![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicV. Не R-свободные CDG-модули и CDG-контрамодули
Пусть B -- CDG-алгебра в тензорной категории свободных
R-контрамодулей. Будем рассматривать CDG-модули над B в абелевой
тензорной категории произвольных R-контрамодулей. Для нас важно,
что функторы тензорного произведения на свободный R-контрамодуль
и внутренних гомоморфизмов из свободного R-контрамодуля точны
на абелевой категории R-контрамодулей.
Контрапроизводные категории R-свободных и произвольных CDG-модулей
над B в категории R-контрамодулей определяются обычным образом.
Теорема V.1. Естественный функтор из контрапроизводной категории
R-свободных CDG-модулей над B в контрапроизводную категорию
произвольных R-контрамодульных CDG-модулей над B является
эквивалентностью триангулированных категорий.
Доказательство: покажем прежде всего, что для всякого
R-контрамодульного CDG-модуля M над B найдется сюръективный
замкнутый морфизм на него из R-свободного CDG-модуля. В самом
деле, существует сюръективный морфизм градуированных R-контрамодулей
G\to M со свободным градуированным R-контрамодулем G.
Следовательно, имеется сюръективный морфизм градуированных
R-контрамодульных CDG-модулей B\ot^R G \to M. Остается применить
к градуированному B-модулю B\ot^R G конструкцию CDG-модуля, свободно
порожденного градуированным модулем. Применяя обычную конструкцию
с тотализацией левой резольвенты с помощью бесконечных произведений,
заключаем, что во всякий R-контрамодульный CDG-модуль над B имеется
замкнутый морфизм из R-свободного CDG-модуля с контраацикличным
конусом.
Далее рассуждение следует доказательству Proposition 1.5 из статьи
Coherent analogues of matrix factorizations... Нам нужно показать,
что всякий R-свободный CDG-модуль, контраацикличный по отношению
к классу всех R-контрамодульных CDG-модулей, коацикличен также
по отношению к классу R-свободных CDG-модулей. Для этого мы
проверим, что всякий морфизм из R-свободного CDG-модуля
в CDG-модуль, контраацикличный по отношению к классу всех
R-контрамодульных CDG-модулей, факторизуется в гомотопической
категории через CDG-модуль, контраацикличный по отношению к классу
R-свободных CDG-модулей. В самом деле, ясно, что класс всех
CDG-модулей, всякий морфизм в которые из R-свободного CDG-модуля
факторизуется в гомотопической категории через CDG-модуль,
контраацикличный по отношению к классу R-свободных CDG-модулей,
замкнут относительно бесконечных произведений и конусов, а то, что
он содерждит тотализации точных троек R-контрамодульных CDG-модулей,
проверяется с использованием соответствующей версии лемм 1.E-1.F
из Coherent analogues...
Теорема доказана.
Пусть A -- R-свободная CDG-алгебра с элементом кривизны,
принадлежащим mA. Определим полупроизводную категорию
R-контрамодульных CDG-модулей над A как факторкатегорию
гомотопической категории R-контрамодульных CDG-модулей над A
по ее минимальной толстой (или, эквивалентно, замкнутой
относительно бесконечных произведений триангулированной)
подкатегории, содержащей контраацикличные CDG-модули и
полуацикличные R-свободные CDG-модули. Из теоремы V.1 следует,
что естественный функтор из полупроизводной категории
R-свободных CDG-модулей в полупроизводную категорию произвольных
R-контрамодульных CDG-модулей является эквивалентностью
триангулированных категорий.
Пусть теперь С -- CDG-коалгебра в тензорной категории свободных
R-контрамодулей. Будем рассматривать CDG-контрамодули над C
в тензорной категории (с функтором внутреннего Hom'а)
произвольных R-контрамодулей. Контрапроизводная категория таких
CDG-контрамодулей определяется обычным образом.
Теорема V.2. Естественный функтор из контрапроизводной категории
R-свободных CDG-контрамодулей над C в контрапроизводную категорию
произвольных R-контрамодульных CDG-контрамодулей над C является
эквивалентностью триангулированных категорий.
Доказательство: аналогично доказательству теоремы V.1.
