Кофибрантные DG-алгебры и ретракции
Sep. 25th, 2010 03:23 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicОшибка нашлась в моих рассуждениях -- кажется, не слишком существенная (леммы становятся чуть слабее, теоремы остаются как были). Но тем не менее.
Мораль, видимо вот какая -- рассуждая о кофибрантных DG-алгебрах, сталкиваешься с тем, что все-таки не все утверждения о "стандартных" кофибрантных DG-алгебрах k{xn,α} переносятся на произвольные кофибрантные DG-алгебры, являющиеся их ретрактами.
Пусть есть модуль M над кофибрантной DG-алгеброй D; мы хотим что-то там с ним сделать, умея это делать для случая модулей над "стандартной" C, у которой D ретракт. Тогда есть два пути -- можно взять обратный образ M на C, проделать требуемые действия, потом взять снова обратный образ на D. Ну или, наоборот, оба раза брать прямой образ (один из двух прямых образов). Проблема в том, что обратный образ, вообще говоря, сохраняет не все классы модулей, и прямой образ тоже. Если проверяемое утверждение не сохраняется ни прямым, ни обратным образами, становится непонятно, как воспользоваться наличием ретракции.
Вот например, если DG-модуль L над C ацикличен (ну или там коацикличен), почему DG-модуль D⊗CL над D (ко)ацикличен? Или, если DG-модуль L над C проективен в каком-нибудь из смыслов, откуда следует, что он проективен, как DG-модуль над D? В данный момент, по крайней мере, я этого не понимаю.
Мораль, видимо вот какая -- рассуждая о кофибрантных DG-алгебрах, сталкиваешься с тем, что все-таки не все утверждения о "стандартных" кофибрантных DG-алгебрах k{xn,α} переносятся на произвольные кофибрантные DG-алгебры, являющиеся их ретрактами.
Пусть есть модуль M над кофибрантной DG-алгеброй D; мы хотим что-то там с ним сделать, умея это делать для случая модулей над "стандартной" C, у которой D ретракт. Тогда есть два пути -- можно взять обратный образ M на C, проделать требуемые действия, потом взять снова обратный образ на D. Ну или, наоборот, оба раза брать прямой образ (один из двух прямых образов). Проблема в том, что обратный образ, вообще говоря, сохраняет не все классы модулей, и прямой образ тоже. Если проверяемое утверждение не сохраняется ни прямым, ни обратным образами, становится непонятно, как воспользоваться наличием ретракции.
Вот например, если DG-модуль L над C ацикличен (ну или там коацикличен), почему DG-модуль D⊗CL над D (ко)ацикличен? Или, если DG-модуль L над C проективен в каком-нибудь из смыслов, откуда следует, что он проективен, как DG-модуль над D? В данный момент, по крайней мере, я этого не понимаю.
