![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПлан -- http://posic.livejournal.com/510975.html
1. Точная категория мотивных пучков Артина-Тейта
Пусть m -- натуральное число и K -- поле, характеристика которого
не делит m. Напомним, что для любого алгебраического многообразия
X над K категория этальных пучков Z/m-модулей над X является
локально нетеровой категорией Гротендика. Другими словами, эта
категория эквивалентна категории инд-объектов в абелевой категории
конструктивных этальных пучков Z/m-модулей над X. Здесь этальный
пучок называется конструктивным, если он порожден конечным набором
своих сечений (над какими-то многообразиями, этальными над X);
это эквивалентно существованию конечной стратификации X локально
замкнутыми подмногообразиями, в ограничении на каждое из которых
пучок является локально постоянным с конечно-порожденными слоями
(lisse). Этальный пучок Z/m-модулей конструктивен тогда и только
тогда, когда он является нетеровым объектом категории этальных пучков.
Для любого гладкого алгебраического многообразия X над K рассмотрим
следующую точную категорию E_X. Объектами E_X являются
конструктивные этальные пучки Z/m-модулей N над X, такие что для
каждой схемной точки x из X с полем вычетов K_x, слой N над x, как
дискретный модуль над абсолютной группой Галуа G_K_x, является
(конечно-порожденным) перестановочным модулем с коэффициентами в Z/m.
Точными тройками в E_X являются короткие точные последовательности
этальных пучков из E_X, такие что соответствующие короткие точные
последовательности G_K_x-модулей расщепимы для всех схемных точек x
многообразия X.
Следующая категория F_X является нашим кандидатом на роль точной
категории мотивных пучков Артина-Тейта с коэффициентами Z/m над
гладким многообразием X. Объектами F_X являются этальные пучки
Z/m-модулей N над X, снабженные конечной убывающей фильтрацией F,
такой что присоединенные факторы gr_F^i N суть объекты категории
E_X, помноженные тензорно над Z/m на циклотомические этальные пучки
\mu_m^{\ot i}. Последние являются обратными образами на X локально
постоянных этальных пучков на спектре поля K. Точные тройки
в категории F_X суть пары морфизмов с нулевой композицией,
присоединенные факторы которых по фильтрации F суть точные тройки
в E_X, подкрученные на \mu_m^{\ot i}. Другими словами, требуется,
чтобы присоединенные факторы образовывали короткие точные
последовательности этальных пучков, расщепимые в слое над каждой
схемной точкой x из X.
Точная категория F_X имеет естественную структуру ассоциативной,
коммутативной и унитальной тензорной категории с точным функтором
тензорного произведения. Мотивом Тейта Z/m(i) над гладким
многообразием X мы будем называть этальный пучок \mu_m^{\ot i} на X,
помещенный в компоненту номер i убывающей фильтрации F и
рассматриваемый как объект категории F_X. Объекты Z/m(i) обратимы
в тензорной категории F_X; имеются естественные изоморфизмы
Z/m(i)\ot Z/m(j) = Z/m(i+j). Для произвольного объекта N из F_X,
тензорное произведение N\ot Z/m(i) обозначается через N(i) и
называется тейтовской подкруткой N на номер i. Категория E_X
является естественным образом полной точной тензорной подкатегорией
в F_X, состоящей из всех объектов, сосредоточенных в компоненте
фильтрации номер 0.
Пусть f: Y\to X -- морфизм гладких многообразий над полем K. Тогда
функтор обратного образа f^* на этальных пучках отображает категорию
E_X в E_Y и является точным функтором между этими точными категориями
(как и между абелевыми категориями произвольных конструктивных пучков
на X и Y). Поэтому имеется индуцированный точный функтор
f^*: F_X\to F_Y. Он переводит объекты Тейта Z/m(i) над X
в аналогичные объекты Z/m(i) над Y и коммутирует с тензорным
произведением в F_X и F_Y.
Пусть f: Y\to X -- квазиконечный морфизм гладких многообразий над K.
Тогда функтор прямого образа с компактным носителем f_! на этальных
пучках Z/m-модулей (сохраняет конструктивность и) точен. Для любого
этального пучка Z/m-модулей N на Y слой пучка f_!N над точкой x из X
изоморфен прямой сумме прямых образов слоев пучка N над точками y из
Y, такими что f(y)=x, при конечных морфизмах спектров полей x\to y.
На уровне дискретных модулей над абсолютными группами Галуа полей K_x
и K_y, прямой образ есть индуцирование с открытой подгруппы G_K_y
проконечной группы G_K_x. Поэтому функтор f_! отображает E_Y в E_X
и является точным функтором между этими точными категориями. Функтор
f_! коммутирует с подкруткой на локально постоянные пучки, поднятые
с X. Поэтому имеется индуцированный точный функтор f_!: F_Y\to F_X,
коммутирующий с тейтовскими подкрутками.
Для любого этального морфизма гладких многообразий f: Y\to X, функтор
f_!: F_Y \to F_X сопряжен слева к функтору f^*: F_X \to F_Y. Для
любого конечного морфизма гладких многообразий f: Y\to X, функтор
f_!: F_Y \to F_X сопряжен справа к функтору f^*: F_X\to F_Y.
Для любых квазиконечных морфизмов гладких многообразий f: Y\to X,
функторы f_! и f^* между точными категориями F_X и F_Y удовлетворяют
формуле проекции по отношению к тензорным произведениям, а также
коммутируют между собой в ситуации замены базы.
Лемма 1: любая пара сопряженных точных функторов между точными
категориями индуцирует пару сопряженных триангулированных функторов
между их (ограниченными или неограниченными) производными категориями.
(Это следствие аналогичного результата для сопряженных функторов
между триангулированными категориями, переводящих выбранные в них
толстые подкатегории одну в другую, и соответствующих локализаций.)
Для любого квазиконечного морфизма многообразий f: Y\to X, где X
гладко, когомологическим мотивом Y над X с компактным носителем
называется объект M_cс(Y) = f_! Z/m в точной подкатегории E_X в F_X.
Для любого квазиконечного морфизма многообразий f: Y\to X, где X
гладко, и замкнутого подмногообразия Z в Y имеется короткая точная
последовательность M_cc(Y\Z) \to M_cc(Y) \to M_cc(Z) в E_X\sub F_X.
Для любого квазиконечного морфизма гладких многообразий f: Y\to X,
гомологическим мотивом Y над X называется объект M_h(Y) =
f_! Z/m (dim Y/X)[2dim Y/X] в ограниченной производной категории
D^b(F_X), где dim Y/X = dim Y - dim X. Для любого квазиконечного
морфизма гладких многообразий Y\to X и гладкого замкнутого
подмногообразия Z в Y имеется выделенный треугольник М_h(Y\Z)\to
M_h(Y)\to M_h(Z)(c)[2c]\to в D^b(F_X), где c -- коразмерность Z в Y.