Заметим, что в случае, когда абелева категория контрамодулей над R
имеет конечную гомологическую размерность, утверждения
теорем V.1-V.2 верны также применительно к абсолютным производным
категориям вместо контрапроизводных категорий. Доказательства
точно такие же, с заменой бесконечных левых резольвент на конечные.
Далее, полупроизводную категорию R-контрамодульных CDG-модулей над A
можно в этом случае эквивалентно определять как факторкатегорию
гомотопической категории R-контрамодульных CDG-модулей по толстой
подкатегории, порожденной абсолютно ацикличными R-контрамодульными
CDG-модулями и полуацикличными R-свободными CDG-модулями.
Пусть \tau: C\to B -- скручивающая коцепь. Тогда конструкции
функторов кошулевой двойственности M\mapsto Hom^\tau(C,M) и
P\mapsto Hom^\tau(B,P) продолжаются на произвольные
R-контрамодульные CDG-модули над B и CDG-контрамодули над C,
и индуцируют корректно определенные триангулированные функторы между
контрапроизводными категориями первых и вторых. Поэтому если
эти функторы являются эквивалентностями между контрапроизводными
категориями R-свободных CDG-модулей и CDG-контрамодулей (как
в ситуации теоремы IV.3), то они являются и эквивалентностями
между контрапроизводными категориями произвольных R-контрамодульных
CDG-модулей и CDG-контрамодулей.
Далее, если \tau: C\to A -- скручивающая коцепь, удовлетворяющая
условиям из первой фразы теоремы IV.6, то функторы кошулевой
двойственности M\mapsto Hom^\tau(C,M) и P\mapsto Hom^\tau(A,P)
индуцируют корректно определенные триангулированные функторы
между полупроизводной категорией R-контрамодульных CDG-модулей и
контрапроизводной категорией R-контрамодульных CDG-контрамодулей.
Поэтому если эти функторы являются эквивалентностями между
полупроизводной и контрапроизводной категориями R-свободных
CDG-модулей и CDG-контрамодулей (как в ситуации следствия IV.4 и
теорем IV.5-IV.6), то они являются и эквивалентностями между
полупроизвольной и контрапроизводной категориями произвольных
R-контрамодульных CDG-модулей и CDG-контрамодулей.
Мы не рассматриваем здесь CDG-комодули над B в тензорной категории
произвольных R-контрамодулей, поскольку функтор тензорного
произведения со свободным R-контрамодулем (т.е., бесконечной
прямой суммы) не точен слева на абелевой категории произвольных
R-контрамодулей, так что категория R-контрамодульных комодулей
над R-свободной коалгеброй может не быть абелевой. Однако,
прямые суммы R-контрамодулей являются точным функтором, когда
абелева категория R-контрамодулей имеет гомологическую размерность
один (http://posic.livejournal.com/683676.html ). В этом случае,
для копроизводной категории R-контрамодульных CDG-комодулей над B
может быть развита теория, аналогичная теории контрапроизводной
категории R-контрамодульных CDG-контрамодулей выше. Для построения
R-свободных левых резольвент B-комодулей можно использовать
конструкцию из [semimod, Lemma 1.1.3].
VI. Комодули над топологическими локальными кольцами
Пусть R -- проартиново топологическое кольцо. Комодулем над R
называется объект категории, противоположной к категории
квази-компактных R-модулей в смысле [gabriel's-thesis]; другими
словами, R-комодуль -- это инд-объект абелевой категории,
противоположной к категории дискретных R-модулей конечной длины.
По определению, R-комодули образуют локально нетерову (и даже
локально конечную) абелеву категорию Гротендика.
На категории R-comod определен естественный функтор N\to N^op,
принимающий значения в категории про-объектов в категории дискретных
R-модулей конечной длины. Из последней категории в категорию
абелевых групп действует точный, консервативный функтор проективного
предела (см. http://posic.livejournal.com/686472.html ). Последний
функтор также естественным образом пропускается через категорию
R-контрамодулей R-contra.
