![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение http://posic.livejournal.com/706377.html . Сформулируем выводы из рассуждений по ссылке в немного другой (неэквивалентной, но более удобной для нас) форме. Обозначения прежние.
Пусть N -- правый DG-модуль над C, а M -- конечно-порожденный левый DG-модуль. Предположим, что M как объект абс. производной категории конечно порожденных DG-модулей изоморфен совершенному DG-модулю (т.е., принадлежит толстой подкатегории, натянутой на свободные DG-модули с одним объектом C -- образующей). Тогда тензорное произведение M над B на любой ацикличный градуированно плоский правый DG-модуль над C ациклично. Поэтому Tor первого и второго рода между N и M совпадают для всех N.
Аналогично, пусть L -- конечно-порожденный левый DG-модуль над C, а M -- произвольный левый DG-модуль. Предположим, что L как объект абс. производной категории конечно порожденных DG-модулей изоморфен совершенному DG-модулю. Тогда Hom над B из L в любой ацикличный градуированно инъективный левый DG-модуль над C ацикличен. Поэтому Ext первого и второго рода между L и M совпадают для всех M.
Пусть теперь C -- тензорное произведение DG-категории D правых CDG-модулей над CDG-алгеброй/категорией B над полем k на противоположную категорию. Тогда DG-категории левых и правых DG-модулей над C отождествляются с DG-категорией CDG-бимодулей над B, при этом диагональному DG-модулю над D над C соответствует диагональный CDG-бимодуль B над B. Таким образом, мы доказали следующий результат.
Теорема. Пусть B -- CDG-алгебра (или CDG-категория с конечным числом объектов) над полем k, такая что абелева категория градуированных бимодулей над градуированной алгеброй B локально нетерова. Предположим, что диагональный CDG-бимодуль B над B как объект абсолютной производной категории конечно порожденных CDG-модулей принадлежит толстой подкатегории, порожденной внешними тензорными произведениями левых и правых CDG-модулей над B с конечно порожденными проективными подлежащими градуированными модулями. Тогда (ко)гомологии Хохшильда первого и второго рода с коэффициентами в любом DG-бимодуле совпадают для DG-категории D.
Пусть N -- правый DG-модуль над C, а M -- конечно-порожденный левый DG-модуль. Предположим, что M как объект абс. производной категории конечно порожденных DG-модулей изоморфен совершенному DG-модулю (т.е., принадлежит толстой подкатегории, натянутой на свободные DG-модули с одним объектом C -- образующей). Тогда тензорное произведение M над B на любой ацикличный градуированно плоский правый DG-модуль над C ациклично. Поэтому Tor первого и второго рода между N и M совпадают для всех N.
Аналогично, пусть L -- конечно-порожденный левый DG-модуль над C, а M -- произвольный левый DG-модуль. Предположим, что L как объект абс. производной категории конечно порожденных DG-модулей изоморфен совершенному DG-модулю. Тогда Hom над B из L в любой ацикличный градуированно инъективный левый DG-модуль над C ацикличен. Поэтому Ext первого и второго рода между L и M совпадают для всех M.
Пусть теперь C -- тензорное произведение DG-категории D правых CDG-модулей над CDG-алгеброй/категорией B над полем k на противоположную категорию. Тогда DG-категории левых и правых DG-модулей над C отождествляются с DG-категорией CDG-бимодулей над B, при этом диагональному DG-модулю над D над C соответствует диагональный CDG-бимодуль B над B. Таким образом, мы доказали следующий результат.
Теорема. Пусть B -- CDG-алгебра (или CDG-категория с конечным числом объектов) над полем k, такая что абелева категория градуированных бимодулей над градуированной алгеброй B локально нетерова. Предположим, что диагональный CDG-бимодуль B над B как объект абсолютной производной категории конечно порожденных CDG-модулей принадлежит толстой подкатегории, порожденной внешними тензорными произведениями левых и правых CDG-модулей над B с конечно порожденными проективными подлежащими градуированными модулями. Тогда (ко)гомологии Хохшильда первого и второго рода с коэффициентами в любом DG-бимодуле совпадают для DG-категории D.