Если Y'\to X и Y''\to X -- два квазиконечных морфизма в гладкое
многообразие X и Y = Y'\times_X Y'', то M_cc(Y) = M_cc(Y') \ot
M_cc(Y'') в E_X\sub F_X. Если Y'\to X и Y''\to X -- два
квазиконечных морфизма гладких многообразий с трансверсальными
особенностями, т.е. многообразие Y = Y'\times_X Y'' гладко и dim Y/X
= dim Y'/X + dim Y''/X, то M_h(Y) = M_h(Y') \ot M_h(Y'') в D^b(F_X).
Гипотеза. Для любого квазиконечного морфизма гладких многообразий
Y\to X имеется естественный изоморфизм между Z/m-модулями
Hom_{D^b(F_Y)}(Z/m,Z/m(i)[j]) и Hom_{D^b(F_X)}^(M_h(Y),Z/m(i)[j]).
Лемма 2: точная категория E_X порождена объектами M_cc(Y), где Y --
многообразия, конечные и этальные над локально замкнутыми гладкими
подмногообразиями X, с помощью расширений. Точная категория F_X
порождена объектами M_cc(Y)(i), где Y как выше, а i\in Z.
Доказательство проводится с помощью нетеровой индукции по замкнутым
подмногообразиям X. Ключевой шаг состоит в том, что если имеется
lisse этальный N пучок Z/m-модулей на гладком многообразии U, такой
что соответствующий модуль над абсолютной группой Галуа общей точки
U является перестановочным с коэффициентами в Z/m, то пучок N
является прямым образом Z/m при конечном этальном морфизме в U.
Здесь полезно иметь в виду, что отображения этальных фундаментальных
групп, индуцированные открытыми вложениями связных гладких
многообразий, сюръективны, поскольку открытое подмногообразие
связного гладкого многообразия связно. После этого остается
использовать точные последовательности этальных пучков, связанные
с продолжением нулем с открытого вложения. Второе утверждение
следует из первого очевидным образом.
Лемма 3: точная категория E_X порождена объектами M_cc(Y), где Y --
этальные многообразия над X, с помощью расширений и перехода
к коядрам допустимых мономорфизмов. Кроме того, всякий объект
из E_X является образом допустимого эпиморфизма из объекта M_cc(Y),
где Y этально над X.
Доказательство: первое утверждение следует из того, что произвольный
этальный морфизм в локально замкнутое подмногообразие U в X можно
вложить в этальный морфизм в X, возможно, после перехода к открытому
подмногообразию в X, содержащему общую точку U. Конструкция
гензелизации локального кольца общей точки U в X обеспечивает
существование такого вложения. Чтобы доказать второе утверждение,
нужно, в дополнение к этому, отождествить абсолютную группу Галуа
схемной точки X с этальной фундаментальной группой гензелизации
ее локального кольца, и снова приблизить гензелизацию этальным
морфизмом и использовать нетерову индукцию.
Лемма 4: точная категория E_X порождена объектами M_cc(Y), где Y --
конечные многообразия над X, с помощью расширений и перехода
к коядрам допустимых эпиморфизмов.
Доказательство: использовать основную теорему Зарисского (Zariski
main theorem) в форме Гротендика (кажется, так она называется),
утверждающую, что всякий квазиконечный морфизм (при подходящих
предположениях, например для многообразий над полем) есть композиция
открытого вложения и конечного морфизма.
Интересно было бы знать, порождается ли точная категория E_X
объектами M_cc(Y), где Y -- гладкие многообразия, конечные над X.
Это позволило бы, по крайней мере, в принципе, вычислять Z/m-модули
Ext в точных категориях E_X и F_X в терминах модулей Ext между
объектами Тейта, пользуясь сопряженностями функторов f^* и f_!
(см. выше). Проблема в том, будет ли промежуточное многообразие,
через которое факторизуется отображение в основной теореме
Зарисского, гладким. Является ли всякий этальный морфизм композицией
открытого вложения и конечного морфизма, где промежуточное
многообразие гладко? Нормализация позволяет убрать особенности
в коразмерности 1, но, кажется, этого мало.
2. Комплексы, вычисляющие Ext в точных категориях
Теорема. Зафиксируем коммутативное кольцо k. Утверждается, что
любым двум объектам X, Y любой малой k-линейной точной категории E
можно сопоставить гомотопически проективный комплекс проективных
k-модулей C_E(X,Y) со следующими свойствами
0) Любому морфизму f: X -> Y в точной категории E соответствует
коцикл c(f) cтепени 0 в C_E(X,Y).
1) Тройке объектов X, Y, Z в E соответствует отображение
композиции C_E(Y,Z)\ot_K C_E(X,Y) \to C_E(X,Z). Эти умножения
ассоциативны, коциклы c(id_X) являются для них единичными
элементами, композиции с(f)c(g) равны с(fg).
В частности, из 0 и 1 следует контравариантная функториальность
C_E(X,Y) по X и ковариантная по Y.
2) Точному k-линейному функтору между точными категориями
\gamma: E\to F сопоставлены морфизмы комплексов C_E(X,Y) \to
C_F(\gamma(X),\gamma(Y)), согласованные со структурами 0-1.
3) Имеются изоморфизмы между когомологиями комплексов C_E(X,Y)
и k-модулями Ext по Ионеде между X и Y в E, согласованные
со структурами 0-2.
4) Трехчленные последовательности комплексов C_E(X,Y),
соответствующие точным тройкам по любому из аргументов X, Y,
рассматриваемые как бикомплексы с тремя строками, имеют ацикличные
тотальные комплексы.
Доказательство. Рассмотрим прежде всего простой случай, когда k
является полем. Тогда достаточно рассмотреть DG-категорию
(ограниченных или неограниченных) комплексов над E и ее полную
DG-подкатегорию ацикличных комплексов. Локализация Дринфельда
этой k-линейной DG-категории по этой DG-подкатегории является
k-линейной DG-категорией, в которую естественно отображается
k-линейная категория E. Комплексы морфизмов между объектами X, Y
из E в этой DG-категории суть желаемые комплексы C_E(X,Y).
В случае произвольного кольца k, прежде чем применять конструкцию
локализации Дринфельда, мы применим к DG-категории комплексов над E
следующую конструкцию функториальной k-проективной резольвенты.
Лемма. Существует функтор P из категории комплексов k-модулей
в категорию гомотопически проективных комплексов проективных
k-модулей со следующими свойствами. Функтор P снабжен естественными
преобразованиями A \to P(A) \to A для любого комплекса k-модулей A.
При этом отображение P(A) \to A является квазиизоморфизмом комплексов
k-модулей, а A \to P(A) -- отображение градуированных множеств,
переводящее нулевые элементы в нулевые элементы и коммутирующее
с дифференциалом (но не сохраняющее ни сложение, ни умножение
на константы из k). Композиция A \to P(A) \to A есть тождественное
отображение.
Функтор P является псевдотензорным, т.е. для любых комплексов
k-модулей A и B имеется естественное отображение P(A)\ot_k P(B)
\to P(A\ot_k B), согласованное с констрейнтами ассоциативности
и (градуированной) коммутативности в тензорной категории комплексов.
