![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicТеорема: копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна копроизводной категории Ω-плоских (или локально Ω-свободных; как градуированные Ω-модули) DG-модулей над Ω.
Комментарий 1: обычные доказательства такого рода результатов (см. теорему из раздела 1 статьи 1102.0261) требуют условий конечности плоской (локально проективной) размерности на подлежащие градуированные модули. В данном случае такие условия не накладываются, но вместо этого важно, что Ω является фробениусовой O-алгеброй (а O имеет конечную гомологическую размерность). По существу, в этой теореме речь идет не об Ω-плоских/локально Ω-свободных модулях, а об O-плоских/локально O-свободных модулях, инъективных (в подходящем смысле) над Ω относительно O. В такой формулировке условие фробениусовости уже не нужно.
Комментарий 2: хотелось бы иметь более сильное утверждение, в котором вместо копроизводной категории Ω-плоских/локально Ω-свободных модулей фигурирует их абсолютная производная категория. Вероятно, такое можно доказать, но другим способом; подход, изложенный в этом постинге, дает только более слабое утверждение про копроизводную категорию, сформулированное выше.
Доказательство: резольвенты, о которых идет речь в этой теореме, являются ни левыми и ни правыми, а двусторонними резольвентами. Другими словами, произвольный DG-модуль связан в гомотопической категории DG-модулей с резольвентным DG-модулем описанного в теореме типа не одним морфизмом, а парой противоположно направленных морфизмов (оба -- с коацикличными конусами, естественно). В данном доказательстве мы для произвольного DG-модуля M рассмотрим морфизм в него из O-плоского (или локально O-свободного; будем для определенности обсуждать первый случай) DG-модуля L c абсолютно ацикличным конусом (см. постинг 4). А из DG-модуля L мы построим морфизм в Ω-плоский DG-модуль K с коацикличным (и даже коацикличным по отношению к классу O-плоских DG-модулей) конусом.
Конструкция морфизма L → K достаточно очевидна -- с DG-модуля L, рассматриваемого как градуированный O-модуль, коиндуцируется градуированный Ω-модуль, которым косвободно копорождается DG-модуль. DG-модуль L отображается в этот DG-модуль замкнутым морфизмом, коядро которого есть расширение коядра отображения кодействия (изоморфного над O прямому слагаемому коиндуцированного модуля) и сдвига коиндуцированного модуля; так что коядро остается O-плоским. Так строится бесконечная правая резольвента, и сворачивается с помощью прямых сумм вдоль диагоналей.
Мы знаем из постинга 4 что копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна копроизводной категории O-плоских DG-модулей. Остается показать, что копроизводная категория O-плоских DG-модулей эквивалентна копроизводной категории Ω-плоских DG-модулей. Конструкция Ω-плоской резольвенты O-плоского DG-модуля приведена выше; остается вычислить отношение эквивалентности на таких резольвентах. Как обычно, мы пользуемся леммой 1.6(b) из 0905.2621. Надо только показать, что всякий Ω-плоский DG-модуль, коацикличный относительно O-плоских DG-модулей, коацикличен относительно Ω-плоских DG-модулей.
Рассуждение аналогично легкому случаю теоремы 7.2.2 из 0708.3398, но не тому, который упоминался в постинге 2, а другому ("когда k -- поле"). Конструкция резольвенты L → K, описанная выше, является точным функтором, сохраняющим конуса и прямые суммы, на точной категории O-плоских DG-модулей L и замкнутых морфизмов между ними. В частности, она сохраняет конуса тождественных морфизмов, а значит и гомотопность морфизмов, и гомотопические эквивалентности. Таким образом, она переводит DG-модуль L, коацикличный относительно O-плоских DG-модулей, в DG-модуль K, коацикличный относительно Ω-плоских DG-модулей.
Далее, O-плоский фактормодуль Ω-плоского градуированного модуля по Ω-плоскому градуированному подмодулю является Ω-плоским. Поэтому если DG-модуль L является Ω-плоским, то конус морфизма L → K коацикличен относительно Ω-плоских DG-модулей. Вместе с результатом предыдущего абзаца, отсюда следует, что L коацикличен относительно Ω-плоских DG-модулей.
