![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posic1. Пусть P -- комплекс предпучков абелевых групп на категории схем, этальных над фиксированным гладким алгебраическим многообразием X над полем F. Тогда существует естественное отображение из когомологий HP(X) комплекса P(X) в гиперкогомологии Нисневича HNis(X,PNis) пучковизации Нисневича PNis комплекса предпучков P.
2. Выделенная пара -- это покрытие схемы Y ее открытой подсхемой U и этальным морфизмом Z → Y, таким что полный прообраз Y\U в Z изоморфно отображается на Y\U. Предположим, что комплекс предпучков P обладает тем свойством, что для любой (этальной над X) выделенной пары тотальный комплекс бикомплекса с тремя строками P(Y) → P(U)⊕P(Z) → P(U×YZ) ацикличен. Тогда отображение HP(X) → HNis(X,PNis) -- изоморфизм. Мне важен частный случай, когда предпучки когомологий комплекса предпучков P ограничены снизу.
Набросок доказательства.
Пусть PreSh обозначает абелеву категорию предпучков на малом сайте X и ShNis обозначает абелеву категорию пучков Нисневича на малом сайте X. Тогда имеется функтор пучковизации D(PreSh) → D(ShNis). Этот функтор имеет правый сопряженный функтор J, например, в силу теоремы представимости Брауна: D(PreSh) компактно порождена предпучками ZY, свободно натянутыми как предпучки абелевых групп на представимые предпучки множеств, и функтор пучковизации сохраняет бесконечные прямые суммы.
Функтор J можно построить явно: для ограниченного снизу комплекса пучков, достаточно выбрать его инъективную пучковую резольвенту и рассмотреть ее как комплекс предпучков. Для неограниченного комплекса пучков, нужно использовать гомотопически инъективную резольвенту (как теперь известно, такие резольвенты существуют для комплексов в любой абелевой категории Гротендика).
Тогда для любого комплекса предпучков P имеется морфизм сопряжения P → J(PNis). Индуцированный морфизм комплексов сечений P(X) → J(PNis)(X) вычисляет интересующий нас морфизм когомологий HP(X) → HNis(PNis). Это доказывает пункт 1; чтобы доказать пункт 2, достаточно убедиться, что морфизм P → J(PNis) является квазиизоморфизмом комплексов предпучков, когда комплекс предпучков P удовлетворяет выписанному условию относительно выделенных пар.
Тотальный комплекс бикомплекса с тремя строками, входящий в это условие, есть комплекс морфизмов из комплекса предпучков ZU×YZ → ZU⊕ZZ → ZY в комплекс предпучков P. Объекты ZY являются проективными предпучками, так что этот тотальный комплекс вычисляет также Hom в производной категории D(PreSh). Предпучок ZY переводится функтором пучковизации в продолжение нулем постоянного предпучка Z с Y на X, а весь этот трехчленный комплекс предпучков переводится функтором пучковизации в ноль. Конус Q морфизма сопряжения P → J(PNis) ортогонален справа всем таким трехчленным комплексам предпучков, поскольку им ортогональны оба комплекса предпучков P и J(PNis). Кроме того, Q переводится функтором пучковизации в ацикличный комплекс пучков Нисневича. Нам нужно вывести из этого, что Q является ацикличным комплексом предпучков.
Будем предполагать, что Q принадлежит D+(PreSh) (это верно, если P принадлежит D+(PreSh)). Тогда его можно заменить на квазиизоморфный и считать ограниченным снизу, как комплекс предпучков. Пусть, скажем, Q начинается с Q0. Достаточно доказать, что морфизм предпучков Q0 → Q1 инъективен. Пусть имеется элемент s в Q0(Y), аннулируемый дифференциалом, бьющим в Q1. Тогда элемент s переходит также в ноль при отображении Q0(Y) → Q0Nis(Y), поскольку иначе комплекс пучков QNis не был бы ацикличен.
Рассмотрим покрытие Нисневича схемы Y, ограничение на которое аннулирует сечение s. Выберем стратификацию Y локально замкнутыми подсхемами, над каждой из которых наше покрытие имеет сечение. Будем выбрасывать по одному замкнутые страты из этого покрытия, пока не найдем открытую подсхему Y' в Y, над которой сечение s еще ненулевое, но над дополнением к одному из замкнутых стратов в Y' -- уже нулевое; заменим Y на Y' и s на его ограничение на Y'. Пусть U -- описанное выше дополнение к замкнутому страту в новом Y. Рассмотрим полный прообраз Y\U в нашем покрытии Нисневича; в нем есть связная компонента, изоморфно отображающаяся на Y\U. Выбросим все остальные связные компоненты этого прообраза из покрытия. Обозначим получившееся покрытие через Z. Тогда U и Z -- выделенная пара над Y.