Далее, имеется морфизм комплексов k-модулей k \to P(k), являющийся
псевдоединицей псевдотензорного функтора P. Таким образом,
в частности, функтор P преобразует DG-алгебры над k в DG-алгебры и
k-линейные DG-категории в DG-категории. Отображения сечения
A\to P(A) и проекции P(A)\to A являются мультипликативными
относительно этой псевдотензорной структуры. Образ элемента 1\in k
при этом отображении псевдоединицы k\to P(k) совпадает с образом
того же элемента при отображении сечения k\to P(k).
Отметим, что альтернативный способ построить по DG-алгебре A
квази-изоморфно отображающуюся в нее DG-алгебру F(A), являющуюся
гомотопически проективным комплексом проективных k-модулей, состоит
в том, чтобы построить функториальную кофибрантную резольвенту A
в категории DG-алгебр над k. При этом для морфизма DG-алгебр F(A)
\to A можно построить естественное сечение A\to F(A). Однако, такое
сечение не будет мультипликативным. Эту проблему решает изложенная
ниже конструкция функтора P (производящего по DG-алгебре A
DG-алгебру P(A), кофибрантную как комплекс k-модулей, но не как
DG-алгебра над k).
Доказательство Леммы. Чтобы убедиться, что подобная конструкция
вообще возможна, рассмотрим сначала простой случай, когда кольцо k
содержит какое-то поле f. Тогда за P(A) можно взять (приведенную
или нет) бар-конструкцию A над k относительно f. Желаемая
псевдотензорная структура задается операцией shuffle product
на бар-конструкциях. Отображение сечения в этом случае даже
аддитивно и f-линейно, но не k-линейно.
В общем случае, функтор P переводит k-модуль M в его проективную
резольвенту, нулевым членом которой является k-модуль, свободно
порожденный всеми элементами M, профакторизованный по подмодулю k,
натянутому на образующую, соответствующую нулевому элементу M.
Эта процедура итерируется, чтобы получить всю резольвенту.
Комплексу k-модулей A сопоставляется тотальный комплекс бикомплекса,
составленного из вышеописанных комплексов, соответствующих членам
комплекса A. Тотальный комплекс строится с помощью взятия
бесконечных прямых сумм вдоль диагоналей. Ключевой шаг состоит
в построении псевдотензорной структуры на таком функторе P.
Формально, для любого комплекса k-модулей A определим члены
бикомплекса P^{ij}(A) индукцией по i. k-модуль P^{0j}(A) свободно
порожден символами [a], где a\in A^j, с соотношением [0]=0.
Отображение \pi: P^{0j}(A)\to A переводит [a] в a. Для любого i>0,
определим по индукции k-модуль P^{ij}(A) вместе с дифференциалом \d,
бьющим из него в Р^{i-1,j}(A). Модуль P^{ij}(A) порожден символами
{p}, где p\in P^{i-1,j}(A) и \d(p)=0 (если i>1) или \pi(p)=0
(если i=1), с соотношением {0}=0. Дифференциал \d определен
правилом \d{p}=p и \d[a]=0.
Четность |p| элемента p\in P^{ij}(A) равна i+j (отметим, что { } --
нечетная операция). Дифференциал d на P(A) определяется по индукции
в терминах дифференциала d на A по правилом d[a]=[da] и d{p}={-dp}.
Наконец, псевдотензорная структура определяется по индукции правилами
{p}x{q} = { px{q} + (-1)^|p|{p}xq }, {p}x[a] = {px[a]},
[a]x{q} = {(-1)^|a|[a]xq}, и [a]x[b]=[ab]. Отображение проекции
\pi: P(A)\to A продолжается на весь комплекс P(A) правилом
\pi({p})=0. Отображение сечения s: A\to P(A) определяется правилом
s(a)=[a]. Отображение псевдоединицы e: k\to P(k) определяется
правилом e(1)=[1]. QED
3. Топология Нисневича: выделенные пары, слои
Пусть M и N -- два объекта точной категории F_X, где X -- гладкое
многообразие над K. Каждому этальному морфизму многообразий f: Y\to X
сопоставим комплекс Z/m-модулей С_{M,N}(Y) = C_{F_Y}(f^*M, f^*N),
вычисляющий Z/m-модули Ext в точной категории F_Y между объектами
f^*M и f^*N (см. п.2). Отображение Y \maps C_{M,N}(Y) является
комплексом предпучков на категории многообразий, этальных над X.
Выделенной парой (в топологии Нисневича) [MVW] называется пара
морфизмов U\to Y и Z\to Y, где U\to Y -- открытое вложение, а Z\to Y
-- этальный морфизм, являющийся изоморфизмом над Y\U.
Лемма 1. Пусть j: U\to Y и g: Z\to Y -- выделенная пара морфизмов
многообразий, этальных над X. Тогда тотальный комплекс бикомплекса
с тремя строками C_{M,N}(Y) \to C_{M,N}(U)\oplus C_{M,N}(Z)
\to С_{M,N}(U\times_Y Z) ацикличен.
Доказательство. Для любого этального морфизма g: Z\to Y многообразий,
этальных над X, композиция естественных отображений комплексов
С_{F_Y}(g_!g^*f^*M, f^*N) \to C_{F_Z}(g^*g_!g^*f^*M, g^*f^*N) \to
C_{F_Z}(g^*f^*M, g^*f^*N)
после перехода к когомологиям превращается в изоморфизм сопряжения
для Ext, связанный с парой точных функторов g^* и g_! между точными
категориями F_Y и F_Z, и парой объектов g^*f^*M и f^*N
(см. Лемму 1.1). Поэтому эта композиция является квазиизоморфизмом,
и интересующий нас бикомплекс квазиизоморфен бикомплексу
С_{F_Y}(f^*M, f^*N) \to C_{F_Y}(j_!j^*f^*M, f^*N) \oplus
C_{F_Y}(g_!g^*f^*M, f^*N) \to C_{F_Y}(h_!h^*f^*M, f^*N),
где h обозначает морфизм U\times_Y Z \to Y. Точность тотального
комплекса последнего бикомплекса следует из точности тройки
h_!h^*f^*M \to g^!g^*f^*M \oplus j_!j^*f^*M \to M
в точной категории F_Y. QED
Пусть H -- спектр гензелизации локального кольца схемной точки
гладкого многообразия над полем K. Так же, как для гладких
многообразий над K, для схемы H можно определить точную категорию
этальных пучков E_H и точную категорию фильтрованных этальных
пучков F_H. Для любого морфизма из H в гладкое многообразие Y над K
имеется точный функтор обратного образа F_Y\to F_H.
Пусть, как выше, M и N -- объекты категории F_X для некоторого
гладкого многообразия X над K. Для любого морфизма из H в X,
обозначим через C_{M,N}(H) комплекс, вычисляющий Ext в точной
категории F_H между обратными образами объектов M и N.
Лемма 2. Пусть у -- схемная точка многообразия Y, этального над X,
и пусть h_y: H_y\to Y -- соответствующий морфизм в Y из гензелевой
локальной схемы H_y. Тогда естественное отображение комплексов
Z/m-модулей (h_y^*C_{M,N})(H_y) \to C_{M,N}(H_y), где h_y^*С_{M,N}
обозначает обратный образ комплекса предпучков C_{M,N} при
отображении между категориями этальных морфизмов в H_y и Y,
связанном с морфизмом схем h_y, является квазиизоморфизмом.