В абелевой категории R-comod имеется выделенный объект C = C(R),
такой что C^op = R и Hom_{R-comod}(N,C) = N^op. Таким образом,
объект C является инъективной кообразующей категории R-comod. Ввиду
локальной нетеровости этой категории, инъективны также прямые суммы
копий объекта C. Мы будем называть их косвободными R-комодулями.
Легко видеть, что их достаточно много, так что инъективные
R-комодули суть в точности прямые слагаемые косвободных.
Как во всякой категории Гротендика, в R-comod есть бесконечные
произведения. Один из способов их описания такой: сопоставим любому
R-комодулю N и замкнутому идеалу J в R максимальный подкомодуль N_J
в N, являющийся комодулем над R/J. Тогда функтор N\mapsto N_J,
будучи сопряженным справа к функтору вложения R/J-комодулей
в R-комодули, точен слева и сохраняет бесконечные произведения.
Поэтому \prod_\alpha N_\alpha = liminj_I \prod_\alpha (N_alpha)_I
в категории R-comod, где I пробегает все открытые идеалы в R.
Что касается функтора бесконечного произведения в категории
комодулей над артиновым кольцом R/I, то он точен, поскольку в этой
категории достаточно много проективных объектов. Последними
являются прямые суммы объектов, противоположных к инъективным
оболочкам неприводимых R/I-модулей. Очевидно, функтор N\mapsto N_J
коммутирует также с направленными прямыми пределами. Для любого
замкнутого идеала J в R имеем C(R)_J = C(R/J).
Для любого проартинова топологического кольца R и любых R-комодулей
M и N, множество всех морфизмов R-комодулей M\to N является
R-контрамодулем относительно операции бесконечного суммирования
(\sum_f r_f f)(m) = \sum_f f(r_f m) (обозначения символические),
где в сумме справа только конечное число слагаемых отлично от нуля
"для каждого фиксированного m\in M". Мы будем обозначать этот
контрамодуль через Hom_R(M,N). Ясно, что функтор Hom_R точен слева
и сопоставляет произведения контрамодулей прямым суммам комодулей
по первому аргументу и прямым произведениям контрамодулей по
второму. Подставляя N = C, мы получаем уже известный нам функтор
контравариантный функтор R-comod^op \to R-contra, переводящий
M в M^op. Для любых R-комодулей M и N и замкнутого идеала J в R
имеется естественный гомоморфизм R/J-контрамодулей
Hom_R(M,N)/JHom_R(M,N) \to Hom_R(M_J,N_J). Этот гомоморфизм
является изоморфизмом для инъективных R-комодулей M и N, в чем
можно убедиться, рассмотрев случай M = N = C(R), а потом представив
произвольный инъективный M в виде прямого слагаемого прямой суммы
копий C(R), а N -- в виде прямого слагаемого прямого произведения
копий C(R).
Для любого проартинова топологического кольца R, любого
R-контрамодуля P, и любого R-комодуля M, контратензорное
произведение P\ot_R M -- это R-комодуль, определяемый правилами
(i) P\ot_R M = liminj_I P/IP \ot_R/I M_I, где I пробегает
открытые идеалы в R;
(ii) функтор \ot_R/I коммутирует с (направленными) индуктивными
пределами по обоим аргументам;
(iii) (Q \ot_R/I N)^op = Hom_R/I(Q, N^op) для модулей конечной
длины Q и N^op над артиновым кольцом R/I.
Очевидно, что функтор \ot_R точен справа и коммутирует с прямыми
суммами по обоим аргументам. Ясно также, что имеется естественный
изоморфизм R-комодулей R\ot_R M = M для любого R-комодуля M, и
естественный изоморфизм R-комодулей (P\ot^R Q)\ot_R M =
P\ot_R (Q\ot_R M) для любых R-контрамодулей P, Q и R-комодуля M.
Наконец, для любого R-контрамодуля P и R-комодулей M, N имеется
естественный изоморфизм R-контрамодулей Hom_R(P\ot_R M, N) =
Hom^R(P, Hom_R(M,N)). Для любого R-контрамодуля P, R-комодуля M,
и замкнутого идеала J в R имеется естественное отображение
P/JP \ot_R/J M_J = P \ot_R M_J \to (P\ot_R M)_J, являющееся
изоморфизмом, когда контрамодуль P свободен.
