Квазилогарифмический коцикл
Jan. 7th, 2011 10:36 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть x -- унипотентный линейный оператор, действующий на конечно-порожденном модуле V над кольцом целых l-адических чисел Zl (или даже просто на абелевой группе l-кручения, или на векторном пространстве над Z/l). Если бы у нас был модуль над рациональными числами, мы могли бы определить логарифм log(x) как сумму конечного ряда (обрывающегося ввиду унипотентности x). Но над целыми l-адическими числами это невозможно, поскольку мешают натуральные числа, делящиеся на l, в знаменателях ряда для логарифма.
Неожиданным частичным решением этой неразрешимой проблемы является следующий 1-коцикл на группе Zl*. Представим себе, что логарифм нам нужен для того, чтобы он преобразовывал степени x в его аддитивные кратные. Этого у нас нет, но во всяком случае, мы можем написать x−1 вместо log(x). Разумеется, это не обладает нужным свойством; xn−1 не равно n(x−1). Но насколько сильно одно отличается от другого?
Сопоставим натуральному числу n, не делящемуся на l, выражение (1 + x + … + xn−1)/n. Это тоже унипотентный линейный оператор, действующий на том же модуле V. Обозначим его через ψ(x,n). Легко проверить, что ψ(x,n) как функция от n продолжается по непрерывности с натуральных чисел, не делящихся на l, на обратимые целые l-адические числа. Эта функция удовлетворяет уравнению коцикла ψ(xn,m)ψ(x,n) = ψ(x,nm). Тому же уравнению удовлетворяет и функция &psi'(x,n) = nψ(x,n), но ее значения суть просто обратимые операторы, не унипотентные.
Аналогичному уравнению удовлетворяет любая функция вида f(x,n) = θ(xn)/θ(x), где φ -- любое отображение, скажем, из унипотентных операторов на V в унипотентные, или хотя бы в обратимые (вопрос о коммутативности я пока игнорирую -- можно считать, что все операторы, так или иначе выражающиеся через x, предполагаются коммутирующими между собой). Но наши функции ψ и ψ' такого вида (судя по всему) не имеют, поскольку для этого пришлось бы (если говорить о ψ') взять θ(x) = x−1, а такие операторы не обратимы, и вообще в интересующем нас случае нильпотентны.
Продолжение следует.
Неожиданным частичным решением этой неразрешимой проблемы является следующий 1-коцикл на группе Zl*. Представим себе, что логарифм нам нужен для того, чтобы он преобразовывал степени x в его аддитивные кратные. Этого у нас нет, но во всяком случае, мы можем написать x−1 вместо log(x). Разумеется, это не обладает нужным свойством; xn−1 не равно n(x−1). Но насколько сильно одно отличается от другого?
Сопоставим натуральному числу n, не делящемуся на l, выражение (1 + x + … + xn−1)/n. Это тоже унипотентный линейный оператор, действующий на том же модуле V. Обозначим его через ψ(x,n). Легко проверить, что ψ(x,n) как функция от n продолжается по непрерывности с натуральных чисел, не делящихся на l, на обратимые целые l-адические числа. Эта функция удовлетворяет уравнению коцикла ψ(xn,m)ψ(x,n) = ψ(x,nm). Тому же уравнению удовлетворяет и функция &psi'(x,n) = nψ(x,n), но ее значения суть просто обратимые операторы, не унипотентные.
Аналогичному уравнению удовлетворяет любая функция вида f(x,n) = θ(xn)/θ(x), где φ -- любое отображение, скажем, из унипотентных операторов на V в унипотентные, или хотя бы в обратимые (вопрос о коммутативности я пока игнорирую -- можно считать, что все операторы, так или иначе выражающиеся через x, предполагаются коммутирующими между собой). Но наши функции ψ и ψ' такого вида (судя по всему) не имеют, поскольку для этого пришлось бы (если говорить о ψ') взять θ(x) = x−1, а такие операторы не обратимы, и вообще в интересующем нас случае нильпотентны.
Продолжение следует.