Комментарий 1: обычные доказательства такого рода результатов (см. теорему из раздела 1 статьи 1102.0261) требуют условий конечности плоской (локально проективной) размерности на подлежащие градуированные модули. В данном случае такие условия не накладываются, но вместо этого важно, что Ω является фробениусовой O-алгеброй (а O имеет конечную гомологическую размерность). По существу, в этой теореме речь идет не об Ω-плоских/локально Ω-свободных модулях, а об O-плоских/локально O-свободных модулях, инъективных (в подходящем смысле) над Ω относительно O. В такой формулировке условие фробениусовости уже не нужно.
Комментарий 2: хотелось бы иметь более сильное утверждение, в котором вместо копроизводной категории Ω-плоских/локально Ω-свободных модулей фигурирует их абсолютная производная категория. Вероятно, такое можно доказать, но другим способом; подход, изложенный в этом постинге, дает только более слабое утверждение про копроизводную категорию, сформулированное выше.
Доказательство: резольвенты, о которых идет речь в этой теореме, являются ни левыми и ни правыми, а двусторонними резольвентами. Другими словами, произвольный DG-модуль связан в гомотопической категории DG-модулей с резольвентным DG-модулем описанного в теореме типа не одним морфизмом, а парой противоположно направленных морфизмов (оба -- с коацикличными конусами, естественно). В данном доказательстве мы для произвольного DG-модуля M рассмотрим морфизм в него из O-плоского (или локально O-свободного; будем для определенности обсуждать первый случай) DG-модуля L c абсолютно ацикличным конусом (см. постинг 4). А из DG-модуля L мы построим морфизм в Ω-плоский DG-модуль K с коацикличным (и даже коацикличным по отношению к классу O-плоских DG-модулей) конусом.
Конструкция морфизма L → K достаточно очевидна -- с DG-модуля L, рассматриваемого как градуированный O-модуль, коиндуцируется градуированный Ω-модуль, которым косвободно копорождается DG-модуль. DG-модуль L отображается в этот DG-модуль замкнутым морфизмом, коядро которого есть расширение коядра отображения кодействия (изоморфного над O прямому слагаемому коиндуцированного модуля) и сдвига коиндуцированного модуля; так что коядро остается O-плоским. Так строится бесконечная правая резольвента, и сворачивается с помощью прямых сумм вдоль диагоналей.
Мы знаем из постинга 4 что копроизводная категория DG-модулей над Ω эквивалентна копроизводной категории O-плоских DG-модулей. Остается показать, что копроизводная категория O-плоских DG-модулей эквивалентна копроизводной категории Ω-плоских DG-модулей. Конструкция Ω-плоской резольвенты O-плоского DG-модуля приведена выше; остается вычислить отношение эквивалентности на таких резольвентах. Как обычно, мы пользуемся леммой 1.6(b) из 0905.2621. Надо только показать, что всякий Ω-плоский DG-модуль, коацикличный относительно O-плоских DG-модулей, коацикличен относительно Ω-плоских DG-модулей.
Рассуждение аналогично легкому случаю теоремы 7.2.2 из 0708.3398, но не тому, который упоминался в постинге 2, а другому ("когда k -- поле"). Конструкция резольвенты L → K, описанная выше, является точным функтором, сохраняющим конуса и прямые суммы, на точной категории O-плоских DG-модулей L и замкнутых морфизмов между ними. В частности, она сохраняет конуса тождественных морфизмов, а значит и гомотопность морфизмов, и гомотопические эквивалентности. Таким образом, она переводит DG-модуль L, коацикличный относительно O-плоских DG-модулей, в DG-модуль K, коацикличный относительно Ω-плоских DG-модулей.
Далее, O-плоский фактормодуль Ω-плоского градуированного модуля по Ω-плоскому градуированному подмодулю является Ω-плоским. Поэтому если DG-модуль L является Ω-плоским, то конус морфизма L → K коацикличен относительно Ω-плоских DG-модулей. Вместе с результатом предыдущего абзаца, отсюда следует, что L коацикличен относительно Ω-плоских DG-модулей.