Доказательство. Комплекс (h_y^*C_{M,N})(H_y) есть направленный
индуктивный предел комплексов C_{M,N}(Z) по всем многообразиям Z,
этальным над Y и снабженным подъемом H_y\to Z морфизма H_y\to Y.
Проективным пределом таких многообразий Z в категории схем является
схема H_y. Более того, абелева категория конструктивных пучков
Z/m-модулей над H_y эквивалентна индуктивному пределу абелевых
категорий конструктивных пучков Z/m-модулей над многообразиями Z
(относительно функторов обратного образа).
Далее, на направленном индуктивном пределе точных категорий есть
естественная структура точной категории. Индуктивные пределы точных
категорий E_Z и F_Z эквивалентны точным категориям E_{H_y} и F_{H_y},
соответственно. Наконец, операция направленного индуктивного предела
точных категорий согласована с переходом к группам Ext. QED
Лемма 3. Пусть H -- спектр гензелизации локального кольца схемной
точки гладкого многообразия над полем K, и пусть i:\eta \to H --
замкнутая точка H. Пусть M и N -- объекты категории F_H, причем
присоединенные факторы объекта M по фильтрации F суть локально
постоянные этальные пучки на H. Тогда естественное отображение
С_{F_H}(M,N) \to C_{F_\eta}(i^*M, i^*N) является квазиизоморфизмом
комплексов Z/m-модулей.
Доказательство. Функтор i^*, ограниченный на полную точную
подкатегорию F_H, состоящую из объектов с локально постоянными
присоединенными факторами, является эквивалентностью точных
категорий. Вложение точных категорий F_\eta \to F_H, обратное
к этой эквивалентности, сопряжено слева к функтору i^*.
Убедиться в этом можно так: рассмотрим сайт G конечных этальных
морфизмов в H (с очевидной топологией). Этальный сайт H отображается
в сайт G естественным образом (направление отображения сайтов
противоположно направлению отображения категорий). Категория
конструктивных пучков на G эквивалентна категории локально постоянных
конструктивных пучков на H. При этом функтор обратного образа при
нашем отображении сайтов есть функтор вложения локально постоянных
пучков в произвольные конструктивные, а функтор прямого образа
отождествляется с функтором i^*.
Сопряженность точных функторов между абелевыми категориями этальных
пучков, отображающих категории E_H и E_\eta одну в другую и точных
на этих точных категориях, влечет сопряженность точных функторов
между точными категориями F_H и F_\eta. Остается применить
Лемму 1.1. QED
Заметим, что утверждения Лемм 1-3 применимы также к комплексам,
вычисляющим Z/m-модули Ext в абелевых категориях конструктивных
пучков на гладких многообразиях X, вместо точных категорий F_X
(и комплексам предпучков, составленным из этих комплексов).
4. Гиперкогомологии и производный прямой образ
http://posic.livejournal.com/501499.html
http://posic.livejournal.com/515693.html
5. Заключение и выводы
Теорема. Следующие два свойства поля K эквивалентны.
1) Для любого расширения полей K'/K естественные отображения
Ext_{F_K'}^i(M,N(j)) \to Ext_{Et_K'}^i(M,N(j))
являются изоморфизмами для всех M, N из E_{K'} и i\le j (где Et_K'
обозначает абелеву категорию конструктивных этальных пучков
Z/m-модулей над спектром K', а F_K' обозначает категорию
фильтрованных этальных пучков, соответствующую спектру поля K',
рассматриваемому как гладкое многообразие над K'.
2) Существуют естественные изоморфизмы
Ext_{F_X}^i(Z/m,Z/m(j)) \to H^i_Nis(X,\tau_{\le j}
R\pi_*\mu_m^{\ot j})
для всех гладких многообразий X над K, где \pi -- отображение из
большого этального сайта в большой сайт Нисневича, со следующими
свойствами. Во-первых, эти отображения согласованы с отображениями
обратного образа/ограничения, связанными с морфизмами многообразий
X. Во-вторых, композиции этих отображений с отображениями
гиперкогомологий Нисневича, индуцированными морфизмами
\tau_{\le j}R\pi_*\mu_m^{\ot j} \to R\pi_*\mu_m^{\ot j},
совпадают с морфизмами
Ext_{F_X}^i(Z/m,Z/m(j)) \to H^i_et(X,\mu_m^{\ot j}),
индуцированными точными функторами F_X\to Et_X.
Заметим, что в случае, когда поле K содержит первообразный корень
степени m из единицы, условие 1) эквивалентно кошулевости
больших градуированных алгебр диагональных Ext-ов между мотивами
Артина-Тейта, связанных с полями K'/K (см. [artin-tate]).
Доказательство. Импликация 2) => 1) для M = N = Z/m получается
представлением спектра K' в виде (чисто несепарабельного расширения)
направленного проективного предела гладких многообразий над K
и переходом к соответствующему прямому пределу Z/m-модулей Ext.
Заметим, что Ext_{F_K'}^i(M,N(j)) = 0 для всех M, N из E_{K'} и
i\le j в силу [artin-tate, 6.1]. Случай произвольных M, N выводится
с помощью Леммы 1.1 и сопряженностей функторов f_! и f^* для
конечных этальных морфизмов спектров полей.
Докажем импликацию 1) => 2). Рассмотрим комплекс предпучков
C_{Z/m,Z/m(j)} на категории гладких многообразий над K (см. п.3).
Он отображается в комплекс предпучков C_{Z/m,\mu_m^{\ot j}},
построенный по категориям конструктивных этальных пучков на
многообразиях. Согласно Леммам 3.2-3.3 и условию 1), это
отображение индуцирует квази-изоморфизм слоев комплекса
предпучков C_{Z/m,Z/m(j)} и канонического обрезания
\tau_{\le j} C_{Z/m,\mu_m^{\ot j}} в гензелизациях локальных колец
схемных точек гладких многообразий над K. Следовательно имеется
квази-изоморфизм пучковизаций Нисневича C_{Z/m,Z/m(j)}_Nis и
\tau_{\le j} C_{Z/m,\mu_m^{\ot j}}_Nis. Согласно Лемме 4.2,
комплекс пучков Нисневича C_{Z/m,\mu_m^{\ot j}}_Nis представляет
R\pi_*\mu_m^{\ot j}. Согласно Леммам 3.1 и 4.1, гиперкогомологии
Нисневича гладкого многообразия X с коэффициентами
в C_{Z/m,Z/m(j)}_Nis изоморфны Z/m-модулям Ext_{F_X}^*(Z/m,Z/m(j)).
Остается убедиться в согласованности этих отождествлений
с отображениями ограничения при морфизмах гладких многообразий.
Отметим, что согласно тем же Леммам, гиперкогомологии Нисневича
X с коэффициентами в C_{Z/m,\mu_m^{\ot j}}_Nis изоморфны
Z/m-модулям Ext_{Et_X}^*(Z/m,\mu_m^{\ot j}).
