v razdele V-3 predyduschego pis'ma, tol'ko vmesto inducirovannyh S-modulej ispol'zuyutsya koinducirovannye S-kontramoduli Cohom_C(S,-) i total'nyj bikompleks (v otlichie ot situacii predyduschego pis'ma) snova beretsya s pomosh'yu beskonechnyh proizvedenij. Voobsche esli "konstrukcii iz razdelov V-2" tipichny dlya proizvodnyh kategorij so shtrihami, to tochno tak zhe "konstrukcii iz razdelov V-3" tipichny dlya bolee klassicheskih (Spaltenshtejnovskih) proizvodnyh kategorij D.
VI. Teper' funktor polubeskonechnyh kogomologij mozhno opredelit' sovershenno analogichno tomu, kak opredelyalsya funktor polubeskonechnyh gomologij v predyduschem pis'me.
VII. Cel'yu etogo razdela yavlyaetsya dokazatel'stvo dvuh utverzhdenij: (1) opredelennye vyshe proizvodnye kategorii levyh S-modulej i levyh S-kontramodulej estestvennym obrazom ekvivalentny; (2) funktor polubeskonechnyh kogomologij sootvestvuet pri etoj ekvivalentnosti funktoru Hom.
VII-1. Ya nachnu s nekotorogo kommentariya k Teoremam 1-2 iz razdela V. Na samom dele dokazatel'stvo etih teorem dokazyvaet nechto bol'shee, chem skazano v ih formulirovke. A imenno, nazovem rezol'ventnoj podkategoriej v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej polnuyu triangulirovannuyu podkategoriyu, sostoyaschuyu iz vseh kompleksov, kotorye mozhno poluchit' konusami, sdvigami i beskonechnymi pryamymi summami iz kompleksov, inducirovannyh s kompleksov injektivnyh C-komodulej. Analogichnym obrazom, rezol'ventnaya podkategoriya v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-kontramodulej sostoit iz vseh kompleksov, kotorye mozhno poluchit' konusami, sdvigami i beskonechnymi proizvedeniyami iz kompleksov, koinducirovannyh s kompleksov koinjektivnyh C-kontramodulej. Dokazatel'stvo Teorem 1-2 na samom dele dokazyvaet sleduyuschee: lyubaya polnaya triangulirovannaya podkategoriya gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej ili S-kontramodulej, soderzhaschaya rezol'ventnuyu podkategoriyu, posle faktorizacii po svoemu peresecheniyu s polnoj podkategoriej trivial'nyh kompleksov ekvivalentno proeciruetsya na sootv. proizvodnuyu kategoriyu.
V chastnosti, eto verno dlya polnoj podkategorii, sostoyaschej iz vseh kompleksov C-injektivnyh S-modulej. Ee peresechenie s polnoj podkategoriej trivial'nyh kompleksov sostoit iz vseh kompleksov C-injektivnyh S-modulej, styagivaemyh nad C.
Takim obrazom, proizvodnaya kategoriya S-modulej ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii kompleksov C-injektivnyh S-modulej po polnoj podkategorii C-styagivaemyh C-injektivnyh kompleksov.
VII-2. Chtoby skazat' to zhe samoe dlya S-kontramodulej, mne ponadobitsya ispol'zovat' sleduyuschuyu gipotezu.
Gipoteza 1. Dlya lyuboj koalgebry C, klassy kontraploskih, koinjektivnyh i proektivnyh C-kontramodulej sovpadayut. Drugimi slovami, vsyakij kontraploskij C-kontramodul' yavlyaetsya proektivnym.
Primer. Pust' koalgebra C konechnomerna. Togda C-komoduli i C-kontramoduli sut' prosto moduli nad konechnomernoj algebroj N, dvojstvennoj k C. Kontraploskie kontramoduli sut' ploskie moduli, i, kak izvestno, vsyakij ploskij modul' nad konechnomernoj algebroj proektiven [sm. napr. stat'yu Bassa v Trans. AMS v.95 za 1960 god].
U menya est' oschuschenie, chto Gipotezu 1 mozhno vyvesti iz sleduyuschego namnogo bolee fundamental'nogo utverzhdeniya o kontramodulyah.
Gipoteza 2. Dlya lyubogo kontramodulya P nad koalgebroj C, peresechenie obrazov prostranstv Hom_k(C/V, P) pri strukturnom otobrazhenii Hom_k(C,P) \to P, vzyatoe po vsem konechnomernym podprostranstvam (ili, esli ugodno, podkoalgebram) V v C, ravno nulyu v P.
Primer. V chetvertom pis'me za 2000 god zadavalsya vopros, kak dokazat', chto vsyakij konechnomernyj C-kontramodul' yavlyaetsya kontramodulem nad konechnomernoj podkoalgebroj C. Vidno, chto eto utverzhdenie yavlyaetsya chastnym sluchaem Gipotezy 2.