Для любого проартинова топологического кольца R, любого
R-контрамодуля P, и любого R-комодуля M, R-комодуль
контрагомоморфизмов Ctrhom_R(P,M) определяется правилами
(i) Ctrhom_R(P,M) = liminj_I Ctrhom_{R/I}(P/IP, M_I);
(ii) функтор Chom_{R/I} переводит (направленные) индуктивные
пределы по первому аргументу в проективные пределы;
(iii) для модуля конечной длины Q над артиновым кольцом R/I,
функтор Ctrhom_{R/I}(Q,-) переводит направленные индуктивные
пределы по второму аргументу в индуктивные пределы;
(iv) Ctrhom_{R/I}(Q,N^op) = (Q\ot_{R/I} N)^op для модулей конечной
длины Q и N^op над артиновым кольцом R/I.
Ясно, что функтор ctrhom_R точен слева по обоим аргументам и
переводит прямые суммы по первому аргументу и прямые произведения
по второму аргументу в прямые произведения. Имеется естественный
изоморфизм R-комодулей Ctrhom_R(R,M) = M для любого R-комодуля M,
и естественный изоморфизм R-комодулей Ctrhom_R(P\ot^R Q, M) =
Ctrhom_R(P, Ctrhom_R(Q,M)) для любых R-контрамодулей P, Q и
R-комодуля M. Наконец, для любого R-контрамодуля P и R-комодулей
M, N имеется естественный изоморфизм Hom_R(P\ot_R M, N) =
Hom_R(M, Ctrhom(P,N)). Для любого R-контрамодуля P, R-комодуля M,
и замкнутого идеала J в R имеется естественный изоморфизм
Ctrhom_R(P,M)_J = Ctrhom_R/J(P/JP, M_J).
Пусть N -- комодуль над R. Из сказанного выше ясно, что функтор
R-contra \to R-comod, определенный правилом P \mapsto N\oc_R P,
сопряжен слева к функтору R-comod \to R-contra, определенному
правилом M \mapsto Hom_R(N,M).
Предложение VI.1. Функторы Phi_R = (C\oc_R -) и Psi_R = Hom_R(C,-)
являются взаимно-обратными эквивалентностями между аддитивными
категориями косвободных R-комодулей и свободных R-контрамодулей.
Доказательство: ясно, что функторы Phi_R и Psi_R переводят R в C
и обратно, функтор Phi_R сохраняет бесконечные прямые суммы,
и функтор Phi_C сохраняет бесконечные произведения; отсюда следует,
что функторы Phi_C и Psi_C переводят проективные контрамодули
в инъективные комодули и обратно. Остается показать, что функтор
Psi_R сохраняет бесконечные прямые суммы косвободных комодулей.
В самом деле, Hom_R(C,M)/I Hom_R(C,M) = Hom_{R/I}(C(R/I), M_I)
для инъективных комодулей M, Hom_{R/I} из комодуля конечной длины
сохраняет бесконечные прямые суммы, и морфизм проективных
R-контрамодулей P\to Q является изоморфизмом, если таковыми
являются все морфизмы P/IP\to Q/IQ.
Лемма VI.2: над проартиновым топологическим локальным кольцом R,
классы инъективных и косвободных комодулей совпадают.
Лемма VI.3: пусть C -- (возможно, неограниченный) комплекс
косвободных комодулей над проартиновым топологическим локальным
кольцом R с максимальным идеалом m. Тогда комплекс C стягиваем
тогда и только тогда, когда комплекс векторных пространств C_m
стягиваем (т.е., ацикличен).
Доказательства лемм VI.2-VI.3 двойственны доказательствам лемм I.1
и I.3, и основаны на следующей двойственной версии леммы Накаямы:
если M_m = 0 для некоторого R-комодуля M, то M = 0.