1. Точная категория мотивных пучков Артина-Тейта
Пусть m -- натуральное число и K -- поле, характеристика которого
не делит m. Напомним, что для любого алгебраического многообразия
X над K категория этальных пучков Z/m-модулей над X является
локально нетеровой категорией Гротендика. Другими словами, эта
категория эквивалентна категории инд-объектов в абелевой категории
конструктивных этальных пучков Z/m-модулей над X. Здесь этальный
пучок называется конструктивным, если он порожден конечным набором
своих сечений (над какими-то многообразиями, этальными над X);
это эквивалентно существованию конечной стратификации X локально
замкнутыми подмногообразиями, в ограничении на каждое из которых
пучок является локально постоянным с конечно-порожденными слоями
(lisse). Этальный пучок Z/m-модулей конструктивен тогда и только
тогда, когда он является нетеровым объектом категории этальных пучков.
Для любого гладкого алгебраического многообразия X над K рассмотрим
следующую точную категорию E_X. Объектами E_X являются
конструктивные этальные пучки Z/m-модулей N над X, такие что для
каждой схемной точки x из X с полем вычетов K_x, слой N над x, как
дискретный модуль над абсолютной группой Галуа G_K_x, является
(конечно-порожденным) перестановочным модулем с коэффициентами в Z/m.
Точными тройками в E_X являются короткие точные последовательности
этальных пучков из E_X, такие что соответствующие короткие точные
последовательности G_K_x-модулей расщепимы для всех схемных точек x
многообразия X.
Следующая категория F_X является нашим кандидатом на роль точной
категории мотивных пучков Артина-Тейта с коэффициентами Z/m над
гладким многообразием X. Объектами F_X являются этальные пучки
Z/m-модулей N над X, снабженные конечной убывающей фильтрацией F,
такой что присоединенные факторы gr_F^i N суть объекты категории
E_X, помноженные тензорно над Z/m на циклотомические этальные пучки
\mu_m^{\ot i}. Последние являются обратными образами на X локально
постоянных этальных пучков на спектре поля K. Точные тройки
в категории F_X суть пары морфизмов с нулевой композицией,
присоединенные факторы которых по фильтрации F суть точные тройки
в E_X, подкрученные на \mu_m^{\ot i}. Другими словами, требуется,
чтобы присоединенные факторы образовывали короткие точные
последовательности этальных пучков, расщепимые в слое над каждой
схемной точкой x из X.
Точная категория F_X имеет естественную структуру ассоциативной,
коммутативной и унитальной тензорной категории с точным функтором
тензорного произведения. Мотивом Тейта Z/m(i) над гладким
многообразием X мы будем называть этальный пучок \mu_m^{\ot i} на X,
помещенный в компоненту номер i убывающей фильтрации F и
рассматриваемый как объект категории F_X. Объекты Z/m(i) обратимы
в тензорной категории F_X; имеются естественные изоморфизмы
Z/m(i)\ot Z/m(j) = Z/m(i+j). Для произвольного объекта N из F_X,
тензорное произведение N\ot Z/m(i) обозначается через N(i) и
называется тейтовской подкруткой N на номер i. Категория E_X
является естественным образом полной точной тензорной подкатегорией
в F_X, состоящей из всех объектов, сосредоточенных в компоненте
фильтрации номер 0.
Пусть f: Y\to X -- морфизм гладких многообразий над полем K. Тогда
функтор обратного образа f^* на этальных пучках отображает категорию
E_X в E_Y и является точным функтором между этими точными категориями
(как и между абелевыми категориями произвольных конструктивных пучков
на X и Y). Поэтому имеется индуцированный точный функтор
f^*: F_X\to F_Y. Он переводит объекты Тейта Z/m(i) над X
в аналогичные объекты Z/m(i) над Y и коммутирует с тензорным
произведением в F_X и F_Y.
Пусть f: Y\to X -- квазиконечный морфизм гладких многообразий над K.
Тогда функтор прямого образа с компактным носителем f_! на этальных
пучках Z/m-модулей (сохраняет конструктивность и) точен. Для любого
этального пучка Z/m-модулей N на Y слой пучка f_!N над точкой x из X
изоморфен прямой сумме прямых образов слоев пучка N над точками y из
Y, такими что f(y)=x, при конечных морфизмах спектров полей x\to y.
На уровне дискретных модулей над абсолютными группами Галуа полей K_x
и K_y, прямой образ есть индуцирование с открытой подгруппы G_K_y
проконечной группы G_K_x. Поэтому функтор f_! отображает E_Y в E_X
и является точным функтором между этими точными категориями. Функтор
f_! коммутирует с подкруткой на локально постоянные пучки, поднятые
с X. Поэтому имеется индуцированный точный функтор f_!: F_Y\to F_X,
коммутирующий с тейтовскими подкрутками.
Для любого этального морфизма гладких многообразий f: Y\to X, функтор
f_!: F_Y \to F_X сопряжен слева к функтору f^*: F_X \to F_Y. Для
любого конечного морфизма гладких многообразий f: Y\to X, функтор
f_!: F_Y \to F_X сопряжен справа к функтору f^*: F_X\to F_Y.
Для любых квазиконечных морфизмов гладких многообразий f: Y\to X,
функторы f_! и f^* между точными категориями F_X и F_Y удовлетворяют
формуле проекции по отношению к тензорным произведениям, а также
коммутируют между собой в ситуации замены базы.
Лемма 1: любая пара сопряженных точных функторов между точными
категориями индуцирует пару сопряженных триангулированных функторов
между их (ограниченными или неограниченными) производными категориями.
(Это следствие аналогичного результата для сопряженных функторов
между триангулированными категориями, переводящих выбранные в них
толстые подкатегории одну в другую, и соответствующих локализаций.)
Для любого квазиконечного морфизма многообразий f: Y\to X, где X
гладко, когомологическим мотивом Y над X с компактным носителем
называется объект M_cс(Y) = f_! Z/m в точной подкатегории E_X в F_X.
Для любого квазиконечного морфизма многообразий f: Y\to X, где X
гладко, и замкнутого подмногообразия Z в Y имеется короткая точная
последовательность M_cc(Y\Z) \to M_cc(Y) \to M_cc(Z) в E_X\sub F_X.
Для любого квазиконечного морфизма гладких многообразий f: Y\to X,
гомологическим мотивом Y над X называется объект M_h(Y) =
f_! Z/m (dim Y/X)[2dim Y/X] в ограниченной производной категории
D^b(F_X), где dim Y/X = dim Y - dim X. Для любого квазиконечного
морфизма гладких многообразий Y\to X и гладкого замкнутого
подмногообразия Z в Y имеется выделенный треугольник М_h(Y\Z)\to
M_h(Y)\to M_h(Z)(c)[2c]\to в D^b(F_X), где c -- коразмерность Z в Y.