Тогда сечение s представляет ненулевой класс когомологий бикомплекса, связанного с этой выделенной парой и комплексом предпучков Q. Полученное противоречие доказывает, что сечение s было равно нулю с самого начала.
2. Выделенная пара -- это покрытие схемы Y ее открытой подсхемой U и этальным морфизмом Z → Y, таким что полный прообраз Y\U в Z изоморфно отображается на Y\U. Предположим, что комплекс предпучков P обладает тем свойством, что для любой (этальной над X) выделенной пары тотальный комплекс бикомплекса с тремя строками P(Y) → P(U)⊕P(Z) → P(U×YZ) ацикличен. Тогда отображение HP(X) → HNis(X,PNis) -- изоморфизм. Мне важен частный случай, когда предпучки когомологий комплекса предпучков P ограничены снизу.
Набросок доказательства.
Пусть PreSh обозначает абелеву категорию предпучков на малом сайте X и ShNis обозначает абелеву категорию пучков Нисневича на малом сайте X. Тогда имеется функтор пучковизации D(PreSh) → D(ShNis). Этот функтор имеет правый сопряженный функтор J, например, в силу теоремы представимости Брауна: D(PreSh) компактно порождена предпучками ZY, свободно натянутыми как предпучки абелевых групп на представимые предпучки множеств, и функтор пучковизации сохраняет бесконечные прямые суммы.
Функтор J можно построить явно: для ограниченного снизу комплекса пучков, достаточно выбрать его инъективную пучковую резольвенту и рассмотреть ее как комплекс предпучков. Для неограниченного комплекса пучков, нужно использовать гомотопически инъективную резольвенту (как теперь известно, такие резольвенты существуют для комплексов в любой абелевой категории Гротендика).
Тогда для любого комплекса предпучков P имеется морфизм сопряжения P → J(PNis). Индуцированный морфизм комплексов сечений P(X) → J(PNis)(X) вычисляет интересующий нас морфизм когомологий HP(X) → HNis(PNis). Это доказывает пункт 1; чтобы доказать пункт 2, достаточно убедиться, что морфизм P → J(PNis) является квазиизоморфизмом комплексов предпучков, когда комплекс предпучков P удовлетворяет выписанному условию относительно выделенных пар.
Тотальный комплекс бикомплекса с тремя строками, входящий в это условие, есть комплекс морфизмов из комплекса предпучков ZU×YZ → ZU⊕ZZ → ZY в комплекс предпучков P. Объекты ZY являются проективными предпучками, так что этот тотальный комплекс вычисляет также Hom в производной категории D(PreSh). Предпучок ZY переводится функтором пучковизации в продолжение нулем постоянного предпучка Z с Y на X, а весь этот трехчленный комплекс предпучков переводится функтором пучковизации в ноль. Конус Q морфизма сопряжения P → J(PNis) ортогонален справа всем таким трехчленным комплексам предпучков, поскольку им ортогональны оба комплекса предпучков P и J(PNis). Кроме того, Q переводится функтором пучковизации в ацикличный комплекс пучков Нисневича. Нам нужно вывести из этого, что Q является ацикличным комплексом предпучков.
Будем предполагать, что Q принадлежит D+(PreSh) (это верно, если P принадлежит D+(PreSh)). Тогда его можно заменить на квазиизоморфный и считать ограниченным снизу, как комплекс предпучков. Пусть, скажем, Q начинается с Q0. Достаточно доказать, что морфизм предпучков Q0 → Q1 инъективен. Пусть имеется элемент s в Q0(Y), аннулируемый дифференциалом, бьющим в Q1. Тогда элемент s переходит также в ноль при отображении Q0(Y) → Q0Nis(Y), поскольку иначе комплекс пучков QNis не был бы ацикличен.
Рассмотрим покрытие Нисневича схемы Y, ограничение на которое аннулирует сечение s. Выберем стратификацию Y локально замкнутыми подсхемами, над каждой из которых наше покрытие имеет сечение. Будем выбрасывать по одному замкнутые страты из этого покрытия, пока не найдем открытую подсхему Y' в Y, над которой сечение s еще ненулевое, но над дополнением к одному из замкнутых стратов в Y' -- уже нулевое; заменим Y на Y' и s на его ограничение на Y'. Пусть U -- описанное выше дополнение к замкнутому страту в новом Y. Рассмотрим полный прообраз Y\U в нашем покрытии Нисневича; в нем есть связная компонента, изоморфно отображающаяся на Y\U. Выбросим все остальные связные компоненты этого прообраза из покрытия. Обозначим получившееся покрытие через Z. Тогда U и Z -- выделенная пара над Y.
Тогда сечение s представляет ненулевой класс когомологий бикомплекса, связанного с этой выделенной парой и комплексом предпучков Q. Полученное противоречие доказывает, что сечение s было равно нулю с самого начала.
