![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicНа категории пучков на сайте Зарисского спектра локального кольца функтор глобальных сечений точен, поскольку совпадает с функтором слоя над замкнутой точкой. (Аналогично, для сайта Зарисского целостной схемы, функтор прямого образа при вложении общей точки точен, поскольку совпадает с функтором обратного образа при проекции в точку.) Т.е. между пучками на этом сайте и векторными пространствами есть два сопряженных точных функтора, композиция которых в одну сторону тождественна. Как бы поднять эту картину на этальный сайт?
Рассмотрим, наряду с этальным сайтом регулярного локального кольца, сайт, образованный всеми конечными (т.е. собственными) этальными морфизмами в его спектр (т.е. попросту сайт конечных множеств с действием этальной фундаментальной группы локального кольца). Из этального сайта в этот сайт конечных этальных морфизмов имеется отображение (отображение сайтов бьет в противоположную сторону по сравнению с отображением категорий, как водится).
Будет ли функтор прямого образа при этом морфизме сайтов точен? Будет ли композиция, при которой к пучку сначала применяется обратный образ, а потом прямой, тождественным функтором? Будет ли этот прямой образ коммутировать с обратным образом из топологии Зарисского в этальную?
Вот зачем это нужно. Пусть точная категория A -- "деформационный ретракт" точной категории B, т.е. имеется пара точных функторов A → B и B → A, таких что композиция A → B → A -- тождественный функтор, а композиция B → A → B связана с тождественным эндофунктором B морфизмом функторов, композиция которого с функтором A → B тождественна. В частности, достаточно иметь пару сопряженных точных функторов с тождественной композицией в одну сторону. Тогда функтор A → B индуцирует изоморфизм на группах Ext.
Хотелось бы применить это к случаю, когда A есть точная категория фильтрованных модулей над этальной фундаментальной группой регулярного локального кольца с циклотомическими присоединенными факторами, а B есть точная категория фильтрованных этальных пучков на его спектре с присоединенными факторами, получающимися подкруткой пучков, поднятых с сайта Зарисского, на циклотомические этальные пучки.
Все это мыслится как способ установить связь между гипотезой о тейтовских мотивных пучках в случае спектра регулярного локального кольца и кошулевостью в том же случае.
Рассмотрим, наряду с этальным сайтом регулярного локального кольца, сайт, образованный всеми конечными (т.е. собственными) этальными морфизмами в его спектр (т.е. попросту сайт конечных множеств с действием этальной фундаментальной группы локального кольца). Из этального сайта в этот сайт конечных этальных морфизмов имеется отображение (отображение сайтов бьет в противоположную сторону по сравнению с отображением категорий, как водится).
Будет ли функтор прямого образа при этом морфизме сайтов точен? Будет ли композиция, при которой к пучку сначала применяется обратный образ, а потом прямой, тождественным функтором? Будет ли этот прямой образ коммутировать с обратным образом из топологии Зарисского в этальную?
Вот зачем это нужно. Пусть точная категория A -- "деформационный ретракт" точной категории B, т.е. имеется пара точных функторов A → B и B → A, таких что композиция A → B → A -- тождественный функтор, а композиция B → A → B связана с тождественным эндофунктором B морфизмом функторов, композиция которого с функтором A → B тождественна. В частности, достаточно иметь пару сопряженных точных функторов с тождественной композицией в одну сторону. Тогда функтор A → B индуцирует изоморфизм на группах Ext.
Хотелось бы применить это к случаю, когда A есть точная категория фильтрованных модулей над этальной фундаментальной группой регулярного локального кольца с циклотомическими присоединенными факторами, а B есть точная категория фильтрованных этальных пучков на его спектре с присоединенными факторами, получающимися подкруткой пучков, поднятых с сайта Зарисского, на циклотомические этальные пучки.
Все это мыслится как способ установить связь между гипотезой о тейтовских мотивных пучках в случае спектра регулярного локального кольца и кошулевостью в том же случае.
