![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВторая попытка, после неудачной этой -- http://posic.livejournal.com/527060.html Попробуем все-таки доказать утверждения 1 и 2, сформулированные в конце постинга по ссылке.
Если E -- кокольцо, квадратично двойственное к квадратичной части кольца A, то кокольцо, квадратично двойственное к квадратичной части R⊗kA есть R⊗kE. Комодули над последним суть комодули над первым, на которых дополнительно действует кольцо R, согласованно с действием коммутативного кольца k, причем действие R коммутирует с кодействием E.
Между комодулями над Е и комодулями над R⊗kE действует пара сопряженных точных функторов ограничения и расширения скаляров (забывание действия R и тензорное умножение на R над k). Эти функторы определены на категориях комодулей, плоских над нулевыми компонентами коалгебр. В частности, Ext между тривиальными комодулями R⊗kE0(i) и R⊗kE0(j) в категории таких комодулей над R⊗kE равен Ext'у между тривиальными комодулями E0(i) и R⊗kE0(j) в категории таких комодулей над E.
Осталось отождествить первое с Ext'ом между теми же комодулями в категории комодулей, конечно-порожденных и свободных как градуированные модули над нулевой компонентой, а второе -- с тензорным произведением подобного Ext'а на R над k. В первом случае, можно воспользоваться второй половиной доказательства леммы 7.3.2 из статьи про мотивы Артина-Тейта (эта часть доказательства не зависит от условий плоскости на кокольцо E). Во втором случае, нужно использовать, по существу, то же самое рассуждение с сечениями левых резольвент в сочетании с наблюдением, что Hom из конечно-порожденного свободного E0-модуля коммутирует с тензорным умножением области значений на R над k.
P.S. Отметим, что когда кольцо A является плоским k-модулем, утверждения 1. и 2. верны без предположения плоскости R над k. Это легко усмотреть из бар-конструкции (кольца A).
Если E -- кокольцо, квадратично двойственное к квадратичной части кольца A, то кокольцо, квадратично двойственное к квадратичной части R⊗kA есть R⊗kE. Комодули над последним суть комодули над первым, на которых дополнительно действует кольцо R, согласованно с действием коммутативного кольца k, причем действие R коммутирует с кодействием E.
Между комодулями над Е и комодулями над R⊗kE действует пара сопряженных точных функторов ограничения и расширения скаляров (забывание действия R и тензорное умножение на R над k). Эти функторы определены на категориях комодулей, плоских над нулевыми компонентами коалгебр. В частности, Ext между тривиальными комодулями R⊗kE0(i) и R⊗kE0(j) в категории таких комодулей над R⊗kE равен Ext'у между тривиальными комодулями E0(i) и R⊗kE0(j) в категории таких комодулей над E.
Осталось отождествить первое с Ext'ом между теми же комодулями в категории комодулей, конечно-порожденных и свободных как градуированные модули над нулевой компонентой, а второе -- с тензорным произведением подобного Ext'а на R над k. В первом случае, можно воспользоваться второй половиной доказательства леммы 7.3.2 из статьи про мотивы Артина-Тейта (эта часть доказательства не зависит от условий плоскости на кокольцо E). Во втором случае, нужно использовать, по существу, то же самое рассуждение с сечениями левых резольвент в сочетании с наблюдением, что Hom из конечно-порожденного свободного E0-модуля коммутирует с тензорным умножением области значений на R над k.
P.S. Отметим, что когда кольцо A является плоским k-модулем, утверждения 1. и 2. верны без предположения плоскости R над k. Это легко усмотреть из бар-конструкции (кольца A).