VII. R-косвободные и не R-косвободные CDG-модули и CDG-комодули.
Компактная порожденность
VIII. Строго унитальные искривленные A_\infty-алгебры
и строго коунитальные искривленные A_\infty-коалгебры
IX. Стриктификация единиц
X. Модельные структуры
Пусть B -- CDG-алгебра в тензорной категории свободных
R-контрамодулей. Будем рассматривать CDG-модули над B в абелевой
тензорной категории произвольных R-контрамодулей. Для нас важно,
что функторы тензорного произведения на свободный R-контрамодуль
и внутренних гомоморфизмов из свободного R-контрамодуля точны
на абелевой категории R-контрамодулей.
Контрапроизводные категории R-свободных и произвольных CDG-модулей
над B в категории R-контрамодулей определяются обычным образом.
Теорема V.1. Естественный функтор из контрапроизводной категории
R-свободных CDG-модулей над B в контрапроизводную категорию
произвольных R-контрамодульных CDG-модулей над B является
эквивалентностью триангулированных категорий.
Доказательство: покажем прежде всего, что для всякого
R-контрамодульного CDG-модуля M над B найдется сюръективный
замкнутый морфизм на него из R-свободного CDG-модуля. В самом
деле, существует сюръективный морфизм градуированных R-контрамодулей
G\to M со свободным градуированным R-контрамодулем G.
Следовательно, имеется сюръективный морфизм градуированных
R-контрамодульных CDG-модулей B\ot^R G \to M. Остается применить
к градуированному B-модулю B\ot^R G конструкцию CDG-модуля, свободно
порожденного градуированным модулем. Применяя обычную конструкцию
с тотализацией левой резольвенты с помощью бесконечных произведений,
заключаем, что во всякий R-контрамодульный CDG-модуль над B имеется
замкнутый морфизм из R-свободного CDG-модуля с контраацикличным
конусом.
Далее рассуждение следует доказательству Proposition 1.5 из статьи
Coherent analogues of matrix factorizations... Нам нужно показать,
что всякий R-свободный CDG-модуль, контраацикличный по отношению
к классу всех R-контрамодульных CDG-модулей, коацикличен также
по отношению к классу R-свободных CDG-модулей. Для этого мы
проверим, что всякий морфизм из R-свободного CDG-модуля
в CDG-модуль, контраацикличный по отношению к классу всех
R-контрамодульных CDG-модулей, факторизуется в гомотопической
категории через CDG-модуль, контраацикличный по отношению к классу
R-свободных CDG-модулей. В самом деле, ясно, что класс всех
CDG-модулей, всякий морфизм в которые из R-свободного CDG-модуля
факторизуется в гомотопической категории через CDG-модуль,
контраацикличный по отношению к классу R-свободных CDG-модулей,
замкнут относительно бесконечных произведений и конусов, а то, что
он содерждит тотализации точных троек R-контрамодульных CDG-модулей,
проверяется с использованием соответствующей версии лемм 1.E-1.F
из Coherent analogues...
Теорема доказана.
Пусть A -- R-свободная CDG-алгебра с элементом кривизны,
принадлежащим mA. Определим полупроизводную категорию
R-контрамодульных CDG-модулей над A как факторкатегорию
гомотопической категории R-контрамодульных CDG-модулей над A
по ее минимальной толстой (или, эквивалентно, замкнутой
относительно бесконечных произведений триангулированной)
подкатегории, содержащей контраацикличные CDG-модули и
полуацикличные R-свободные CDG-модули. Из теоремы V.1 следует,
что естественный функтор из полупроизводной категории
R-свободных CDG-модулей в полупроизводную категорию произвольных
R-контрамодульных CDG-модулей является эквивалентностью
триангулированных категорий.
Пусть теперь С -- CDG-коалгебра в тензорной категории свободных
R-контрамодулей. Будем рассматривать CDG-контрамодули над C
в тензорной категории (с функтором внутреннего Hom'а)
произвольных R-контрамодулей. Контрапроизводная категория таких
CDG-контрамодулей определяется обычным образом.
Теорема V.2. Естественный функтор из контрапроизводной категории
R-свободных CDG-контрамодулей над C в контрапроизводную категорию
произвольных R-контрамодульных CDG-контрамодулей над C является
эквивалентностью триангулированных категорий.
Доказательство: аналогично доказательству теоремы V.1.
