![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicхотя бесконечные произведения комодулей (= дискретных модулей) над k[[z]] -- вовсе нет.
На самом деле, точны прямые суммы контрамодулей над любым топологическим кольцом, над которым абелева категория контрамодулей имеет гомологическую размерность ≤ 1.
Потому что в категории контрамодулей достаточно проективных объектов, так что производный функтор бесконечной прямой суммы можно определять и вычислять с помощью проективных резольвент. Если теперь подконтрамодуль проективного контрамодуля проективен, то остается показать, что прямая сумма семейства инъективных морфизмов проективных объектов является инъективным морфизмом. А это следует из того, что естественное отображение из прямой суммы семейства проективных контрамодулей в их же прямое произведение является вложением.
Последнее утверждение имеет место для контрамодулей над любым топологическим кольцом. Достаточно проверять его для свободных контрамодулей, для которых оно немедленно следует из их (и их прямых сумм) явной конструкции.
На самом деле, точны прямые суммы контрамодулей над любым топологическим кольцом, над которым абелева категория контрамодулей имеет гомологическую размерность ≤ 1.
Потому что в категории контрамодулей достаточно проективных объектов, так что производный функтор бесконечной прямой суммы можно определять и вычислять с помощью проективных резольвент. Если теперь подконтрамодуль проективного контрамодуля проективен, то остается показать, что прямая сумма семейства инъективных морфизмов проективных объектов является инъективным морфизмом. А это следует из того, что естественное отображение из прямой суммы семейства проективных контрамодулей в их же прямое произведение является вложением.
Последнее утверждение имеет место для контрамодулей над любым топологическим кольцом. Достаточно проверять его для свободных контрамодулей, для которых оно немедленно следует из их (и их прямых сумм) явной конструкции.