Если Y'\to X и Y''\to X -- два квазиконечных морфизма в гладкое
многообразие X и Y = Y'\times_X Y'', то M_cc(Y) = M_cc(Y') \ot
M_cc(Y'') в E_X\sub F_X. Если Y'\to X и Y''\to X -- два
квазиконечных морфизма гладких многообразий с трансверсальными
особенностями, т.е. многообразие Y = Y'\times_X Y'' гладко и dim Y/X
= dim Y'/X + dim Y''/X, то M_h(Y) = M_h(Y') \ot M_h(Y'') в D^b(F_X).
Гипотеза. Для любого квазиконечного морфизма гладких многообразий
Y\to X имеется естественный изоморфизм между Z/m-модулями
Hom_{D^b(F_Y)}(Z/m,Z/m(i)[j]) и Hom_{D^b(F_X)}^(M_h(Y),Z/m(i)[j]).
Лемма 2: точная категория E_X порождена объектами M_cc(Y), где Y --
многообразия, конечные и этальные над локально замкнутыми гладкими
подмногообразиями X, с помощью расширений. Точная категория F_X
порождена объектами M_cc(Y)(i), где Y как выше, а i\in Z.
Доказательство проводится с помощью нетеровой индукции по замкнутым
подмногообразиям X. Ключевой шаг состоит в том, что если имеется
lisse этальный N пучок Z/m-модулей на гладком многообразии U, такой
что соответствующий модуль над абсолютной группой Галуа общей точки
U является перестановочным с коэффициентами в Z/m, то пучок N
является прямым образом Z/m при конечном этальном морфизме в U.
Здесь полезно иметь в виду, что отображения этальных фундаментальных
групп, индуцированные открытыми вложениями связных гладких
многообразий, сюръективны, поскольку открытое подмногообразие
связного гладкого многообразия связно. После этого остается
использовать точные последовательности этальных пучков, связанные
с продолжением нулем с открытого вложения. Второе утверждение
следует из первого очевидным образом.
Лемма 3: точная категория E_X порождена объектами M_cc(Y), где Y --
этальные многообразия над X, с помощью расширений и перехода
к коядрам допустимых мономорфизмов. Кроме того, всякий объект
из E_X является образом допустимого эпиморфизма из объекта M_cc(Y),
где Y этально над X.
Доказательство: первое утверждение следует из того, что произвольный
этальный морфизм в локально замкнутое подмногообразие U в X можно
вложить в этальный морфизм в X, возможно, после перехода к открытому
подмногообразию в X, содержащему общую точку U. Конструкция
гензелизации локального кольца общей точки U в X обеспечивает
существование такого вложения. Чтобы доказать второе утверждение,
нужно, в дополнение к этому, отождествить абсолютную группу Галуа
схемной точки X с этальной фундаментальной группой гензелизации
ее локального кольца, и снова приблизить гензелизацию этальным
морфизмом и использовать нетерову индукцию.
Лемма 4: точная категория E_X порождена объектами M_cc(Y), где Y --
конечные многообразия над X, с помощью расширений и перехода
к коядрам допустимых эпиморфизмов.
Доказательство: использовать основную теорему Зарисского (Zariski
main theorem) в форме Гротендика (кажется, так она называется),
утверждающую, что всякий квазиконечный морфизм (при подходящих
предположениях, например для многообразий над полем) есть композиция
открытого вложения и конечного морфизма.
Интересно было бы знать, порождается ли точная категория E_X
объектами M_cc(Y), где Y -- гладкие многообразия, конечные над X.
Это позволило бы, по крайней мере, в принципе, вычислять Z/m-модули
Ext в точных категориях E_X и F_X в терминах модулей Ext между
объектами Тейта, пользуясь сопряженностями функторов f^* и f_!
(см. выше). Проблема в том, будет ли промежуточное многообразие,
через которое факторизуется отображение в основной теореме
Зарисского, гладким. Является ли всякий этальный морфизм композицией
открытого вложения и конечного морфизма, где промежуточное
многообразие гладко? Нормализация позволяет убрать особенности
в коразмерности 1, но, кажется, этого мало.
2. Комплексы, вычисляющие Ext в точных категориях
Теорема. Зафиксируем коммутативное кольцо k. Утверждается, что
любым двум объектам X, Y любой малой k-линейной точной категории E
можно сопоставить гомотопически проективный комплекс проективных
k-модулей C_E(X,Y) со следующими свойствами
0) Любому морфизму f: X -> Y в точной категории E соответствует
коцикл c(f) cтепени 0 в C_E(X,Y).
1) Тройке объектов X, Y, Z в E соответствует отображение
композиции C_E(Y,Z)\ot_K C_E(X,Y) \to C_E(X,Z). Эти умножения
ассоциативны, коциклы c(id_X) являются для них единичными
элементами, композиции с(f)c(g) равны с(fg).
В частности, из 0 и 1 следует контравариантная функториальность
C_E(X,Y) по X и ковариантная по Y.
2) Точному k-линейному функтору между точными категориями
\gamma: E\to F сопоставлены морфизмы комплексов C_E(X,Y) \to
C_F(\gamma(X),\gamma(Y)), согласованные со структурами 0-1.
3) Имеются изоморфизмы между когомологиями комплексов C_E(X,Y)
и k-модулями Ext по Ионеде между X и Y в E, согласованные
со структурами 0-2.
4) Трехчленные последовательности комплексов C_E(X,Y),
соответствующие точным тройкам по любому из аргументов X, Y,
рассматриваемые как бикомплексы с тремя строками, имеют ацикличные
тотальные комплексы.
Доказательство. Рассмотрим прежде всего простой случай, когда k
является полем. Тогда достаточно рассмотреть DG-категорию
(ограниченных или неограниченных) комплексов над E и ее полную
DG-подкатегорию ацикличных комплексов. Локализация Дринфельда
этой k-линейной DG-категории по этой DG-подкатегории является
k-линейной DG-категорией, в которую естественно отображается
k-линейная категория E. Комплексы морфизмов между объектами X, Y
из E в этой DG-категории суть желаемые комплексы C_E(X,Y).
В случае произвольного кольца k, прежде чем применять конструкцию
локализации Дринфельда, мы применим к DG-категории комплексов над E
следующую конструкцию функториальной k-проективной резольвенты.
Лемма. Существует функтор P из категории комплексов k-модулей
в категорию гомотопически проективных комплексов проективных
k-модулей со следующими свойствами. Функтор P снабжен естественными
преобразованиями A \to P(A) \to A для любого комплекса k-модулей A.
При этом отображение P(A) \to A является квазиизоморфизмом комплексов
k-модулей, а A \to P(A) -- отображение градуированных множеств,
переводящее нулевые элементы в нулевые элементы и коммутирующее
с дифференциалом (но не сохраняющее ни сложение, ни умножение
на константы из k). Композиция A \to P(A) \to A есть тождественное
отображение.
Функтор P является псевдотензорным, т.е. для любых комплексов
k-модулей A и B имеется естественное отображение P(A)\ot_k P(B)
\to P(A\ot_k B), согласованное с констрейнтами ассоциативности
и (градуированной) коммутативности в тензорной категории комплексов.