VII-3. Ispol'zuya Gipotezu 1, mozhno utverzhdat', chto polnaya podkategoriya v gomotopicheskoj kategorii S-kontramodulej, sostoyaschaya iz vseh kompleksov C-proektivnyh kontramodulej, soderzhit rezol'ventnuyu podkategoriyu. Ee peresechenie s polnoj podkategoriej trivial'nyh kompleksov sostoit iz vseh kompleksov C-proektivnyh S-kontramodulej, styagivaemyh nad C. Sledovatel'no, proizvodnaya kategoriya S-kontramodulej ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii kompleksov C-proektivnyh S-kontramodulej po polnoj podkategorii C-styagivaemyh C-proektivnyh kompleksov.
V konce 4-go pis'ma iz "letnej serii" 2000-go goda bylo pokazano, chto additivnye kategorii injektivnyh C-komodulej i proektivnyh C-kontramodulej ektvivalentny, i struktury S-modulya na C-komodulyah odnoznachno sootvetstvuyut strukturam S-kontramodulya na C-kontramodulyah pri etoj ekvivalentnosti -- tak chto kategorii C-injektivnyh S-modulej i C-proektivnyh S-kontramodulej ekvivalentny tozhe. Teper' otsyuda nemedlenno poluchaetsya ekvivalentnost' proizvodnyh kategorij S-modulej i S-kontramodulej.
VII-4. Utverzhdaetsya, chto pri etoj ekvivalentnosti kategorij funktor polubeskonechnyh kogomologij perehodit v funktor Hom. Eto sleduet iz formul, vypisannyh v razdele II-2 nastoyaschego pis'ma. Tochnee skazat', mozhno rassuzhdat' tak. Pust' nekij ob'ekt proivodnoj kategorii S-modulej predstavlen kompleksom C-injektivnyh S-modulej L, a ob'ekt proizvodnoj kategorii S-kontramodulej predstavlen kompleksom C-injektivnyh S-kontramodulej P. Togda proizvodnyj funktor funktora Cohom na ob'ektah L i P mozhno vychislit', vybrav otobrazheniya s trivial'nymi konusami L_1 \to L i P \to P_1, gde L_1 i P_1 prinadlezhat rezol'ventnym podkategoriyam, i poschitav Cohom(L_1,P_1), ili Cohom(L_1,P), ili Cohom(L,P_1) (vse ravno). Soglasno formule iz razdela II-2, my znaem, chto Cohom(L_1,P_1) = Hom(\psi(L_1), P_1), gde \psi oboznachaet funktor iz C-injektivnyh S-modulej v C-proektivnye C-komoduli, a Hom beretsya v gomotopicheskoj kategorii. Teper' ostalos' pokazat', chto \psi(L_1) lezhit v levom, a P_1 -- v pravom ortogonale k podkategorii C-styagivaemyh kompleksov v gomotopicheskoj kategorii C-proektivnyh kompleksov S-kontramodulej (ili hotya by odno iz etih dvuh utverzhdeniij -- na samom dele verny oba). V samom dele, pust' X -- takoj C-styagivaemyj kompleks, togda Hom(\psi(L_1), X) = Cohom(L_1, X) = 0, poskol'ku kompleks L_1 poluproektiven. Analogichno Hom(X, P_1) = Cohom(\psi^{-1}(X), P_1) = 0, poskol'ku psi^{-1}(X) tozhe C-styagivaem, a P_1 poluinjektiven.
Prizmotrevshis' k etomu rassuzhdeniyu, mozhno zametit', chto i bez predpozheniya Gipotezy 1 ono dokazyvaet suschestvovanie funktora \Psi iz proizvodnoj kategorii S-modulej v proizvodnuyu kategoriyu S-kontramodulej, takogo chto proizvodnyj funktor funktora Cohom raven komposicii funktora \Psi s funktorom Hom v proizvodnoj kategorii kontramodulej. Gipoteza 1 nuzhna, chtoby dokazat', chto \Psi -- ekvivalentnost' kategorij. Kogda koalgebra C konechnomerna, my eto znaem.
Date: Fri 11 Oct 2002 18:59:59
From: Leonid Positselski
Privet, Roma i Serezha,
v moem predyduschem pis'me ot 3 avgusta sego goda bylo dano, kak ya polagayu, pravil'noe opredelenie polubeskonechnyh gomologij associativnyh algebraicheskih struktur. Cel'yu nynehsnego pis'ma yavlyaetsya opredelenie polubeskonechnyh kogomologij, t.e. Ext_{\infty/2} v Serezhinyh oboznacheniyah. V svoem izlozhenii ya budu priblizitel'no sledovat' planu, namechennomu v predyduschem pis'me (za isklyucheniem novogo razdela VII etogo pis'ma, kotoryj ne imeet analoga dlya polubeskonechnyh gomologij).
