![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic1. Если выбросить из книжки "Доказательства и опровержения" всю математику и историю, то останется, по моим представлениям, голый философский тезис в следующем виде:
- Стремление к беспрестанному поиску максимальной естественной общности для всех высказываний несовместимо с намерением избегать ошибочных утверждений.
Я бы сказал, что в таком виде это во многом верно, но логически отсюда следует не однозначный вывод, а развилка. Лакатош делает вывод о необходимости смириться с неизбежностью ошибок. Математики делают вывод о необходимости мириться с неестественными ограничениями общности.
2. Доказательствопорожденные понятия.
- Понятия рождаются из доказательств. Понятия не имеют смысла и не могут быть восприняты вне контекста доказательств, их породивших.
Я бы сказал, что первое утверждение более-менее верно, а второе и третье применимы лишь к наименее удачным из понятий. Лакатош недооценивает как стремление математиков к прозрачным и удобным определениям, так и, что самое важное здесь, применимость хороших определений во множестве самых разных доказательств.
3. Вот еще один тезис, который мне запомнился (возможно, из других сочинений Лакатоша).
- Априорная теория, выводимая из самоочевидных посылок, упирается в проблему растяжимости понятий. Растяжение рамок первичных понятий опровергает любые самоочевидные аксиомы. Кристально ясных и нерастяжимых понятий не бывает.
Я бы сказал, что понятие натурального числа является хорошим кандидатом в кристально ясные и нерастяжимые понятия. Я знаю, что эта позиция оспаривается многими авторами, конечно.
4. И еще один:
- Подтверждение следствий из аксиом не позволяет сделать предположительного вывода об истинности исходных аксиом. Выводы об истинности могут корректно делаться только при движении вперед вдоль логических импликаций, а не назад.
Я бы сказал, что все естествознание стоит на том, чтобы делать предположительные выводы об истинности при движении назад вдоль логических импликаций. И как-то живут они с этим, ничего.
---
Избранный Лакатошем пример с теоремой Эйлера о многогранниках в смысле сказанного выше показателен. С современной точки зрения ясно, что поиск максимальной естественной общности для этой теоремы есть задача, которую нельзя решить в одночасье. В то же время, для выпуклых многогранников теорема Эйлера верна и избавиться от контрпримеров в такой ее формулировке не так уж сложно.
При этом само понятие многогранника и поныне принадлежит скорее, так сказать, математическому быту, чем математике как системе концепций. Лично я, во всяком случае, затрудняюсь сходу дать определение (не выпуклого) многогранника и думаю, что большинство чистых математиков (научных работников) аналогично затруднятся. Понятно, что эта задача разрешима, и даже многими способами; да только мало кто разбирается в этих решениях.
Определение выпуклого многогранника: ограниченная область в вещественном аффинном пространстве, являющаяся пересечением конечного числа замкнутых полупространств, не лежащая целиком ни в какой гиперплоскости. Определение грани (какой-то размерности): пересечение многогранника с гиперплоскостью, ограничивающей замкнутое полупространство, в котором он лежит целиком. Определение размерности грани: размерность минимального аффинного пространства, в котором эта грань содержится.
- Стремление к беспрестанному поиску максимальной естественной общности для всех высказываний несовместимо с намерением избегать ошибочных утверждений.
Я бы сказал, что в таком виде это во многом верно, но логически отсюда следует не однозначный вывод, а развилка. Лакатош делает вывод о необходимости смириться с неизбежностью ошибок. Математики делают вывод о необходимости мириться с неестественными ограничениями общности.
2. Доказательствопорожденные понятия.
- Понятия рождаются из доказательств. Понятия не имеют смысла и не могут быть восприняты вне контекста доказательств, их породивших.
Я бы сказал, что первое утверждение более-менее верно, а второе и третье применимы лишь к наименее удачным из понятий. Лакатош недооценивает как стремление математиков к прозрачным и удобным определениям, так и, что самое важное здесь, применимость хороших определений во множестве самых разных доказательств.
3. Вот еще один тезис, который мне запомнился (возможно, из других сочинений Лакатоша).
- Априорная теория, выводимая из самоочевидных посылок, упирается в проблему растяжимости понятий. Растяжение рамок первичных понятий опровергает любые самоочевидные аксиомы. Кристально ясных и нерастяжимых понятий не бывает.
Я бы сказал, что понятие натурального числа является хорошим кандидатом в кристально ясные и нерастяжимые понятия. Я знаю, что эта позиция оспаривается многими авторами, конечно.
4. И еще один:
- Подтверждение следствий из аксиом не позволяет сделать предположительного вывода об истинности исходных аксиом. Выводы об истинности могут корректно делаться только при движении вперед вдоль логических импликаций, а не назад.
Я бы сказал, что все естествознание стоит на том, чтобы делать предположительные выводы об истинности при движении назад вдоль логических импликаций. И как-то живут они с этим, ничего.
---
Избранный Лакатошем пример с теоремой Эйлера о многогранниках в смысле сказанного выше показателен. С современной точки зрения ясно, что поиск максимальной естественной общности для этой теоремы есть задача, которую нельзя решить в одночасье. В то же время, для выпуклых многогранников теорема Эйлера верна и избавиться от контрпримеров в такой ее формулировке не так уж сложно.
При этом само понятие многогранника и поныне принадлежит скорее, так сказать, математическому быту, чем математике как системе концепций. Лично я, во всяком случае, затрудняюсь сходу дать определение (не выпуклого) многогранника и думаю, что большинство чистых математиков (научных работников) аналогично затруднятся. Понятно, что эта задача разрешима, и даже многими способами; да только мало кто разбирается в этих решениях.
Определение выпуклого многогранника: ограниченная область в вещественном аффинном пространстве, являющаяся пересечением конечного числа замкнутых полупространств, не лежащая целиком ни в какой гиперплоскости. Определение грани (какой-то размерности): пересечение многогранника с гиперплоскостью, ограничивающей замкнутое полупространство, в котором он лежит целиком. Определение размерности грани: размерность минимального аффинного пространства, в котором эта грань содержится.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2010-12-29 06:14 am (UTC)Связное объединение конечного числа выпуклых многогранников?
В принципе так же, если не хуже, дело обстоит с понятием кривой (как показывает пример кривых Пеано, Гильберта и т.п.).
no subject
Date: 2010-12-29 12:52 pm (UTC)Я согласен, что такое определение возможно, но полезно ли оно? Есть ли теоремы, которые можно доказать про многогранники в таком определении?
Кривые Пеано и Гильберта суть просто некоторые непрерывные отображения отрезка на квадрат, кажется. А понятие (произвольно самопересекающейся + негладкой + не параметризованной) кривой вообще -- не существует, видимо, да. Что бы с ним можно было делать, если бы оно существовало, я, опять же, не знаю.
no subject
Date: 2010-12-29 09:32 pm (UTC)Совершенно правильный вопрос. Не знаю.