Далее, имеется морфизм комплексов k-модулей k \to P(k), являющийся
псевдоединицей псевдотензорного функтора P. Таким образом,
в частности, функтор P преобразует DG-алгебры над k в DG-алгебры и
k-линейные DG-категории в DG-категории. Отображения сечения
A\to P(A) и проекции P(A)\to A являются мультипликативными
относительно этой псевдотензорной структуры. Образ элемента 1\in k
при этом отображении псевдоединицы k\to P(k) совпадает с образом
того же элемента при отображении сечения k\to P(k).
Отметим, что альтернативный способ построить по DG-алгебре A
квази-изоморфно отображающуюся в нее DG-алгебру F(A), являющуюся
гомотопически проективным комплексом проективных k-модулей, состоит
в том, чтобы построить функториальную кофибрантную резольвенту A
в категории DG-алгебр над k. При этом для морфизма DG-алгебр F(A)
\to A можно построить естественное сечение A\to F(A). Однако, такое
сечение не будет мультипликативным. Эту проблему решает изложенная
ниже конструкция функтора P (производящего по DG-алгебре A
DG-алгебру P(A), кофибрантную как комплекс k-модулей, но не как
DG-алгебра над k).
Доказательство Леммы. Чтобы убедиться, что подобная конструкция
вообще возможна, рассмотрим сначала простой случай, когда кольцо k
содержит какое-то поле f. Тогда за P(A) можно взять (приведенную
или нет) бар-конструкцию A над k относительно f. Желаемая
псевдотензорная структура задается операцией shuffle product
на бар-конструкциях. Отображение сечения в этом случае даже
аддитивно и f-линейно, но не k-линейно.
В общем случае, функтор P переводит k-модуль M в его проективную
резольвенту, нулевым членом которой является k-модуль, свободно
порожденный всеми элементами M, профакторизованный по подмодулю k,
натянутому на образующую, соответствующую нулевому элементу M.
Эта процедура итерируется, чтобы получить всю резольвенту.
Комплексу k-модулей A сопоставляется тотальный комплекс бикомплекса,
составленного из вышеописанных комплексов, соответствующих членам
комплекса A. Тотальный комплекс строится с помощью взятия
бесконечных прямых сумм вдоль диагоналей. Ключевой шаг состоит
в построении псевдотензорной структуры на таком функторе P.
Формально, для любого комплекса k-модулей A определим члены
бикомплекса P^{ij}(A) индукцией по i. k-модуль P^{0j}(A) свободно
порожден символами [a], где a\in A^j, с соотношением [0]=0.
Отображение \pi: P^{0j}(A)\to A переводит [a] в a. Для любого i>0,
определим по индукции k-модуль P^{ij}(A) вместе с дифференциалом \d,
бьющим из него в Р^{i-1,j}(A). Модуль P^{ij}(A) порожден символами
{p}, где p\in P^{i-1,j}(A) и \d(p)=0 (если i>1) или \pi(p)=0
(если i=1), с соотношением {0}=0. Дифференциал \d определен
правилом \d{p}=p и \d[a]=0.
Четность |p| элемента p\in P^{ij}(A) равна i+j (отметим, что { } --
нечетная операция). Дифференциал d на P(A) определяется по индукции
в терминах дифференциала d на A по правилом d[a]=[da] и d{p}={-dp}.
Наконец, псевдотензорная структура определяется по индукции правилами
{p}x{q} = { px{q} + (-1)^|p|{p}xq }, {p}x[a] = {px[a]},
[a]x{q} = {(-1)^|a|[a]xq}, и [a]x[b]=[ab]. Отображение проекции
\pi: P(A)\to A продолжается на весь комплекс P(A) правилом
\pi({p})=0. Отображение сечения s: A\to P(A) определяется правилом
s(a)=[a]. Отображение псевдоединицы e: k\to P(k) определяется
правилом e(1)=[1]. QED
3. Топология Нисневича: выделенные пары, слои
Пусть M и N -- два объекта точной категории F_X, где X -- гладкое
многообразие над K. Каждому этальному морфизму многообразий f: Y\to X
сопоставим комплекс Z/m-модулей С_{M,N}(Y) = C_{F_Y}(f^*M, f^*N),
вычисляющий Z/m-модули Ext в точной категории F_Y между объектами
f^*M и f^*N (см. п.2). Отображение Y \maps C_{M,N}(Y) является
комплексом предпучков на категории многообразий, этальных над X.
Выделенной парой (в топологии Нисневича) [MVW] называется пара
морфизмов U\to Y и Z\to Y, где U\to Y -- открытое вложение, а Z\to Y
-- этальный морфизм, являющийся изоморфизмом над Y\U.
Лемма 1. Пусть j: U\to Y и g: Z\to Y -- выделенная пара морфизмов
многообразий, этальных над X. Тогда тотальный комплекс бикомплекса
с тремя строками C_{M,N}(Y) \to C_{M,N}(U)\oplus C_{M,N}(Z)
\to С_{M,N}(U\times_Y Z) ацикличен.
Доказательство. Для любого этального морфизма g: Z\to Y многообразий,
этальных над X, композиция естественных отображений комплексов
С_{F_Y}(g_!g^*f^*M, f^*N) \to C_{F_Z}(g^*g_!g^*f^*M, g^*f^*N) \to
C_{F_Z}(g^*f^*M, g^*f^*N)
после перехода к когомологиям превращается в изоморфизм сопряжения
для Ext, связанный с парой точных функторов g^* и g_! между точными
категориями F_Y и F_Z, и парой объектов g^*f^*M и f^*N
(см. Лемму 1.1). Поэтому эта композиция является квазиизоморфизмом,
и интересующий нас бикомплекс квазиизоморфен бикомплексу
С_{F_Y}(f^*M, f^*N) \to C_{F_Y}(j_!j^*f^*M, f^*N) \oplus
C_{F_Y}(g_!g^*f^*M, f^*N) \to C_{F_Y}(h_!h^*f^*M, f^*N),
где h обозначает морфизм U\times_Y Z \to Y. Точность тотального
комплекса последнего бикомплекса следует из точности тройки
h_!h^*f^*M \to g^!g^*f^*M \oplus j_!j^*f^*M \to M
в точной категории F_Y. QED
Пусть H -- спектр гензелизации локального кольца схемной точки
гладкого многообразия над полем K. Так же, как для гладких
многообразий над K, для схемы H можно определить точную категорию
этальных пучков E_H и точную категорию фильтрованных этальных
пучков F_H. Для любого морфизма из H в гладкое многообразие Y над K
имеется точный функтор обратного образа F_Y\to F_H.
Пусть, как выше, M и N -- объекты категории F_X для некоторого
гладкого многообразия X над K. Для любого морфизма из H в X,
обозначим через C_{M,N}(H) комплекс, вычисляющий Ext в точной
категории F_H между обратными образами объектов M и N.
Лемма 2. Пусть у -- схемная точка многообразия Y, этального над X,
и пусть h_y: H_y\to Y -- соответствующий морфизм в Y из гензелевой
локальной схемы H_y. Тогда естественное отображение комплексов
Z/m-модулей (h_y^*C_{M,N})(H_y) \to C_{M,N}(H_y), где h_y^*С_{M,N}
обозначает обратный образ комплекса предпучков C_{M,N} при
отображении между категориями этальных морфизмов в H_y и Y,
связанном с морфизмом схем h_y, является квазиизоморфизмом.
