![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВ моей статье построена некая точная категория FXm, кандидат в точные категории мотивов Артина-Тейта над гладким многообразием X с коэффициентами Z/m. Что нужно для того, чтобы действительно вложить ее в триангулированную категорию мотивов над X, многочисленные варианты конструкции которой обсуждаются в современных публикациях? Похоже, что ситуация обстоит следующим образом.
1. Нужно работать с произвольными многообразиями X, не обязательно гладкими.
2. Как известно, для негладких многообразий X функтор тейтовской подкрутки на триангулированной категории мотивов над X не является вполне строгим, соответственно, есть разница между стабильными (стабилизированными по тейтовской подкрутке) и нестабильными мотивными когомологиями.
3. Как известно, для обычных (нестабильных) мотивных когомологий негладких многообразий X нарушается правило этального спуска Бейлинсона-Лихтенбаума. Важно, чтобы для стабильных мотивных когомологий негладких многообразий это правило выполнялось. Так ли это, я не знаю (на MathOverflow мне ничего не ответили).
4. Далее, нужен формализм "шести операций" Гротендика для триангулированных категорий мотивов над X с коэффициентами Z/m, стабилизированных по тейтовской подкрутке. При этом существование такого формализма для нестабильных триангулированных категорий мотивов вело бы к противоречию (он, впрочем, и по другим соображениям, видимо, не может существовать).
5. Наконец, нужен функтор этальной реализации для таких мотивов, принимающий значения в этальных пучках Z/m-модулей на X и коммутирующий с шестью операциями.
При этих условиях, отождествление FXm с точной подкатегорией MAT(X,Z/m) в триангулированной категории стабильных мотивов DMstab(X,Z/m), порожденной объектами p!Z/m(j), где p: Y → X -- квазиконечные морфизмы, представляется более-менее разрешимой задачей. В отсутствие условия 3, можно построить точный функтор MAT(X,Z/m) → FXm.
1. Нужно работать с произвольными многообразиями X, не обязательно гладкими.
2. Как известно, для негладких многообразий X функтор тейтовской подкрутки на триангулированной категории мотивов над X не является вполне строгим, соответственно, есть разница между стабильными (стабилизированными по тейтовской подкрутке) и нестабильными мотивными когомологиями.
3. Как известно, для обычных (нестабильных) мотивных когомологий негладких многообразий X нарушается правило этального спуска Бейлинсона-Лихтенбаума. Важно, чтобы для стабильных мотивных когомологий негладких многообразий это правило выполнялось. Так ли это, я не знаю (на MathOverflow мне ничего не ответили).
4. Далее, нужен формализм "шести операций" Гротендика для триангулированных категорий мотивов над X с коэффициентами Z/m, стабилизированных по тейтовской подкрутке. При этом существование такого формализма для нестабильных триангулированных категорий мотивов вело бы к противоречию (он, впрочем, и по другим соображениям, видимо, не может существовать).
5. Наконец, нужен функтор этальной реализации для таких мотивов, принимающий значения в этальных пучках Z/m-модулей на X и коммутирующий с шестью операциями.
При этих условиях, отождествление FXm с точной подкатегорией MAT(X,Z/m) в триангулированной категории стабильных мотивов DMstab(X,Z/m), порожденной объектами p!Z/m(j), где p: Y → X -- квазиконечные морфизмы, представляется более-менее разрешимой задачей. В отсутствие условия 3, можно построить точный функтор MAT(X,Z/m) → FXm.