Заметим, что в случае, когда абелева категория контрамодулей над R
имеет конечную гомологическую размерность, утверждения
теорем V.1-V.2 верны также применительно к абсолютным производным
категориям вместо контрапроизводных категорий. Доказательства
точно такие же, с заменой бесконечных левых резольвент на конечные.
Далее, полупроизводную категорию R-контрамодульных CDG-модулей над A
можно в этом случае эквивалентно определять как факторкатегорию
гомотопической категории R-контрамодульных CDG-модулей по толстой
подкатегории, порожденной абсолютно ацикличными R-контрамодульными
CDG-модулями и полуацикличными R-свободными CDG-модулями.
Пусть \tau: C\to B -- скручивающая коцепь. Тогда конструкции
функторов кошулевой двойственности M\mapsto Hom^\tau(C,M) и
P\mapsto Hom^\tau(B,P) продолжаются на произвольные
R-контрамодульные CDG-модули над B и CDG-контрамодули над C,
и индуцируют корректно определенные триангулированные функторы между
контрапроизводными категориями первых и вторых. Поэтому если
эти функторы являются эквивалентностями между контрапроизводными
категориями R-свободных CDG-модулей и CDG-контрамодулей (как
в ситуации теоремы IV.3), то они являются и эквивалентностями
между контрапроизводными категориями произвольных R-контрамодульных
CDG-модулей и CDG-контрамодулей.
Далее, если \tau: C\to A -- скручивающая коцепь, удовлетворяющая
условиям из первой фразы теоремы IV.6, то функторы кошулевой
двойственности M\mapsto Hom^\tau(C,M) и P\mapsto Hom^\tau(A,P)
индуцируют корректно определенные триангулированные функторы
между полупроизводной категорией R-контрамодульных CDG-модулей и
контрапроизводной категорией R-контрамодульных CDG-контрамодулей.
Поэтому если эти функторы являются эквивалентностями между
полупроизводной и контрапроизводной категориями R-свободных
CDG-модулей и CDG-контрамодулей (как в ситуации следствия IV.4 и
теорем IV.5-IV.6), то они являются и эквивалентностями между
полупроизвольной и контрапроизводной категориями произвольных
R-контрамодульных CDG-модулей и CDG-контрамодулей.
Мы не рассматриваем здесь CDG-комодули над B в тензорной категории
произвольных R-контрамодулей, поскольку функтор тензорного
произведения со свободным R-контрамодулем (т.е., бесконечной
прямой суммы) не точен слева на абелевой категории произвольных
R-контрамодулей, так что категория R-контрамодульных комодулей
над R-свободной коалгеброй может не быть абелевой. Однако,
прямые суммы R-контрамодулей являются точным функтором, когда
абелева категория R-контрамодулей имеет гомологическую размерность
один (http://posic.livejournal.com/683676.html ). В этом случае,
для копроизводной категории R-контрамодульных CDG-комодулей над B
может быть развита теория, аналогичная теории контрапроизводной
категории R-контрамодульных CDG-контрамодулей выше. Для построения
R-свободных левых резольвент B-комодулей можно использовать
конструкцию из [semimod, Lemma 1.1.3].
VI. Комодули над топологическими локальными кольцами
Пусть R -- проартиново топологическое кольцо. Комодулем над R
называется объект категории, противоположной к категории
квази-компактных R-модулей в смысле [gabriel's-thesis]; другими
словами, R-комодуль -- это инд-объект абелевой категории,
противоположной к категории дискретных R-модулей конечной длины.
По определению, R-комодули образуют локально нетерову (и даже
локально конечную) абелеву категорию Гротендика.
На категории R-comod определен естественный функтор N\to N^op,
принимающий значения в категории про-объектов в категории дискретных
R-модулей конечной длины. Из последней категории в категорию
абелевых групп действует точный, консервативный функтор проективного
предела (см. http://posic.livejournal.com/686472.html ). Последний
функтор также естественным образом пропускается через категорию
R-контрамодулей R-contra.