Доказательство. Комплекс (h_y^*C_{M,N})(H_y) есть направленный
индуктивный предел комплексов C_{M,N}(Z) по всем многообразиям Z,
этальным над Y и снабженным подъемом H_y\to Z морфизма H_y\to Y.
Проективным пределом таких многообразий Z в категории схем является
схема H_y. Более того, абелева категория конструктивных пучков
Z/m-модулей над H_y эквивалентна индуктивному пределу абелевых
категорий конструктивных пучков Z/m-модулей над многообразиями Z
(относительно функторов обратного образа).
Далее, на направленном индуктивном пределе точных категорий есть
естественная структура точной категории. Индуктивные пределы точных
категорий E_Z и F_Z эквивалентны точным категориям E_{H_y} и F_{H_y},
соответственно. Наконец, операция направленного индуктивного предела
точных категорий согласована с переходом к группам Ext. QED
Лемма 3. Пусть H -- спектр гензелизации локального кольца схемной
точки гладкого многообразия над полем K, и пусть i:\eta \to H --
замкнутая точка H. Пусть M и N -- объекты категории F_H, причем
присоединенные факторы объекта M по фильтрации F суть локально
постоянные этальные пучки на H. Тогда естественное отображение
С_{F_H}(M,N) \to C_{F_\eta}(i^*M, i^*N) является квазиизоморфизмом
комплексов Z/m-модулей.
Доказательство. Функтор i^*, ограниченный на полную точную
подкатегорию F_H, состоящую из объектов с локально постоянными
присоединенными факторами, является эквивалентностью точных
категорий. Вложение точных категорий F_\eta \to F_H, обратное
к этой эквивалентности, сопряжено слева к функтору i^*.
Убедиться в этом можно так: рассмотрим сайт G конечных этальных
морфизмов в H (с очевидной топологией). Этальный сайт H отображается
в сайт G естественным образом (направление отображения сайтов
противоположно направлению отображения категорий). Категория
конструктивных пучков на G эквивалентна категории локально постоянных
конструктивных пучков на H. При этом функтор обратного образа при
нашем отображении сайтов есть функтор вложения локально постоянных
пучков в произвольные конструктивные, а функтор прямого образа
отождествляется с функтором i^*.
Сопряженность точных функторов между абелевыми категориями этальных
пучков, отображающих категории E_H и E_\eta одну в другую и точных
на этих точных категориях, влечет сопряженность точных функторов
между точными категориями F_H и F_\eta. Остается применить
Лемму 1.1. QED
Заметим, что утверждения Лемм 1-3 применимы также к комплексам,
вычисляющим Z/m-модули Ext в абелевых категориях конструктивных
пучков на гладких многообразиях X, вместо точных категорий F_X
(и комплексам предпучков, составленным из этих комплексов).
4. Гиперкогомологии и производный прямой образ
http://posic.livejournal.com/501499.html
http://posic.livejournal.com/515693.html
5. Заключение и выводы
Теорема. Следующие два свойства поля K эквивалентны.
1) Для любого расширения полей K'/K естественные отображения
Ext_{F_K'}^i(M,N(j)) \to Ext_{Et_K'}^i(M,N(j))
являются изоморфизмами для всех M, N из E_{K'} и i\le j (где Et_K'
обозначает абелеву категорию конструктивных этальных пучков
Z/m-модулей над спектром K', а F_K' обозначает категорию
фильтрованных этальных пучков, соответствующую спектру поля K',
рассматриваемому как гладкое многообразие над K'.
2) Существуют естественные изоморфизмы
Ext_{F_X}^i(Z/m,Z/m(j)) \to H^i_Nis(X,\tau_{\le j}
R\pi_*\mu_m^{\ot j})
для всех гладких многообразий X над K, где \pi -- отображение из
большого этального сайта в большой сайт Нисневича, со следующими
свойствами. Во-первых, эти отображения согласованы с отображениями
обратного образа/ограничения, связанными с морфизмами многообразий
X. Во-вторых, композиции этих отображений с отображениями
гиперкогомологий Нисневича, индуцированными морфизмами
\tau_{\le j}R\pi_*\mu_m^{\ot j} \to R\pi_*\mu_m^{\ot j},
совпадают с морфизмами
Ext_{F_X}^i(Z/m,Z/m(j)) \to H^i_et(X,\mu_m^{\ot j}),
индуцированными точными функторами F_X\to Et_X.
Заметим, что в случае, когда поле K содержит первообразный корень
степени m из единицы, условие 1) эквивалентно кошулевости
больших градуированных алгебр диагональных Ext-ов между мотивами
Артина-Тейта, связанных с полями K'/K (см. [artin-tate]).
Доказательство. Импликация 2) => 1) для M = N = Z/m получается
представлением спектра K' в виде (чисто несепарабельного расширения)
направленного проективного предела гладких многообразий над K
и переходом к соответствующему прямому пределу Z/m-модулей Ext.
Заметим, что Ext_{F_K'}^i(M,N(j)) = 0 для всех M, N из E_{K'} и
i\le j в силу [artin-tate, 6.1]. Случай произвольных M, N выводится
с помощью Леммы 1.1 и сопряженностей функторов f_! и f^* для
конечных этальных морфизмов спектров полей.
Докажем импликацию 1) => 2). Рассмотрим комплекс предпучков
C_{Z/m,Z/m(j)} на категории гладких многообразий над K (см. п.3).
Он отображается в комплекс предпучков C_{Z/m,\mu_m^{\ot j}},
построенный по категориям конструктивных этальных пучков на
многообразиях. Согласно Леммам 3.2-3.3 и условию 1), это
отображение индуцирует квази-изоморфизм слоев комплекса
предпучков C_{Z/m,Z/m(j)} и канонического обрезания
\tau_{\le j} C_{Z/m,\mu_m^{\ot j}} в гензелизациях локальных колец
схемных точек гладких многообразий над K. Следовательно имеется
квази-изоморфизм пучковизаций Нисневича C_{Z/m,Z/m(j)}_Nis и
\tau_{\le j} C_{Z/m,\mu_m^{\ot j}}_Nis. Согласно Лемме 4.2,
комплекс пучков Нисневича C_{Z/m,\mu_m^{\ot j}}_Nis представляет
R\pi_*\mu_m^{\ot j}. Согласно Леммам 3.1 и 4.1, гиперкогомологии
Нисневича гладкого многообразия X с коэффициентами
в C_{Z/m,Z/m(j)}_Nis изоморфны Z/m-модулям Ext_{F_X}^*(Z/m,Z/m(j)).
Остается убедиться в согласованности этих отождествлений
с отображениями ограничения при морфизмах гладких многообразий.
Отметим, что согласно тем же Леммам, гиперкогомологии Нисневича
X с коэффициентами в C_{Z/m,\mu_m^{\ot j}}_Nis изоморфны
Z/m-модулям Ext_{Et_X}^*(Z/m,\mu_m^{\ot j}).
