posic

Что-то я перестал понимать, в чем, собственно, такая уж неразрешимая проблема. По сути дела, нужно ответить на такой элементарный вопрос. Пусть A -- нетерово коммутативное кольцо, I -- идеал в нем, f_i -- конечный набор элементов A, порождающий единичный идеал. Будем рассматривать I-адические пополнения A и его локализаций по конечным подмножествам f_i. Пусть для каждого i задано по контрамодулю P_i над A[f_i⁻¹]_I, и пусть для каждой пары i, j задан изоморфизм между контрамодульными тензорными произведениями P_i и P_j на A[f_i⁻¹,f_j⁻¹]_I над, соответственно, A[f_i⁻¹]_I и A[f_j⁻¹]_I (рассматриваемыми как контрамодули над A[f_i⁻¹,f_j⁻¹]_I). Наложим очевидные условия согласования на тройных пересечениях. Можно ли по этим данным однозначно восстановить контрамодуль M над A_I?

Для начала, конечно, нужно, чтобы функтор контрамодульного тензорного произведения на A[f⁻¹]_I над A_I был точным.

Такие контракогерентные пучки, если они существуют, в случае обычной (не формальной) схемы будут совпадать с обычными квазикогерентными пучками, так что вопрос об определении контрапроизводной категории их останется открытым. Его можно пытаться обойти, рассматривая какую-нибудь из производных категорий точной категории плоских пучков -- или разрешить, для начала в случае обычной схемы -- решив задачу об описании ядра композиции функтора, сопряженного справа к вложению гомотопической категории плоских пучков в гомотопическую категорию произвольных пучков, и функтора проекции гомотопической категории плоских пучков в их производную категорию.

P.S. Проблема в том, что даже если такое определение имеет смысл, в полученной категории контракогерентных пучков не будут точны ни прямые суммы, ни прямые произведения. Т.е. за исключением, может быть, гладкого случая, определять производную категорию второго рода все равно придется в терминах плоских или локально постоянных пучков.

А плоские или локально постоянные пучки на формальной схеме, кажется, можно определить без всяких контрамодулей. Просто набор, соотв., плоских или локально постоянных пучков на всех замкнутых подсхемах, согласованный при ограничениях. Таким образом, категория плоских/локально постоянных пучков в случае формальной схемы перестает вкладываться в категорию квазикогерентных пучков (кручения). Если дальше думать на эту тему, можно для начала попытаться построить ковариантную двойственность Серра-Гротендика (эквивалентность экзотических производных категорий) для этих двух категорий пучков.