В абелевой категории R-comod имеется выделенный объект C = C(R),
такой что C^op = R и Hom_{R-comod}(N,C) = N^op. Таким образом,
объект C является инъективной кообразующей категории R-comod. Ввиду
локальной нетеровости этой категории, инъективны также прямые суммы
копий объекта C. Мы будем называть их косвободными R-комодулями.
Легко видеть, что их достаточно много, так что инъективные
R-комодули суть в точности прямые слагаемые косвободных.
Как во всякой категории Гротендика, в R-comod есть бесконечные
произведения. Один из способов их описания такой: сопоставим любому
R-комодулю N и замкнутому идеалу J в R максимальный подкомодуль N_J
в N, являющийся комодулем над R/J. Тогда функтор N\mapsto N_J,
будучи сопряженным справа к функтору вложения R/J-комодулей
в R-комодули, точен слева и сохраняет бесконечные произведения.
Поэтому \prod_\alpha N_\alpha = liminj_I \prod_\alpha (N_alpha)_I
в категории R-comod, где I пробегает все открытые идеалы в R.
Что касается функтора бесконечного произведения в категории
комодулей над артиновым кольцом R/I, то он точен, поскольку в этой
категории достаточно много проективных объектов. Последними
являются прямые суммы объектов, противоположных к инъективным
оболочкам неприводимых R/I-модулей. Очевидно, функтор N\mapsto N_J
коммутирует также с направленными прямыми пределами. Для любого
замкнутого идеала J в R имеем C(R)_J = C(R/J).
Для любого проартинова топологического кольца R и любых R-комодулей
M и N, множество всех морфизмов R-комодулей M\to N является
R-контрамодулем относительно операции бесконечного суммирования
(\sum_f r_f f)(m) = \sum_f f(r_f m) (обозначения символические),
где в сумме справа только конечное число слагаемых отлично от нуля
"для каждого фиксированного m\in M". Мы будем обозначать этот
контрамодуль через Hom_R(M,N). Ясно, что функтор Hom_R точен слева
и сопоставляет произведения контрамодулей прямым суммам комодулей
по первому аргументу и прямым произведениям контрамодулей по
второму. Подставляя N = C, мы получаем уже известный нам функтор
контравариантный функтор R-comod^op \to R-contra, переводящий
M в M^op. Для любых R-комодулей M и N и замкнутого идеала J в R
имеется естественный гомоморфизм R/J-контрамодулей
Hom_R(M,N)/JHom_R(M,N) \to Hom_R(M_J,N_J). Этот гомоморфизм
является изоморфизмом для инъективных R-комодулей M и N, в чем
можно убедиться, рассмотрев случай M = N = C(R), а потом представив
произвольный инъективный M в виде прямого слагаемого прямой суммы
копий C(R), а N -- в виде прямого слагаемого прямого произведения
копий C(R).
Для любого проартинова топологического кольца R, любого
R-контрамодуля P, и любого R-комодуля M, контратензорное
произведение P\ot_R M -- это R-комодуль, определяемый правилами
(i) P\ot_R M = liminj_I P/IP \ot_R/I M_I, где I пробегает
открытые идеалы в R;
(ii) функтор \ot_R/I коммутирует с (направленными) индуктивными
пределами по обоим аргументам;
(iii) (Q \ot_R/I N)^op = Hom_R/I(Q, N^op) для модулей конечной
длины Q и N^op над артиновым кольцом R/I.
Очевидно, что функтор \ot_R точен справа и коммутирует с прямыми
суммами по обоим аргументам. Ясно также, что имеется естественный
изоморфизм R-комодулей R\ot_R M = M для любого R-комодуля M, и
естественный изоморфизм R-комодулей (P\ot^R Q)\ot_R M =
P\ot_R (Q\ot_R M) для любых R-контрамодулей P, Q и R-комодуля M.
Наконец, для любого R-контрамодуля P и R-комодулей M, N имеется
естественный изоморфизм R-контрамодулей Hom_R(P\ot_R M, N) =
Hom^R(P, Hom_R(M,N)). Для любого R-контрамодуля P, R-комодуля M,
и замкнутого идеала J в R имеется естественное отображение
P/JP \ot_R/J M_J = P \ot_R M_J \to (P\ot_R M)_J, являющееся
изоморфизмом, когда контрамодуль P свободен.
