![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicСмутно помнится, что писал уже об этом, но не могу найти. Как бы там ни было, с тех пор появилось кое-что новенькое.
Гомологии Хохшильда CDG-коалгебры C над полем k определяются как HH*(C) = CotorC⊗Cop(C,C). Когомологии Хохшильда C определяются как HH*(C) = ExtC⊗Cop(C,C).
Главное, что надо сразу уловить, глядя на эти определения, это что если алгебра B есть, примерно, двойственное векторное пространство к коалгебре C, то, с точностью до разницы между пополнениями, гомологии Хохшильда алгебры B есть, примерно, двойственное пространство к гомологиям Хохшильда коалгебры C. А когомологии Хохшильда алгебры B есть, примерно, то же самое, что когомологии Хохшильда коалгебры C (а вовсе не двойственное пространство!).
(Ко)гомологии Хохшильда CDG-коалгебры C с коэффициентами в CDG-бикомодуле M можно определить как HH*(C,M) = CotorC⊗Cop(C,M) и HH*(C,M) = ExtC⊗Cop(C,M). В ситуации с алгеброй B, двойственной к C, как выше, HH*(B,M*) есть примерно HH*(C,M)*, а HH*(B,M*) есть примерно ExtC⊗Cop(M,C).
Далее, как мы знаем, в ситуации с коалгеброй тензорных операций больше, чем в ситуации с алгеброй, поскольку над коалгеброй бывают еще контрамодули, кроме комодулей (точнее, над кольцом бывают две операции -- тензорное произведение и Hom -- а над коалгеброй их пять штук). Применительно к Хохшильду, отсюда возникает одна нетривиальная дополнительная возможность.
Определим контрагомологии Хохшильда HH!(C,P) c коэффициентами в C⊗Cop-контрамодуле Р, как CtrtorC⊗Cop(C,P). Тогда двойственное векторное пространство к HH!(C,P) есть некоторое пространство Ext в категории контрамодулей над C⊗Cop, а именно, ExtC⊗Cop(P,C*). Функтор перехода к сопряженному векторному пространству, бьющий (в общем случае) из (правых) комодулей в (левые) контрамодули, отображает ExtC⊗Cop(C,M) в ExtC⊗Cop(M*,C*).
Таким образом, между HH!(C,M*) и HH*(C,M) имеется естественное спаривание. При этом не видно, чтобы оно сводилось к отождествлению одного из этих пространств с двойственным к другому. В частности, положим HH!(C) = HH!(C,C*). Тогда между HH!(C) и HH*(C) имеется естественное спаривание. Кроме того, для любого контрамодуля P контрагомологии Хохшильда HH!(C,P) являются модулем над кольцом когомологий Хохшильда HH*(C).
Комодульно-контрамодульное соответствие над C⊗Cop отождествляет HH!(C,P) с HH*(C,M), где CDG-контрамодуль P соответствует CDG-комодулю M. Кошулева двойственность переводит HH*(A,N) в HH*(C,M) и HH*(A,N) в HH*(C,M), где М и N суть соответствующие CDG-бикомодуль и (C)DG-бимодуль над кошулево двойственными CDG-коалгеброй C и (C)DG-алгеброй A. Отметим, что все вышеопределенные теории для коалгебры -- автоматически второго рода; для алгебры A будет теория первого или второго рода смотря по тому, конильпотентный или неконильпотентный вариант кошулевой двойственности рассматривается.
Предыдущий кривизно-Хохшильдовский постинг -- http://posic.livejournal.com/486033.html
Гомологии Хохшильда CDG-коалгебры C над полем k определяются как HH*(C) = CotorC⊗Cop(C,C). Когомологии Хохшильда C определяются как HH*(C) = ExtC⊗Cop(C,C).
Главное, что надо сразу уловить, глядя на эти определения, это что если алгебра B есть, примерно, двойственное векторное пространство к коалгебре C, то, с точностью до разницы между пополнениями, гомологии Хохшильда алгебры B есть, примерно, двойственное пространство к гомологиям Хохшильда коалгебры C. А когомологии Хохшильда алгебры B есть, примерно, то же самое, что когомологии Хохшильда коалгебры C (а вовсе не двойственное пространство!).
(Ко)гомологии Хохшильда CDG-коалгебры C с коэффициентами в CDG-бикомодуле M можно определить как HH*(C,M) = CotorC⊗Cop(C,M) и HH*(C,M) = ExtC⊗Cop(C,M). В ситуации с алгеброй B, двойственной к C, как выше, HH*(B,M*) есть примерно HH*(C,M)*, а HH*(B,M*) есть примерно ExtC⊗Cop(M,C).
Далее, как мы знаем, в ситуации с коалгеброй тензорных операций больше, чем в ситуации с алгеброй, поскольку над коалгеброй бывают еще контрамодули, кроме комодулей (точнее, над кольцом бывают две операции -- тензорное произведение и Hom -- а над коалгеброй их пять штук). Применительно к Хохшильду, отсюда возникает одна нетривиальная дополнительная возможность.
Определим контрагомологии Хохшильда HH!(C,P) c коэффициентами в C⊗Cop-контрамодуле Р, как CtrtorC⊗Cop(C,P). Тогда двойственное векторное пространство к HH!(C,P) есть некоторое пространство Ext в категории контрамодулей над C⊗Cop, а именно, ExtC⊗Cop(P,C*). Функтор перехода к сопряженному векторному пространству, бьющий (в общем случае) из (правых) комодулей в (левые) контрамодули, отображает ExtC⊗Cop(C,M) в ExtC⊗Cop(M*,C*).
Таким образом, между HH!(C,M*) и HH*(C,M) имеется естественное спаривание. При этом не видно, чтобы оно сводилось к отождествлению одного из этих пространств с двойственным к другому. В частности, положим HH!(C) = HH!(C,C*). Тогда между HH!(C) и HH*(C) имеется естественное спаривание. Кроме того, для любого контрамодуля P контрагомологии Хохшильда HH!(C,P) являются модулем над кольцом когомологий Хохшильда HH*(C).
Комодульно-контрамодульное соответствие над C⊗Cop отождествляет HH!(C,P) с HH*(C,M), где CDG-контрамодуль P соответствует CDG-комодулю M. Кошулева двойственность переводит HH*(A,N) в HH*(C,M) и HH*(A,N) в HH*(C,M), где М и N суть соответствующие CDG-бикомодуль и (C)DG-бимодуль над кошулево двойственными CDG-коалгеброй C и (C)DG-алгеброй A. Отметим, что все вышеопределенные теории для коалгебры -- автоматически второго рода; для алгебры A будет теория первого или второго рода смотря по тому, конильпотентный или неконильпотентный вариант кошулевой двойственности рассматривается.
Предыдущий кривизно-Хохшильдовский постинг -- http://posic.livejournal.com/486033.html