I: kakie abelevy kategorii modulej rassmatrivayutsya;
II: ot kakogo funktora na etih kategoriyah nado brat'
proizvodnyj funktor;
III: otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah, t.e.,
kakie kompleksy kontramodulej schitat' trivial'nymi;
IV: poluproektivnye kompleksy S-modulej, poluinjektivnye
kompleksy S-kontramodulej, i koinjektivnye C-kontramoduli;
V: konstrukcii rezol'vent;
VI: opredelenie proizvodnogo funktora;
VII: ekvivalentnost' proizvodnyh kategorij; polubeskonechnye
kogomologii kak Hom v triangulirovannoj kategorii.
Ya budu suschestvennejshim obrazom opirat'sya na pis'mo nomer chetyre (poslednee) iz serii "letnih pisem" 2000-go goda, v kotorom razbiralos' opredelenie kategorii kontramodulej, i v osobennosti, ponyatie kontramodulya nad komodul'noj algebroj.
I-1. Pust' dana koalgebra C i komodul'naya algebra S nad nej; predpolagaetsya, chto S injektivna nad C kak sleva, tak i sprava. Pervym argumentom funktora polubeskonechnyh Ext-ov budut kompleksy levyh S-modulej (sm. predyduschee pis'mo). Vtorym argumentom funktora polubeskonechnyh Ext-ov budut kompleksy levyh S-kontramodulej (sm. pis'mo nomer chetyre iz letnej serii 2000-go goda).
I-2. Esli C konechnomerna, to vmesto komodul'noj algebry S mozhno govorit' ob osoboj pare associativnyh algebr A i A^#, snabzhennyh obschej podalgebroj N (dvojstvennoj k C).
V etom sluchae pravye S-moduli sut' pravye A-moduli, levye S-moduli sut' levye A^#-moduli, a levye S-kontramoduli sut' levye A-moduli, i, nakonec, pravye S-kontramoduli sut' pravye A^#-moduli. Pervym argumentom funktora polubeskonechnyh kogomologij okazyvayutsya kompleksy levyh A^#-modulej, vtorym -- kompleksy levyh A-modulej.
I-3. Kak vidno iz vysheskazannogo, pri postroenii teorii polubeskonechnyh KOgomologij v terminah komodul'noj algebry S bez ispol'zovaniya kontramodulej obojtis' nevozmozhno dazhe v tom sluchae, kogda i C, i S, i vse rassmatrivaemye moduli konechnomerny. Hotya esli govorit' tol'ko o kontramodulyah nad koalgebroj, to, konechno zhe, levye C-kontramoduli i levye C-komoduli sut' odno i to zhe, esli C konechnomerna.
II-1. Polubeskonechnye kogomologii yavlyayutsya proizvodnym funktorom funktora kogomomorfizmov Cohom nad komodul'noj algebroj S. Poslednij funktor sopostavlyaet kazhdomu levomu S-modulyu L i levomu S-kontramodulyu P vektornoe prostranstvo Cohom_S(L,P) "kogomomorfizmov nad S iz L v P". Etot funktor opredelyaetsya kak "yadro nekotorogo otobrazheniya iz koyadra nekotorogo otobrazheniya v koyadro nekotorogo otobrazheniya", v svyazi s chem on, ochevidno, ne tochen ni sleva, ni sprava ni po pervomu, ni po vtoromu argumentu.
II-2. Imeetsya sleduyuschaya svyaz' mezhdu moim opredeleniem funktora Cohom_S i Serezhinymi formulami dlya polubeskonechnogo Ext-a iz subsekcii 4.7 ("Choice of resolutions") stat'i "Semi-infinite cohomology of quantum groups II". Pust' L -- levyj A^#-modul', a P -- levyj A-modul'. Togda Cohom_S(L,P) = Hom_{A^#}(L, S\ot_A P), esli P proektiven kak levyj N-modul', i Cohom_S(L,P) = Hom_A(Hom_{A^#}(S,L), P), esli L injektiven kak levyj N-modul'.
Bolee togo, dlya levogo S-modulya L i levogo S-kontramodulya P, nad proizvol'noj komodul'noj algebroj S, imeyutsya tozhdestva Cohom_S(L,P) = Hom_S(L, C\ocn_C P), esli P - proektivnyj C-kontramodul', i Cohom_S(L,P) = Hom_{S-contra}(Hom_S(S,L), P), esli L injektivnyj C-komodul'. Zdes' P \mapsto C\ocn_C P i L \mapsto Hom_C(C,L) = Hom_S(S,L) sut' funktory mezhdy kategoriyami levyh S-modulej i levyh S-kontramodulej, kotorye byli vvedeny v konce chetvertogo pis'ma iz serii 2000-go goda.
