Относительная Ω/O-приспособленность - 3
Apr. 19th, 2011 03:27 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПродолжение http://posic.livejournal.com/592071.html
Мы по-прежнему предполагаем схему X аффинной и гомологически конечномерной (т.е. регулярной конечной размерности Крулля).
Следствие 1. Класс градуированных Ω-модулей, удовлетворяющих условиям 1-6 из постинга по ссылке, замкнут относительно коядер вложений, ядер сюръекций, и расширений. Обратно, все (ко)индуцированные с O на Ω модули удовлетворяют 1-6, и все Ω-модули, удовлетворяющие 1-6, могут быть получены из (ко)индуцированных как с помощью итерированного перехода к коядрам вложений, так и с помощью итерированного перехода к ядрам сюръекций.
Доказательство: для любого из определений 1-6 очевидна замкнутость относительно расширений, для определений 1-4 -- замкнутость относительно ядер сюръекций, для определений 5-6 -- замкнутость относительно коядер вложений. Чтобы проверить второе утверждение, можно использовать, например, относительную бар-конструкцию над O и ее O-линейную стягивающую гомотопию. Третье утверждение было доказано в ходе доказательства теоремы из постинга по ссылке.
Следствие 2. (1) Если градуированный Ω-модуль O-плоский и удовлетворяет 1-6, то он Ω-плоский. (2) Если градуированный Ω-модуль O-проективный и удовлетворяет 1-6, то он Ω-проективный. (3) Если градуированный Ω-модуль O-инъективный и удовлетворяет 1-6, то он Ω-инъективный.
Доказательство: для любого Ω-модуля M, есть естественное отображение Ωtop ⊗O M/Ω+ → Ω+M. Это отображение является изоморфизмом для (ко)индуцированных Ω-модулей, откуда, ввиду последнего утверждения Следствия 1, вытекает, что оно является изоморфизмом для всех Ω-модулей, удовлетворяющих 1-6. Теперь если М является O-плоским, то O-модуль Ω+M тоже такой, поскольку у него есть правая (кобар) резольвента из O-плоских модулей (вычисляющая ExtΩ(O,M)). Поэтому и O-модуль M/Ω+ тоже плоский. Поэтому бар-конструкция, вычисляющая TorΩ(O,M), сохраняет точность при тензорном домножении над O на любой O-модуль.
Другой способ доказать последнее утверждение состоит в том, чтобы рассмотреть левую резольвенту M из доказательства теоремы, 1 => 6, и домножить ее тензорно над O на произвольный O-модуль. Она сохранит точность, откуда следует, что тензорное произведение M на любой O-модуль удовлетворяет 1-6. Чтобы завершить доказательство части (1), остается заметить, что всякий Ω-модуль является итерированным расширением Ω-модулей с тривиальным действием Ω+.
Следствие 3. Градуированные Ω-модули, удовлетворяющие 1-6, имеют конечную проективную и инъективную размерность.
Доказательство: рассмотреть Ω-проективную/инъективную левую/правую резольвенту такого модуля; отметить, что Ω-проективные/инъективные модули являются O-проективными/инъективными и удовлетворяют 1-6, использовать конечность гомологической размерности O и Следствия 1-2.
Мы по-прежнему предполагаем схему X аффинной и гомологически конечномерной (т.е. регулярной конечной размерности Крулля).
Следствие 1. Класс градуированных Ω-модулей, удовлетворяющих условиям 1-6 из постинга по ссылке, замкнут относительно коядер вложений, ядер сюръекций, и расширений. Обратно, все (ко)индуцированные с O на Ω модули удовлетворяют 1-6, и все Ω-модули, удовлетворяющие 1-6, могут быть получены из (ко)индуцированных как с помощью итерированного перехода к коядрам вложений, так и с помощью итерированного перехода к ядрам сюръекций.
Доказательство: для любого из определений 1-6 очевидна замкнутость относительно расширений, для определений 1-4 -- замкнутость относительно ядер сюръекций, для определений 5-6 -- замкнутость относительно коядер вложений. Чтобы проверить второе утверждение, можно использовать, например, относительную бар-конструкцию над O и ее O-линейную стягивающую гомотопию. Третье утверждение было доказано в ходе доказательства теоремы из постинга по ссылке.
Следствие 2. (1) Если градуированный Ω-модуль O-плоский и удовлетворяет 1-6, то он Ω-плоский. (2) Если градуированный Ω-модуль O-проективный и удовлетворяет 1-6, то он Ω-проективный. (3) Если градуированный Ω-модуль O-инъективный и удовлетворяет 1-6, то он Ω-инъективный.
Доказательство: для любого Ω-модуля M, есть естественное отображение Ωtop ⊗O M/Ω+ → Ω+M. Это отображение является изоморфизмом для (ко)индуцированных Ω-модулей, откуда, ввиду последнего утверждения Следствия 1, вытекает, что оно является изоморфизмом для всех Ω-модулей, удовлетворяющих 1-6. Теперь если М является O-плоским, то O-модуль Ω+M тоже такой, поскольку у него есть правая (кобар) резольвента из O-плоских модулей (вычисляющая ExtΩ(O,M)). Поэтому и O-модуль M/Ω+ тоже плоский. Поэтому бар-конструкция, вычисляющая TorΩ(O,M), сохраняет точность при тензорном домножении над O на любой O-модуль.
Другой способ доказать последнее утверждение состоит в том, чтобы рассмотреть левую резольвенту M из доказательства теоремы, 1 => 6, и домножить ее тензорно над O на произвольный O-модуль. Она сохранит точность, откуда следует, что тензорное произведение M на любой O-модуль удовлетворяет 1-6. Чтобы завершить доказательство части (1), остается заметить, что всякий Ω-модуль является итерированным расширением Ω-модулей с тривиальным действием Ω+.
Следствие 3. Градуированные Ω-модули, удовлетворяющие 1-6, имеют конечную проективную и инъективную размерность.
Доказательство: рассмотреть Ω-проективную/инъективную левую/правую резольвенту такого модуля; отметить, что Ω-проективные/инъективные модули являются O-проективными/инъективными и удовлетворяют 1-6, использовать конечность гомологической размерности O и Следствия 1-2.
