![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicВо всякой коалгебре над полем есть (единственная) максимальная кополупростая подкоалгебра (т.е. максимальная подкоалгебра, над которой категория комодулей полупроста). Факторкоалгебра (без коединицы) по этой подкоалгебре конильпотентна, а сама эта подкоалгебра единственным образом разлагается в прямую сумму конечномерных копростых коалгебр (т.е. не имеющих нетривиальных собственных подкоалгебр).
Все то же самое верно и для коалгебр, градуированных абелевыми группами. Но согласована ли операция взятия максимальной кополупростой подкоалгебры с забыванием такой градуировки? Я раньше думал, что да, но правильный ответ такой: да, за исключением случая, когда градуирующая группа имеет кручение порядка, равного характеристике основного поля. Вот контрпример: рассмотрим конечномерную Z/p-градуированную алгебру k[x]/(xp-1), где элемент x сидит в градуировке, равной вычету 1 по модулю p = char k. Эта алгебра -- градуированное поле, соответственно, и двойственная к ней конечномерная градуированная коалгебра кополупроста. Но если забыть градуировку, получается алгебра с нильпотентным идеалом аугментации над k.
Доказательство несложно: по существу, нужно доказать, что если в конечномерной градуированной алгебре нет нильпотентных двусторонних однородных идеалов, то нет и неоднородных. Расширим основное поле до его сепарабельного замыкания; как известно, это не приводит к появлению нильпотентных двусторонних идеалов в неградуированных конечномерных алгебрах. Конечномерная алгебра сосредоточена в конечном числе градуировочных компонент, так что можно считать градуирующую группу конечно порожденной. Максимальный нильпотентный двусторонний неоднородный идеал сохраняется всеми автоморфизмами алгебры. В частности, он сохраняется автоморфизмами, связанными с характерами градуирующей группы со значениями в мультипликативной группе поля. Из этого уже следует, что этот идеал на самом деле однородный.
Все то же самое верно и для коалгебр, градуированных абелевыми группами. Но согласована ли операция взятия максимальной кополупростой подкоалгебры с забыванием такой градуировки? Я раньше думал, что да, но правильный ответ такой: да, за исключением случая, когда градуирующая группа имеет кручение порядка, равного характеристике основного поля. Вот контрпример: рассмотрим конечномерную Z/p-градуированную алгебру k[x]/(xp-1), где элемент x сидит в градуировке, равной вычету 1 по модулю p = char k. Эта алгебра -- градуированное поле, соответственно, и двойственная к ней конечномерная градуированная коалгебра кополупроста. Но если забыть градуировку, получается алгебра с нильпотентным идеалом аугментации над k.
Доказательство несложно: по существу, нужно доказать, что если в конечномерной градуированной алгебре нет нильпотентных двусторонних однородных идеалов, то нет и неоднородных. Расширим основное поле до его сепарабельного замыкания; как известно, это не приводит к появлению нильпотентных двусторонних идеалов в неградуированных конечномерных алгебрах. Конечномерная алгебра сосредоточена в конечном числе градуировочных компонент, так что можно считать градуирующую группу конечно порожденной. Максимальный нильпотентный двусторонний неоднородный идеал сохраняется всеми автоморфизмами алгебры. В частности, он сохраняется автоморфизмами, связанными с характерами градуирующей группы со значениями в мультипликативной группе поля. Из этого уже следует, что этот идеал на самом деле однородный.
