Прямые образы матричных факторизаций

[posic]

Пусть f: Y → X -- морфизм нетеровых схем (с обычными дополнительными условиями), L -- линейное расслоение на X, w -- его глобальное сечение. Тогда производный функтор прямого образа из копроизводной категории квазикогерентных CDG-модулей над (Y, f*L, f*w) в аналогичную категорию для (X,L,w) определяется очевидным образом с помощью инъективных (если забыть дифференциал) резольвент. Если морфизм f аффинный, то функтор прямого образа на квазикогерентных пучках/CDG-модулях точен, и производный функтор от него брать даже не нужно, а можно просто применять его к любому квазикогерентному CDG-модулю, и получится корректно определенный функтор между копроизводными категориями.

Естественная задача здесь состоит в том, при каких условиях такой функтор прямого образа отображает абсолютную производную категорию когерентных CDG-модулей в абсолютную производную категорию когерентных CDG-модулей (или ее идемпотентное замыкание), другими словами, сохраняет компактность. Может быть, ответ на этот вопрос можно получить из общего формализма Амнона Н. Естественная гипотеза состоит в том, что компактность сохраняется, если w и f*w не делят ноль и замкнутая подсхема особенностей замкнутой подсхемы нулей f*w в Y отображается в X проективным морфизмом.

Comments

[qui-vadis.livejournal.com]

Извините, а при чём здесь матричные факторизации? (Если вам не лень, то мне обьяснять как для чайников)

[posic.livejournal.com]

Под матричной факторизацией элемента w коммутативного кольца R понимается пара квадратных матриц одинакового размера с компонентами из R, произведение которых в том и в другом порядке дает w, умноженное на единичную матрицу. То есть это такое разложение w на множители, но принадлежащие не R, а матрицам над R. Если перейти на более инвариантный язык, то матричная факторизация -- это пара конечно-порожденных свободных R-модулей P⁰ и P¹, с отображениями между ними в обе стороны, такими что обе композиции есть умножения на w.

Дальше это можно обобщать в две стороны. Можно заменить кольцо R на алгебраическое многообразие (схему) X (ситуация с кольцом R соответствует случаю, когда схема аффинна), а вместо свободных модулей рассматривать локально свободные пучки. С другой стороны, можно отказаться от условия свободности и рассматривать произвольные конечно-порожденные модули (соотв., когерентные пучки) P⁰ и P¹ (предполагая, что кольцо R, или соотв. схема X, нетеровы).

Такие пары модулей или пучков с отображениями между ними оказываются частным случаем общего понятия CDG-модуля над CDG-кольцом (или над квазикогерентной CDG-алгеброй над схемой), откуда терминология в постинге.

[qui-vadis.livejournal.com]

Спасибо.