Контрпример к моей гипотезе?
Jan. 17th, 2011 02:11 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВ этой диссертации, написанной под руководством В.Л. в Индиане, утверждается, что автор нашел контрпример к моей гипотезе, что кошулева алгебра с d образующими не может иметь конечную гомологическую размерность, превышающую d. См. Example 1 на странице 8 в конце Chapter 1.
В качестве такого контрпримера, приводится алгебра с образующими x, y, z и соотношениями x2 + xz, y2 + yz, yx, zx. Утверждается, что размерности компонент ее квадратично двойственной алгебры суть 1, 3, 4, 3, 1, 0. Так ли это, несложно проверить с помощью базисов Гребнера, и автор приводит соответствующее вычисление. Что не объяснено, так это откуда сделан вывод, что эта алгебра кошулева.
В качестве такого контрпримера, приводится алгебра с образующими x, y, z и соотношениями x2 + xz, y2 + yz, yx, zx. Утверждается, что размерности компонент ее квадратично двойственной алгебры суть 1, 3, 4, 3, 1, 0. Так ли это, несложно проверить с помощью базисов Гребнера, и автор приводит соответствующее вычисление. Что не объяснено, так это откуда сделан вывод, что эта алгебра кошулева.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2011-01-17 06:06 am (UTC)После исправления получается: A(z) = 1+3*z+5*z^2+6*z^3
+7*z^4 + o(z^4), A^!(z) = 1+3*z+4*z^2+3*z^3+1*z^4 + o(z^4), так что A(z)* A^!(-z) = 1+z^4 + o(z^4). Т.е. резольвента не линейна уже в степени 4.
Если это кому-то интересно, по-прежнему могу перепроверить другим способом и/или руками:)
no subject
Date: 2011-01-17 10:30 am (UTC)no subject
Date: 2011-01-17 11:30 am (UTC)Вычисляем базис Гребнера алгебры А отн. z>x>y.
Он конечен и состоит из элементов x2 + xz, y2 + yz, yx, zx, zx^2, x^4, его старшие члены суть мономы xz, yz, yx, zx, zx^2, x^4. С помощью резольвенты Аника (которая для мономиальных алгебр, по словам Бакелина, восходит к Грину :) вычисляем A(z)+ o(z^4). Имеем ряды Гильберта для множеств "цепей": C_1(z) = 4z^2+z^3+z^4, C_2(z) = 4z^3+3z^4+ o(z^4), C_3(z) = 4z^4+ o(z^4), так что
A(z)^(-1) = 1-3z+C_1(z)- C_2(z) +C_3(z)+ o(z^4) =
1-3z+4z^2-3z^3+2z^4 + o(z^4)
вместо A^!(-z) = 1-3z+4z^2-3z^3+z^4
(ряд Гильберта для A^! считаем правильным, т.к. он независимо вычислен нами с Бергманом, с одной стороны, и в диссертации, с другой).
no subject
Date: 2011-01-17 11:32 am (UTC)no subject
Date: 2011-01-17 01:31 pm (UTC)xz+x2,yz+y2,yx,zx,x3.
После этого можно описать все мономы неприводимые относительно этого базиса:
e
x,y,z
x2,xy,y2,zy,z2,
x2y,xy2,y3,zy2,z2y,z3,
x2y2,xy3,y4,zy3,z2y2,z3y,z4,
.......
откуда видно, что количество таких мономов в степени d>1 равна d+3.
Получается, что A(z) = 1+3*z+5*z^2+6*z^3+7*z^4 + ... (как и было в Вашем предыдущем комментарии) и далее коэффиценты возрастают на 1 на каждом шаге. В результате будет A(z) = (1+z-z3)/(1-z)^2. Так как A^!(-z) = (1-z+z2)(1-z)^2, то произвдение A(z)A^!(-z) = 1+z4-z5.
no subject
Date: 2011-01-17 02:17 pm (UTC)no subject
Date: 2011-01-17 04:29 pm (UTC)no subject
Date: 2011-01-17 04:30 pm (UTC)