Dokazatel'stvo ili oproverzhenie predostavlyaetsya chitatelyam. Eto i est' tot samyj funktor, proizvodnym funktorom kotorogo budut polubeskonechnye kogomologii.
III. Teper' ya dolzhen vvesti pravil'noe otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah, yavlyayuschihsya argumentami buduschego proizvodnogo funktora. Otnoshenie ekvivalentnosti na kompleksah S-modulej bylo vvedeno v predyduschem pis'me; ostaetsya razobrat' sluchaj S-kontramodulej. Dlya poslednih pravil'noe otnoshenie ekvivalentnosti yavlyaetsya smes'yu "otnosheniya D-dva-shtriha" vdol' C-kontramodul'noj struktury i "otnosheniya D v perpendikulyarnom napravlenii". Napomnyu, chto v kategoriyah "D-dva-shtriha" trivial'nymi yavlyayutsya kompleksy, kotorye mozhno poluchit' iz svertok tochnyh troek kompleksov operaciyami vzyatiya konusa i beskonechnogo pryamogo proizvedeniya (v protivopolozhnost' beskonechnoj pryamoj summe dlya kategorij D-shtrih).
Formal'noe opredelenie: (beskonechnyj, voobsche govorya, vo vse storony) kompleks S-kontramodulej nazyvaetsya trivial'nym, esli on trivialen kak kompleks C-kontramodulej (t.e., posle zabyvaniya ostal'noj struktury). Kompleks C-kontramodulej X nazyvaetsya trivial'nym, esli on udovletvoryaet sleduyuschim dvum ekvivalentnym usloviyam:
a) dlya lyubogo kompleksa P proektivnyh (naprimer, svobodnyh) kontramodulej nad C imeem Hom(P,X)=0 v gomotopicheskoj kategorii C-kontramodulej; ili
b) X kak kompleks kontramodulej mozhno poluchit' operaciyami konusa i beskonechnogo proizvedeniya iz total'nyh kompleksov tochnyh troek kompleksov kontramodulej.
Opredelenie: proizvodnoj kategoriej levyh kontramodulej nad komodul'noj algebroj S nazyvaetsya faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii kompleksov levyh S-kontramodulej po podkategorii trivial'nyh kompleksov, opredelennoj vyshe. Analogichnym obrazom opredelyaetsya proizvodnaya kategoriya levyh C-kontramodulej.
IV-1. Operaciya Cohom_S rasprostranyaetsya s (kontra)modulej na kompleksy (kontra)modulej po sleduyuschemu ochevidnomu pravilu: Cohom_S(L,P) est' kompleks, poluchennyj v rezul'tate vzyatiya beskonechnogo proizvedeniya vdol' diagonalej bikompleksa Cohom_S(L^i, P^j). Otmechu, chto dlya operacii "tipa gomomorfizmov", v otlichie ot operacij "tipa tenzornogo proizvedeniya", v etom meste sleduet brat' pryamoe proizvedenie (a ne pryamuyu summu) vdol' diagonalej.
Dva opredeleniya: kompleks levyh S-modulej F nazyvaetsya poluproektivnym, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa levyh S-kontramodulej T kompleks Cohom_S(F,T) aciklichen kak kompleks vektornyh prostranstv. Kompleks levyh S-kontramodulej P nazyvaetsya poluinjektivnym, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa levyh S-komodulej T kompleks Cohom_S(T,P) aciklichen.
Analogichnym obrazom, kompleks levyh C-komodulej nazyvaetsya koproektivnym, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa levyh C-kontramodulej kompleks Cohom_C mezhdu nimi aciklichen. Kompleks levyh C-kontramodulej nazyvaetsya koinjektivnym, esli dlya lyubogo trivial'nogo kompleksa levyh C-komodulej sootvetstvuyuschij kompleks vektornyh prostranstv Cohom_C aciklichen.
IV-2. Ponyatno, chto dlya kompleksov C-komodulej tri svojstva -- injektivnosti (v osmysle sootv. proizvodnoj kategorii), koploskosti (v smysle predyduschego pis'ma) i koproektivnosti (v smysle poslednego opredeleniya) -- vse dovol'no blizki mezhdu soboj. Netrudno videt', chto kompleks injektivnyh komodulej yavlyaetsya koproektivnym, a koproektivnyj kompleks vsegda yavlyaetsya koploskim. Analogichnym obrazom, vsyakij kompleks proektivnyh C-kontramodulej yavlyaetsya koinjektivnym.
