![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicхотелось бы передоказать все же. Как есть доказательство Х. для моего слабого ума не вполне постижно, а без обобщения ее на случай нетеровой квазикогерентной (некоммутативной) алгебры над нетеровой схемой мне жить неудобно.
Может быть, можно рассуждать примерно так.
Лемма. Пусть E -- когерентный пучок на нетеровой схеме X, и пусть G ⊂ E -- подпучок OX-модулей. Пусть M -- квазикогерентный пучок на X, и пусть φ: G → M -- гомоморфизм пучков OX-модулей. Тогда найдется когерентный подпучок F ⊂ E, содержащий G, и такой что на него продолжается гомоморфизм пучков φ.
Вывод теоремы Хартсхорна из леммы. Пусть J -- инъективный квазикогерентный пучок на X; мы хотим показать, что он является инъективным пучком OX-модулей. Как известно, достаточно уметь продолжать морфизмы в J с подобъектов образующих объектов категории пучков OX-модулей на сами эти образующие объекты. Образующими объектами являются пучки OU! -- продолжения нулем структурных пучков с открытых подсхем. Пусть G -- подпучок OU! и φ: G → J -- OX-линейный морфизм. Рассмотрим G как подпучок OX и найдем подпучок OX-модулей F ⊂ OX, на который продолжается морфизм φ. Ввиду инъективности J как квазикогерентного пучка, морфизм F → J продолжается до морфизма OX → J. Последний морфизм можно теперь ограничить на OU!.
Доказывать лемму я пока не умею, но она выглядит правдоподобной. По существу речь идет о том, чтобы интерпретировать конечно порожденный пучок OX-модулей как прокогерентный пучок. Рассуждение могло бы выглядеть примерно так. Пучок G порожден конечным набором сечений s на каких-то открытых множествах U. Сосредоточимся на одном таком сечении. Оно порождает подмодуль в модуле сечений E(U), с которым связан когерентный подпучок G(s,U) пучка E|U. Продолжим этот подпучок на открытом множестве до когерентного подпучка F(s,U) всего пучка E. Пучок F(s,U) будем умножать на степени пучка идеалов какой-нибудь структуры замкнутой подсхемы на X\U, и получившиеся когерентные подпучки в E суммировать по всем s. Получится убывающая цепочка когерентных подпучков в Е, в каком-то наивном смысле "сходящаяся" к G. Хотелось бы взять за F достаточно далекий член этой цепочки.
Может быть, можно рассуждать примерно так.
Лемма. Пусть E -- когерентный пучок на нетеровой схеме X, и пусть G ⊂ E -- подпучок OX-модулей. Пусть M -- квазикогерентный пучок на X, и пусть φ: G → M -- гомоморфизм пучков OX-модулей. Тогда найдется когерентный подпучок F ⊂ E, содержащий G, и такой что на него продолжается гомоморфизм пучков φ.
Вывод теоремы Хартсхорна из леммы. Пусть J -- инъективный квазикогерентный пучок на X; мы хотим показать, что он является инъективным пучком OX-модулей. Как известно, достаточно уметь продолжать морфизмы в J с подобъектов образующих объектов категории пучков OX-модулей на сами эти образующие объекты. Образующими объектами являются пучки OU! -- продолжения нулем структурных пучков с открытых подсхем. Пусть G -- подпучок OU! и φ: G → J -- OX-линейный морфизм. Рассмотрим G как подпучок OX и найдем подпучок OX-модулей F ⊂ OX, на который продолжается морфизм φ. Ввиду инъективности J как квазикогерентного пучка, морфизм F → J продолжается до морфизма OX → J. Последний морфизм можно теперь ограничить на OU!.
Доказывать лемму я пока не умею, но она выглядит правдоподобной. По существу речь идет о том, чтобы интерпретировать конечно порожденный пучок OX-модулей как прокогерентный пучок. Рассуждение могло бы выглядеть примерно так. Пучок G порожден конечным набором сечений s на каких-то открытых множествах U. Сосредоточимся на одном таком сечении. Оно порождает подмодуль в модуле сечений E(U), с которым связан когерентный подпучок G(s,U) пучка E|U. Продолжим этот подпучок на открытом множестве до когерентного подпучка F(s,U) всего пучка E. Пучок F(s,U) будем умножать на степени пучка идеалов какой-нибудь структуры замкнутой подсхемы на X\U, и получившиеся когерентные подпучки в E суммировать по всем s. Получится убывающая цепочка когерентных подпучков в Е, в каком-то наивном смысле "сходящаяся" к G. Хотелось бы взять за F достаточно далекий член этой цепочки.
