К философии математики

[posic]

Когда говорят, что математика является априорной наукой, на самом деле могут иметь в виду одно из двух (как минимум) утверждений.

Первое состоит в том, что математическое знание заведомо предшествует всякому целенаправленному экспериментированию или систематическому наблюдению внешнего (по отношению к человеческому разуму) мира. По крайней мере в идеале, математические утверждения окончательно доказываются или опровергаются внутри головы каждого отдельно взятого математика. Почему в таких условиях математики сравнительно легко разрешают свои разногласия о правильности доказательств -- вопрос отдельный (на самом деле это здесь давно и убедительно объяснил avva).

В таком понимании тезис об априорности математики представляется абсолютно бесспорным. В качестве иллюстрации можно указать на проблему компьютерных доказательств (см. по предыдущей ссылке). Тут дело даже не в том, принимать ли компьютерные доказательства или отвергать их. Достаточно заметить, что чисто умозрительное доказательство при прочих равных всегда является более предпочтительным, чем доказательство, использующее компьютерный счет. Даже если перепроверить компьютерный участок на множестве разных машин, компиляторов, языков программирования и т.д., все равно останется желание заменить его человеческим рассуждением.

Второе, гораздо более сильное утверждение о математике как априорной науке состоит в следующем: математика занимается дедуктивным выводом следствий из самоочевидных, неоспоримых аксиом (или, в другом варианте, конструкций). Предположительно, такие аксиомы должны происходить из рефлексии. Вот этот тезис представляется весьма спорным. Я не хочу сказать, что он заведомо неверен; скорее, я просто не знаю, что это за аксиомы такие.

Какие неопровержимые аксиомы? С одной стороны, в отдельных областях математики словосочетание "система аксиом" употребляется как почти синонимичное словам "важное определение". Такие аксиомы отличаются продуктивностью, объяснительной силой, и т.д., но никто не предполагает за ними никакой самоочевидности.

С другой стороны, имеются аксиоматики теории множеств, используемые в качестве "оснований математики". Даже не касаясь вопроса о том, в каком смысле аксиомы ZFC и им подобные можно считать "бесспорными" (а как же интуиционисты?) или "неопровержимыми" (а что мы будем делать, если снова обнаружатся противоречия? а на чем может быть основана уверенность, что их там нет?) -- достаточно сделать одно простое замечание. Мне кажется, что очень и очень немногие современные математики сколько-нибудь ясно представляют себе, что это за аксиомы такие и с чем и едят. Я, например, не отношусь к числу этих математиков... Собственно говоря, общеизвестной является только одна аксиома -- та единственная, которая иногда применяется в математических работах, не связанных непосредственно с основаниями. Это аксиома выбора.

Comments

[posic.livejournal.com]

Галуа, мне кажется, не придумал группы как таковые. Он придумал группы перестановок корней полиномиального уравнения, они же группы автоморфизмов числовых полей. С их помощью можно выяснить, решается ли в радикалах данное конкретное уравнение. Абстрактное понятие группы появилось гораздо позже.

> Алгебраическая геометрия - я правильно понимаю, что это теория линейных операторов ?

Абсолютно неправильно. То, о чем Вы говорите, называется функциональный анализ. Алгебраическая геометрия -- это такая наука, что можно закончить мех-мат МГУ и никогда не слышать о ее существовании. А теория чисел, она же арифметика, есть самая главная из всех математических наук, и когда гипотезы Римана будут доказаны, математика прекратит течение свое, как справедливо замечал мне один великий русский математик. Это не говоря о том, что простые числа все-таки применяется в компьютерах.