Samyj interesnyj vopros: kak svyazany ponyatiya poluploskosti i poluproektivnosti dlya kompleksov S-modulej? Chastichnyj otvet: vse poluproektivnye kompleksy yavlyayutsya poluploskimi (dokazatel'stvo: ispol'zovat' tot fakt, chto dvojstvennoe vektornoe prostranstvo k pravomu S-komodulyu yavlyaetsya levym S-kontramodulem, i formulu Cohom_S(L, M^*) = (M\ot_S L)^*).
Dva utverzhdeniya: vsyakij poluproektivnyj kompleks levyh S-modulej yavlyaetsya koproektivnym kak kompleks levyh C-komodulej. Vsyakij poluinjektivnyj kompleks levyh S-kontramodulej yavlyaetsya koinjektivnym kak kompleks levyh C-kontramodulej. Dokazatel'stva: v pervom sluchae ispol'zovat' sleduyuschij funktor koindukcii dlya kontramodulej: vsyakomu C-kontramodulyu P sopostavlyaetsya koinducirovannyj S-kontramodul' Cohom_C(S,P). Vo vtorom sluchae ispol'zovat' funktor indukcii iz predyduschego pis'ma.
IV-3. Na samom dele primenitel'no k C-ko/kontramodulyam vse eto ustroeno neskol'ko prosche. Kak izvestno, glavnaya osobennost' proizvodnyh kategorij D-shtrih i D-dva-shtriha sostoit v tom, chto svojstva prisposoblennosti kompleksov v nih mozhno proveryat' poob'ektno. Naprimer, kompleks C-komodulej injektiven (ortogonalen sprava k trivial'nym kompleksam otnositel'no obyknovennogo funktora Hom v gomotopicheskoj kategorii komodulej) togda i tol'ko togda, kogda on gomotopicheski ekvivalenten kompleksu injektivnyh ob'ektov. To zhe samoe dlya kontramodulej i proektivnyh kompleksov. Poetomu imeet smysl dat' esche neskol'ko opredelenij.
Levyj C-komodul' L nazyvaetsya koploskim, esli funktor - \oc_C L na abelevoj kategorii pravyh C-komodulej tochen. Levyj C-komodul' L nazyvaetsya koproektivnym, esli funktor Cohom_C(L,-) na abelevoj kategorii levyh C-kontramodulej tochen. Na samom dele netrudno videt', chto vse tri svojstva injektivnosti, koploskosti i koproektivnosti C-komodulej ekvivalentny (ukazanie: sleduet ogranichit'sya konechnomernymi vtorymi argumentami funktorov Hom, \oc i Cohom, sootvetstvenno, i v takoj situacii sravnit'). Teper', konechno, mozhno bylo by zametit', chto vsyakij kompleks koploskih komodulej koploskij, a koproektivnyh -- koproektiven. Eto nesomenno vernye, no, -- vvidu skazannogo vyshe, -- trivial'nye utverzhdeniya.
Levyj C-kontramodul' P nazyvaetsya koinjektivnym, esli funktor Cohom_C(-,P) na abelevoj kategorii levyh C-komodulej tochen. Levyj C-kontramodul' P nazyvaetsya kontraploskim, esli funktor kontratenzornogo proizvedeniya \ocn_C P na kategorii pravyh C-komodulej tochen. Netrudno videt', chto vsyakij proektivnyj C-kontramodul' koinjektiven, a vsyakij koinjektivnyj C-kontramodul' yavlyaetsya kontraploskim (obratnoe utverzhdenie obsuzhdaetsya v razdele VII). Vsyakij kompleks koinjektivnyh C-kontramodulej yavlyaetsya koinjektivnym kompleksom.
V. Teorema 1: imeet mesto analog osnovnoj teoremy iz razdela V predyduschego pis'ma dlya poluproektivnyh kompleksov S-modulej vmesto poluploskih. Dokazatel'stvo tochno takoe zhe, kak v predyduschem pis'me.
Teorema 2: faktorkategoriya gomotopicheskoj kategorii poluinjektivnyh kompleksov S-kontramodulej po tolstoj podkategorii poluinjektivnyh trivial'nyh kompleksov ekvivalentno proeciruetsya na faktorkategoriyu gomotopicheskoj kategorii vseh kompleksov S-modulej po trivial'nym kompleksam.
Zdes' potrebuetsya perepisat' rassuzhdenie iz predyduschego pis'ma s zamenoj komodulej na kontramoduli. Ya prodelayu eto, s nekotorymi sokrascheniyami.
Lemma. Suschestvuet funktor, sopostavlyayuschij proizvol'nomu S-kontramodulyu surjektivnoe otobrazhenie na nego iz C-koinjektivnogo S-kontramodulya.
