В Панчишкине-Манине в разделе 3.1.2 написано следующее. Да и вообще весь раздел 3.1 этому вопросу посвещен. (ENT означает elementary number theory)
ENT as a mathematical discipline in principle can not be “self-sufficient”. For every choice of axioms there will always be statements which can be formulated in an elementary way, and which are decidable, but which can not be deduced using only elementary methods (cf. the theorem of Gödel [Gö], discussed in [Man80]). Thus the historical tradition of proving number theoretic facts using analysis (Euler, Jacobi, Dirichlet, Riemann, Hardy, Littlewood, Vinogradov, ...), geometry (Minkowski, Hermit, ...) and generally all possible tools, has deep reasons.
Вопрос не в существовании неразрешимых утверждений вообще, а в существовании естественных или интересных неразрешимых утверждений. Ответ на этот вопрос состоит в целом в том, что такие утверждения попадаются крайне редко.
Другой вопрос в том, что анализ в теории чисел используется не как способ повысить логическую силу теории (тот анализ, который там используется, не требует сильных аксиом), а как способ улучшить и расширить неформальное понимание предмета.
А точно тот анализ не требует аксиом теории множеств. В этом случае не понятно что значит следующий абзай. Надо бы спросить Ю.И. или еще какого-нибудь специалиста.
It happens sometimes that a result admits an elementary formulation, but its elementary proof is not known. For example, the prime number theorem ... can be stated in an elementary way assuming that x runs only through natural numbers, and replacing log x by the sum ... An elementary proof of this theorem was found only in the late 40s by Selberg, cf. [Sel51]while the analytic proof had been known for half a century
Сейчас известны способы построения большей части анализа в очень слабых аксиомах -- намного слабее арифметики Пеано, например. Под элементарным доказательством теоретико-числовой теоремы понимается доказательство, не использующее понятий из анализа, а не доказательство из слабых аксиом.
Ок. Но при этом основная неформальная идея раздела из книжки, как я понял, состоит в том, что некоторые утверждения из элементарной теории чисел не доказываются в ней самой, и поэтому не зря человечество занимается аналитической и алгебраической (уж не знаю причем она тут) теорией чисел.
Ну просто это утверждение можно понимать как бы на разных уровнях. С одной стороны, если вы готовы принять высказывание "ZFC непротиворечива", переписанное положенным образом как утверждение о натуральных числах ("не существует такого натурального n, что доказательство номер n в языке ZFC является доказательством противоречия"), за утверждение из теории чисел -- то да, это утверждение недоказуемо в арифметике Пеано, и даже в ZFC.
С другой стороны, если вас интересуют такие вещи, как распределение простых или теорема Ферма, то без анализа и алгебры люди никогда, или по крайней мере очень долго, не поняли бы про них то, что поняли с помощью анализа и алгебры. Хотя после того, как доказательство, опирающееся на идеи и понятия из анализа и алгебры, получено, трансформация его в логический вывод в арифметике Пеано, или даже в слабых подсистемах арифметики Пеано, может быть достаточно рутинным действием (практическое воплощение которого упирается в основном в отсутствие людей, понимающих одновременно современную матлогику и это доказательство).
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2010-08-25 10:55 am (UTC)ENT as a mathematical discipline in principle can not be “self-sufficient”.
For every choice of axioms there will always be statements which can be
formulated in an elementary way, and which are decidable, but which can
not be deduced using only elementary methods (cf. the theorem of Gödel
[Gö], discussed in [Man80]).
Thus the historical tradition of proving number theoretic facts using analysis
(Euler, Jacobi, Dirichlet, Riemann, Hardy, Littlewood, Vinogradov,
...), geometry (Minkowski, Hermit, ...) and generally all possible tools,
has deep reasons.
no subject
Date: 2010-08-25 12:08 pm (UTC)Другой вопрос в том, что анализ в теории чисел используется не как способ повысить логическую силу теории (тот анализ, который там используется, не требует сильных аксиом), а как способ улучшить и расширить неформальное понимание предмета.
no subject
Date: 2010-08-25 12:33 pm (UTC)no subject
Date: 2010-08-25 12:32 pm (UTC)It happens sometimes that a result admits an elementary formulation, but its elementary proof is not known. For example, the prime number theorem ... can be stated in an elementary way assuming that x runs only through natural numbers, and replacing log x by the sum ... An elementary proof of this theorem was found only in the late 40s by Selberg, cf. [Sel51]while the analytic proof had been known for half a century
no subject
Date: 2010-08-25 12:44 pm (UTC)no subject
Date: 2010-08-25 01:02 pm (UTC)Но при этом основная неформальная идея раздела из книжки, как я понял, состоит в том, что некоторые утверждения из элементарной теории чисел не доказываются в ней самой, и поэтому не зря человечество занимается аналитической и алгебраической (уж не знаю причем она тут) теорией чисел.
no subject
Date: 2010-08-25 01:40 pm (UTC)С другой стороны, если вас интересуют такие вещи, как распределение простых или теорема Ферма, то без анализа и алгебры люди никогда, или по крайней мере очень долго, не поняли бы про них то, что поняли с помощью анализа и алгебры. Хотя после того, как доказательство, опирающееся на идеи и понятия из анализа и алгебры, получено, трансформация его в логический вывод в арифметике Пеано, или даже в слабых подсистемах арифметики Пеано, может быть достаточно рутинным действием (практическое воплощение которого упирается в основном в отсутствие людей, понимающих одновременно современную матлогику и это доказательство).
См. http://en.wikipedia.org/wiki/Grand_conjecture