Curved DG (библиографическое)
Mar. 18th, 2011 12:39 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПоиск на Anywhere: curved differential graded (или просто curved differential, все равно) на MathSciNet выдает в настоящий момент 4 публикации.
1. Kapustin-Li, 2003, где CDG-алгебры возникают в связи с D-бранами в моделях Ландау-Гинзбурга.
2. Floystad, 2006, где делается попытка построить производную кошулеву двойственность для модулей, в том числе, в ситуации с CDG-алгеброй.
3. Kajiura, 2007, где CDG-категории используются в связи с чем-то голоморфным и одновременно некоммутативно-геометрическим.
4. Lazariou, 2007, где CDG-алгебры используются в связи с матричными факторизациями в контексте топологических теорий поля.
Работы 1 и 4 опубликованы в Journ. High Energy Physics, работа 3 в Journal Math. Physics.
Поиск на Anywhere: curved DG выдает 3 публикации.
5. Nicolas, 2008, попытка определить производную категорию CDG-модулей.
6. Keller-Lowen-Nicolas, 2010, где выясняется, что попытка из работы 5. в ситуации над полем дает нулевую категорию; а также обсуждаются другие подходы к той же задаче, которые тоже дают нулевые категории в отдельных случаях (и ненулевые в других).
7. Block-Daenzer, 2010, где CDG-алгебры возникают в контексте какой-то комплексно-аналитической геометрии.
1. Kapustin-Li, 2003, где CDG-алгебры возникают в связи с D-бранами в моделях Ландау-Гинзбурга.
2. Floystad, 2006, где делается попытка построить производную кошулеву двойственность для модулей, в том числе, в ситуации с CDG-алгеброй.
3. Kajiura, 2007, где CDG-категории используются в связи с чем-то голоморфным и одновременно некоммутативно-геометрическим.
4. Lazariou, 2007, где CDG-алгебры используются в связи с матричными факторизациями в контексте топологических теорий поля.
Работы 1 и 4 опубликованы в Journ. High Energy Physics, работа 3 в Journal Math. Physics.
Поиск на Anywhere: curved DG выдает 3 публикации.
5. Nicolas, 2008, попытка определить производную категорию CDG-модулей.
6. Keller-Lowen-Nicolas, 2010, где выясняется, что попытка из работы 5. в ситуации над полем дает нулевую категорию; а также обсуждаются другие подходы к той же задаче, которые тоже дают нулевые категории в отдельных случаях (и ненулевые в других).
7. Block-Daenzer, 2010, где CDG-алгебры возникают в контексте какой-то комплексно-аналитической геометрии.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2011-03-17 10:37 pm (UTC)no subject
Date: 2011-03-17 10:42 pm (UTC)В порядке саморекламы
Date: 2011-03-19 03:25 am (UTC)категория, где морфизмы между объектами -- это модули (не бимодули!) над curved A-infinity algebras.
Re: В порядке саморекламы
Date: 2011-03-19 12:56 pm (UTC)Краткое содержание
Date: 2011-03-19 04:56 pm (UTC)Пусть Y -- (некомпактное) комплексное многообразие. Простейший объект 2-категории -- голоморфная функция W на Y. Категория морфизмов между двумя функциями W1 и W2 -- это категория матричных факторизаций разности W2 - W1. Композиция морфизмов -- тензорное произведение матричных факторизаций над Y: при этом кривизны складываются, и тензорное произведение живёт там, где надо.
Более общий объект 2-категории -- это пара (Z,W), где Z -- это голоморфная фибрация (не обязательно голоморфное расслоение) Z --> Y, a W -- голоморфная функция на Z. Категория морфизмов между (Z1,W1) и (Z2,W2) -- матричные факторизации от разности W2-W1 на произведении фибраций над Y.
Производная алгебраическая геометрия
Эта 2-категория эквивалентна 2-категории комплексных подмногообразий/фибраций в Y в смысле "производной алгебраической геометрии", то есть если производная категория пучков на Y с тензорным произведением -- это категорификация кольца, то вышеупомянутая 2-категория -- это категорификация производной категории модулей над кольцом. Связь двух 2-категорий основана, как ни странно, на применении кошулевой двойственности к кошулевой резольвенте подмногообразия.
Деформация
2-категорию матричных факторизаций, судя по всему, можно деформировать. Простейшими объектами деформрованой 2-категории являются слегка неголоморфные функции на Y, каждой паре таких функций сопоставляется слабая (т.е. кривая) А-бесконечность алгебра, морфизмы -- это модули над этой алгеброй, а композиция -- это деформированное тензорное произведение, которое волшебным образом превращает два модуля над двумя разными А-бесконечность алгебрами в модуль над третьей А-бесконечность алгеброй.
Симплектическая интерпретация
Голоморфная функция на Y задаёт (как производящая функция) лагранжево подмногообразие LW в кокасательном расслоении Y: LW -- это график голоморфного дифференциала W. Пересечение двух лангранжевых подмногообразий LW1 и LW2 изоморфно проектируется на критическое множество разности W2-W1. Матричные факторизации W2-W1 живут на критическом уровне и в этом смысле живут на пересечении LW1 и LW2.
Обобщением этой конструкции является 2-категория, сопоставляемая голоморфному симплектическому многообразию X. Её простейшими объектами являются лагранжевы подмногообразия в X (вместе с выбором квадратного корня из канонического расслоения), а категория морфизмов между двумя лагранжевыми подмногообразиями -- это, грубо говоря, специальная деформация категории пучков на их пересечении.
Соответствие между матричными факторизациями и производной алгебраической геометрией выглядит так: подмногообразию в Y сопоставляется конормальное расслоение к этому подмногообразию в кокасательном расслоении к Y.
Деформация 2-категории матричных факторизаций, сопоставляемой Y, происходит из деформации голоморфно-симплектической структуры кокасательного расслоения к Y. Дело в том, что в отличие от вещественного случая, окрестность лагранжевого подмногообразия Y в голоморфно-симплектическом многообразии X не обязательно изоморфна окрестности кокасательного расслоения к Y.
Категорификация формулы Римана-Роха-Хирцебруха
Эта часть пока не записана. Судя по всему, грубо говоря, Ext(Y1,Y2) канонически изомофна гомологиям Хохшильда категории морфизмов между Y1 и Y2, a Tor(Y1,Y2) канонически изоморфен когомологиям Хохшильда этой категории морфизмов.
Благодарность
Д.О. объяснил Антону, что такое производная алгебраическая геометрия
Re: Краткое содержание
Date: 2011-03-19 09:25 pm (UTC)