Konechno, samym blizhajshim analogom Lemmy iz razdela V predyduschego pis'ma bylo by suschestvovanie takoj surjekcii iz C-proektivnogo S-kontramodulya. Problema tol'ko v tom, chto ya ne umeyu dokazyvat', chto obratnyj predel sohranyaet proektivnost' kontramodulej, -- a dlya koinjektivnosti eto vse-taki udaetsya proverit' v nebhodimom nam sluchae. Dlya celej dannogo razdela C-koinjektivnosti dostatochno, a v razdele VII, gde ponadobyatsya C-proektivnye rezol'venty, mne pridetsya ispol'zovat' nekuyu gipotezu.
V-1. Dokazatel'stvo Lemmy. Pust' P -- levyj S-kontramodul'. Rassmotrim ego kak C-kontramodul' i nakroem ego kakim-nibud' proektivnym C-kontramodulem F. Eto legko mozhno sdelat' funktorial'nym obrazom, naprimer, vybrav F(P) = Hom_k(C,P). Oboznachim cherez Q(P) yadro kompozicii otobrazhenij Cohom_C(S, F(P)) \to Cohom_C(S,P) \to Cohom_C(S,P)/im P, gde P \to Cohom_C(S,P) -- strukturnoe otobrazhenie S-kontramodulya P. Netrudno videt', chto kompoziciya Q(P) \to Cohom_C(S, F(P)) \to F(P) \to P yavlyaetsya otobrazheniem S-kontramodulej, v to vremya kak komponuemye morfizmy sut' tol'ko otobrazheniya C-kontramodulej. Krome togo, otobrazhenie Q(P) v P surjektivno, a C-kontramodul' Cohom_C(S, F(P)) proektiven. Teper' utverzhdenie Lemmy vytekaet iz sleduyuschej podlemmy.
Podlemma. Pust' ... \to Q_2 \to T_2 \to Q_1 \to T_1 \to Q_0 -- proektivnaya sistema C-kontramodulej, prichem kontramoduli T_i koinjektivny, a v proektivnoj podsisteme, sostoyaschej iz odnih tol'ko Q_i, vse otobrazheniya surjektivny. Togda obratnyj predel lim Q_i = lim T_i yavlyaetsya koinjektivnym kontramodulem. Dokazatel'stvo podlemmy: nuzhno proverit', chto dlya lyuboj tochnoj trojki levyh C-komodulej L_1 \to L_2 \to L_3 imeetsya tochnaya trojka vektornyh prostranstv Cohom(L_3, lim T_i|Q_i) \to Cohom(L_2, lim) \to Cohom(L_1, lim). Dokazhem snachala, chto dlya lyubogo C-komodulya L my imeem Cohom(L, lim) = lim Cohom(L, T_i|Q_i). Dlya lyubogo kontramodulya X napishem bar-konstrukciyu ... \to Hom_k(C\ot_k C\ot_k L, X) \to Hom_k(C\ot_k L, X) \to Hom_k(L,X); togda Cohom_C(L,X) est', po opredeleniyu, nulevye gomologii etogo kompleksa. Pust' teper' imeetsya proektivnaya sistema kompleksov, gde vse kompleksy s nechetnymi nomerami imeyut gomologii tol'ko v graduirovke nul', a kompleksy s chetnymi nomerami obrazuyut proektivnuyu podsistemu s surjektivnymi otobrazheniyami proekcii. Togda ya utverzhdayu, chto kompleks-obratnyj predel imeet gomologii tol'ko v graduirovke nul', i oni ravny obratnomu predelu nulevyh gomologij kompleksov sistemy. V samom dele, proektivnye sistemy, v kotoryh podsistemy s chetnymi nomerami imeyut surjektivnye otobrazheniya proekcii, yavlyayutsya aciklichnymi ob'ektami po otnosheniyu k proizvodnomu funktoru obratnogo predela lim^1. Ostatok dokazatel'stva podlemmy predostavlyaetsya chitatelyam.
V-2. Na sleduyuschem shage nuzhno pokazat', chto dlya lyubogo kompleksa S-kontramodulej X najdetsya otobrazhenie f: Y\to X, takoe chto vse chleny kompleksa Y sut' koinjektivnye C-kontramoduli, a konus f yavlyaetsya trivial'nym kompleksom. Eto delaetsya tochno tak zhe, kak v punkte V-2 predyduschego pis'ma, s toj raznicej, chto svertka bikompleksa delaetsya s pomosch'yu pryamyh proizvedenij (a ne pryamyh summ) vdol' diagonalej. Potom ispol'zuetsya gomotopicheskij obratnyj predel, i voobsche vse proiskhodit, kak obychno byvaet v D''.
