Квазилогарифмический коцикл - 2
Jan. 8th, 2011 12:19 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть J -- проконечная абелева группа, изоморфная Zl, x -- какая-нибудь ее образующая. Рассмотрим пополнение R группового кольца Zl[J] -- проективный предел групповых колец конечных факторгрупп J с коэффициентами в конечных факторкольцах Zl.
Элемент из R обратим тогда и только тогда, когда обратим его образ при гомоморфизме аугментации R → Zl. На любом конечно-порожденном Zl-модуле V с унипотентным эндоморфизмом x имеется естественное непрерывное действие кольца R.
Группа Zl* действует на J умножениями, т.е., в мультипликативной записи, элемент n из Zl* переводит x в xn. Имеется индуцированное действие Zl* на кольце R.
Квазилогарифмический коцикл ψx -- это отображение ψx(n) = (1 + x + … + xn−1)/n из натуральных чисел, взаимно-простых с l, в мультипликативную группу R*, точнее даже, в ее подгруппу унипотентных элементов R*1 -- прообраз единицы при отображении аугментации из R в Zl. Функция ψx продолжается по непрерывности на Zl* и является самым настоящим коциклом последней группы со значениями в модуле R*1. Функция ψ'x(n) = nψx(n) является коциклом Zl* со значениями в R*.
При замене образующей x на xm, коциклы ψ и ψ' заменяются на канонически когомологичные; величина ψx(m) является соответствующей затягивающей коцепью.
Надо бы как-нибудь
1. описать эту картину на более возвышенном гомотопическом языке; и
2. убедиться, что все это давно известно.
Окончание следует.
Элемент из R обратим тогда и только тогда, когда обратим его образ при гомоморфизме аугментации R → Zl. На любом конечно-порожденном Zl-модуле V с унипотентным эндоморфизмом x имеется естественное непрерывное действие кольца R.
Группа Zl* действует на J умножениями, т.е., в мультипликативной записи, элемент n из Zl* переводит x в xn. Имеется индуцированное действие Zl* на кольце R.
Квазилогарифмический коцикл ψx -- это отображение ψx(n) = (1 + x + … + xn−1)/n из натуральных чисел, взаимно-простых с l, в мультипликативную группу R*, точнее даже, в ее подгруппу унипотентных элементов R*1 -- прообраз единицы при отображении аугментации из R в Zl. Функция ψx продолжается по непрерывности на Zl* и является самым настоящим коциклом последней группы со значениями в модуле R*1. Функция ψ'x(n) = nψx(n) является коциклом Zl* со значениями в R*.
При замене образующей x на xm, коциклы ψ и ψ' заменяются на канонически когомологичные; величина ψx(m) является соответствующей затягивающей коцепью.
Надо бы как-нибудь
1. описать эту картину на более возвышенном гомотопическом языке; и
2. убедиться, что все это давно известно.
Окончание следует.