Для любого проартинова топологического кольца R, любого
R-контрамодуля P, и любого R-комодуля M, R-комодуль
контрагомоморфизмов Ctrhom_R(P,M) определяется правилами
(i) Ctrhom_R(P,M) = liminj_I Ctrhom_{R/I}(P/IP, M_I);
(ii) функтор Chom_{R/I} переводит (направленные) индуктивные
пределы по первому аргументу в проективные пределы;
(iii) для модуля конечной длины Q над артиновым кольцом R/I,
функтор Ctrhom_{R/I}(Q,-) переводит направленные индуктивные
пределы по второму аргументу в индуктивные пределы;
(iv) Ctrhom_{R/I}(Q,N^op) = (Q\ot_{R/I} N)^op для модулей конечной
длины Q и N^op над артиновым кольцом R/I.
Ясно, что функтор ctrhom_R точен слева по обоим аргументам и
переводит прямые суммы по первому аргументу и прямые произведения
по второму аргументу в прямые произведения. Имеется естественный
изоморфизм R-комодулей Ctrhom_R(R,M) = M для любого R-комодуля M,
и естественный изоморфизм R-комодулей Ctrhom_R(P\ot^R Q, M) =
Ctrhom_R(P, Ctrhom_R(Q,M)) для любых R-контрамодулей P, Q и
R-комодуля M. Наконец, для любого R-контрамодуля P и R-комодулей
M, N имеется естественный изоморфизм Hom_R(P\ot_R M, N) =
Hom_R(M, Ctrhom(P,N)). Для любого R-контрамодуля P, R-комодуля M,
и замкнутого идеала J в R имеется естественный изоморфизм
Ctrhom_R(P,M)_J = Ctrhom_R/J(P/JP, M_J).
Пусть N -- комодуль над R. Из сказанного выше ясно, что функтор
R-contra \to R-comod, определенный правилом P \mapsto N\oc_R P,
сопряжен слева к функтору R-comod \to R-contra, определенному
правилом M \mapsto Hom_R(N,M).
Предложение VI.1. Функторы Phi_R = (C\oc_R -) и Psi_R = Hom_R(C,-)
являются взаимно-обратными эквивалентностями между аддитивными
категориями косвободных R-комодулей и свободных R-контрамодулей.
Доказательство: ясно, что функторы Phi_R и Psi_R переводят R в C
и обратно, функтор Phi_R сохраняет бесконечные прямые суммы,
и функтор Phi_C сохраняет бесконечные произведения; отсюда следует,
что функторы Phi_C и Psi_C переводят проективные контрамодули
в инъективные комодули и обратно. Остается показать, что функтор
Psi_R сохраняет бесконечные прямые суммы косвободных комодулей.
В самом деле, Hom_R(C,M)/I Hom_R(C,M) = Hom_{R/I}(C(R/I), M_I)
для инъективных комодулей M, Hom_{R/I} из комодуля конечной длины
сохраняет бесконечные прямые суммы, и морфизм проективных
R-контрамодулей P\to Q является изоморфизмом, если таковыми
являются все морфизмы P/IP\to Q/IQ.
Лемма VI.2: над проартиновым топологическим локальным кольцом R,
классы инъективных и косвободных комодулей совпадают.
Лемма VI.3: пусть C -- (возможно, неограниченный) комплекс
косвободных комодулей над проартиновым топологическим локальным
кольцом R с максимальным идеалом m. Тогда комплекс C стягиваем
тогда и только тогда, когда комплекс векторных пространств C_m
стягиваем (т.е., ацикличен).
Доказательства лемм VI.2-VI.3 двойственны доказательствам лемм I.1
и I.3, и основаны на следующей двойственной версии леммы Накаямы:
если M_m = 0 для некоторого R-комодуля M, то M = 0.
VII. R-косвободные и не R-косвободные CDG-модули и CDG-комодули.
Компактная порожденность
VIII. Строго унитальные искривленные A_\infty-алгебры
и строго коунитальные искривленные A_\infty-коалгебры
IX. Стриктификация единиц
X. Модельные структуры