V-3. Na poslednem shage ostaetsya dokazat', chto dlya lyubogo kompleksa C-koinjektivnyh S-kontramodulej Y najdetsya poluinjektivnyj kompleks S-kontramodulej Z vmeste s morfizmom g: Y\to Z, takim chto konus g trivialen (na samom dele, dazhe C-styagivaem). Eto delaetsya tochno tak zhe, kak v razdele V-3 predyduschego pis'ma, tol'ko vmesto inducirovannyh S-modulej ispol'zuyutsya koinducirovannye S-kontramoduli Cohom_C(S,-) i total'nyj bikompleks (v otlichie ot situacii predyduschego pis'ma) snova beretsya s pomosh'yu beskonechnyh proizvedenij. Voobsche esli "konstrukcii iz razdelov V-2" tipichny dlya proizvodnyh kategorij so shtrihami, to tochno tak zhe "konstrukcii iz razdelov V-3" tipichny dlya bolee klassicheskih (Spaltenshtejnovskih) proizvodnyh kategorij D.
VI. Teper' funktor polubeskonechnyh kogomologij mozhno opredelit' sovershenno analogichno tomu, kak opredelyalsya funktor polubeskonechnyh gomologij v predyduschem pis'me.
VII. Cel'yu etogo razdela yavlyaetsya dokazatel'stvo dvuh utverzhdenij: (1) opredelennye vyshe proizvodnye kategorii levyh S-modulej i levyh S-kontramodulej estestvennym obrazom ekvivalentny; (2) funktor polubeskonechnyh kogomologij sootvestvuet pri etoj ekvivalentnosti funktoru Hom.
VII-1. Ya nachnu s nekotorogo kommentariya k Teoremam 1-2 iz razdela V. Na samom dele dokazatel'stvo etih teorem dokazyvaet nechto bol'shee, chem skazano v ih formulirovke. A imenno, nazovem rezol'ventnoj podkategoriej v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej polnuyu triangulirovannuyu podkategoriyu, sostoyaschuyu iz vseh kompleksov, kotorye mozhno poluchit' konusami, sdvigami i beskonechnymi pryamymi summami iz kompleksov, inducirovannyh s kompleksov injektivnyh C-komodulej. Analogichnym obrazom, rezol'ventnaya podkategoriya v gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-kontramodulej sostoit iz vseh kompleksov, kotorye mozhno poluchit' konusami, sdvigami i beskonechnymi proizvedeniyami iz kompleksov, koinducirovannyh s kompleksov koinjektivnyh C-kontramodulej. Dokazatel'stvo Teorem 1-2 na samom dele dokazyvaet sleduyuschee: lyubaya polnaya triangulirovannaya podkategoriya gomotopicheskoj kategorii kompleksov S-modulej ili S-kontramodulej, soderzhaschaya rezol'ventnuyu podkategoriyu, posle faktorizacii po svoemu peresecheniyu s polnoj podkategoriej trivial'nyh kompleksov ekvivalentno proeciruetsya na sootv. proizvodnuyu kategoriyu.
V chastnosti, eto verno dlya polnoj podkategorii, sostoyaschej iz vseh kompleksov C-injektivnyh S-modulej. Ee peresechenie s polnoj podkategoriej trivial'nyh kompleksov sostoit iz vseh kompleksov C-injektivnyh S-modulej, styagivaemyh nad C.
Takim obrazom, proizvodnaya kategoriya S-modulej ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii kompleksov C-injektivnyh S-modulej po polnoj podkategorii C-styagivaemyh C-injektivnyh kompleksov.
VII-2. Chtoby skazat' to zhe samoe dlya S-kontramodulej, mne ponadobitsya ispol'zovat' sleduyuschuyu gipotezu.
Gipoteza 1. Dlya lyuboj koalgebry C, klassy kontraploskih, koinjektivnyh i proektivnyh C-kontramodulej sovpadayut. Drugimi slovami, vsyakij kontraploskij C-kontramodul' yavlyaetsya proektivnym.
Primer. Pust' koalgebra C konechnomerna. Togda C-komoduli i C-kontramoduli sut' prosto moduli nad konechnomernoj algebroj N, dvojstvennoj k C. Kontraploskie kontramoduli sut' ploskie moduli, i, kak izvestno, vsyakij ploskij modul' nad konechnomernoj algebroj proektiven [sm. napr. stat'yu Bassa v Trans. AMS v.95 za 1960 god].
U menya est' oschuschenie, chto Gipotezu 1 mozhno vyvesti iz sleduyuschego namnogo bolee fundamental'nogo utverzhdeniya o kontramodulyah.
Gipoteza 2. Dlya lyubogo kontramodulya P nad koalgebroj C, peresechenie obrazov prostranstv Hom_k(C/V, P) pri strukturnom otobrazhenii Hom_k(C,P) \to P, vzyatoe po vsem konechnomernym podprostranstvam (ili, esli ugodno, podkoalgebram) V v C, ravno nulyu v P.
Primer. V chetvertom pis'me za 2000 god zadavalsya vopros, kak dokazat', chto vsyakij konechnomernyj C-kontramodul' yavlyaetsya kontramodulem nad konechnomernoj podkoalgebroj C. Vidno, chto eto utverzhdenie yavlyaetsya chastnym sluchaem Gipotezy 2.
VII-3. Ispol'zuya Gipotezu 1, mozhno utverzhdat', chto polnaya podkategoriya v gomotopicheskoj kategorii S-kontramodulej, sostoyaschaya iz vseh kompleksov C-proektivnyh kontramodulej, soderzhit rezol'ventnuyu podkategoriyu. Ee peresechenie s polnoj podkategoriej trivial'nyh kompleksov sostoit iz vseh kompleksov C-proektivnyh S-kontramodulej, styagivaemyh nad C. Sledovatel'no, proizvodnaya kategoriya S-kontramodulej ekvivalentna faktorkategorii gomotopicheskoj kategorii kompleksov C-proektivnyh S-kontramodulej po polnoj podkategorii C-styagivaemyh C-proektivnyh kompleksov.
V konce 4-go pis'ma iz "letnej serii" 2000-go goda bylo pokazano, chto additivnye kategorii injektivnyh C-komodulej i proektivnyh C-kontramodulej ektvivalentny, i struktury S-modulya na C-komodulyah odnoznachno sootvetstvuyut strukturam S-kontramodulya na C-kontramodulyah pri etoj ekvivalentnosti -- tak chto kategorii C-injektivnyh S-modulej i C-proektivnyh S-kontramodulej ekvivalentny tozhe. Teper' otsyuda nemedlenno poluchaetsya ekvivalentnost' proizvodnyh kategorij S-modulej i S-kontramodulej.
VII-4. Utverzhdaetsya, chto pri etoj ekvivalentnosti kategorij funktor polubeskonechnyh kogomologij perehodit v funktor Hom. Eto sleduet iz formul, vypisannyh v razdele II-2 nastoyaschego pis'ma. Tochnee skazat', mozhno rassuzhdat' tak. Pust' nekij ob'ekt proivodnoj kategorii S-modulej predstavlen kompleksom C-injektivnyh S-modulej L, a ob'ekt proizvodnoj kategorii S-kontramodulej predstavlen kompleksom C-injektivnyh S-kontramodulej P. Togda proizvodnyj funktor funktora Cohom na ob'ektah L i P mozhno vychislit', vybrav otobrazheniya s trivial'nymi konusami L_1 \to L i P \to P_1, gde L_1 i P_1 prinadlezhat rezol'ventnym podkategoriyam, i poschitav Cohom(L_1,P_1), ili Cohom(L_1,P), ili Cohom(L,P_1) (vse ravno). Soglasno formule iz razdela II-2, my znaem, chto Cohom(L_1,P_1) = Hom(\psi(L_1), P_1), gde \psi oboznachaet funktor iz C-injektivnyh S-modulej v C-proektivnye C-komoduli, a Hom beretsya v gomotopicheskoj kategorii. Teper' ostalos' pokazat', chto \psi(L_1) lezhit v levom, a P_1 -- v pravom ortogonale k podkategorii C-styagivaemyh kompleksov v gomotopicheskoj kategorii C-proektivnyh kompleksov S-kontramodulej (ili hotya by odno iz etih dvuh utverzhdeniij -- na samom dele verny oba). V samom dele, pust' X -- takoj C-styagivaemyj kompleks, togda Hom(\psi(L_1), X) = Cohom(L_1, X) = 0, poskol'ku kompleks L_1 poluproektiven. Analogichno Hom(X, P_1) = Cohom(\psi^{-1}(X), P_1) = 0, poskol'ku psi^{-1}(X) tozhe C-styagivaem, a P_1 poluinjektiven.
Prizmotrevshis' k etomu rassuzhdeniyu, mozhno zametit', chto i bez predpozheniya Gipotezy 1 ono dokazyvaet suschestvovanie funktora \Psi iz proizvodnoj kategorii S-modulej v proizvodnuyu kategoriyu S-kontramodulej, takogo chto proizvodnyj funktor funktora Cohom raven komposicii funktora \Psi s funktorom Hom v proizvodnoj kategorii kontramodulej. Gipoteza 1 nuzhna, chtoby dokazat', chto \Psi -- ekvivalentnost' kategorij. Kogda koalgebra C konechnomerna, my eto znaem.
