![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicI. Определение Tor и Ext второго рода для малых CDG-категорий;
(ко)гомологии Хохшильда второго рода для малых CDG-категорий.
Реально нас интересуют (ко)гомологии Хохшильда второго рода для
CDG-алгебр и DG-категорий, но в качестве общего обобщения, можно
рассматривать CDG-категории. CDG-категория -- это категория, морфизмы
в которой суть градуированные абелевы группы с дифференциалом, а
в группе эндоморфизмов степени 2 каждого объекта задан элемент
кривизны. Примером CDG-категории является категория градуированных
абелевых групп с дифференциалом степени 1 (с произвольным ненулевым
квадратом); элемент кривизны объекта есть квадрат дифференциала.
CDG-функторы в эту CDG-категорию из произвольной CDG-категории B
называются CDG-модулями над B (левые CDG-модули суть ковариантные
функторы, правые -- контравариантные).
Tor второго рода между правым CDG-модулем N и левым CDG-модулем M
над CDG-категорией B определяется так: строятся левые резольвенты
N и M, составленные из CDG-модулей, плоских как градуированные модули;
берутся попарные тензорные произведения над B членов этих резольвент;
получается трикомплекс (тензорное произведение двух CDG-модулей --
комплекс); он сворачивается с помощью бесконечных произведений вдоль
диагональных плоскостей; берутся гомологии. Достаточно брать
резольвенту только у одного из модулей N и M (см. подраздел 3.12
статьи "Two kinds of derived categories...").
Если CDG-категория B линейна и плоска над коммутативным кольцом k
и один из модулей N и M тоже плоский над k, можно написать
бар-конструкцию для N, B и М -- это будет такой биградуированный
k-модуль с тремя дифференциалами, происходящими из умножений и
дифференциалов на N, B, M, и кривизны B. Из этого образования
делается тотальный комплекс с помощью бесконечных произведений вдоль
диагоналей, и берутся гомологии. Получается другое определение того
же самого Tor второго рода между N и M над B. Чтобы убедиться в этом,
нужно соединить вместе две конструкции: взять у N и M CDG-модульные
резольвенты Q и P, для каждого Q_i и P_j написать бар-конструкцию,
и полученный квадрикомплекс свернуть. Дальше проверить, что результат
будет квазиизоморфен как тотальному комплексу трикомплекса Q_i\otimes_B
P_j, так и тотальному комплексу бар-конструкции N и M над B.
Ext второго рода определяется аналогично, с той разницей, что вместо
плоских резольвент берутся проективные и инъективные, а вместо
бесконечных произведений вдоль диагоналей берутся бесконечные суммы.
Tor и Ext второго рода являются функторами на абсолютных производных
категориях CDG-модулей (как минимум).
Если A -- k-линейная k-плоская CDG-категория, то гомологии Хохшильда
второго рода HH_*^II(A,M) с коэффициентами в CDG-бимодуле M над A
определяются как Tor второго рода Tor^II_{A\otimes_k A^op}(A,M).
Аналогично, когомологии Хохшильда второго рода HH^II*(A,M) есть
Ext второго рода Ext^II_{A\otimes_k A^op}(A,M).
II. Ext и Tor второго рода как производные функторы в производных
категориях второго рода.
Нижеизложенное сильно упрощается, если предположить, что CDG-категория
B имеет конечную гомологическую размерность как градуированная
(предаддитивная) категория. Имея в виду случай B = A\otimes_k A^\op,
хотелось бы, однако, ослабить это предположение до предположения, что
градуированный B-модуль N имеет конечную плоскую или проективную
размерность (этого предположения уже никак не избежать).
Начнем со случая Ext, поскольку он проще. Если CDG-модуль N над B
имеет конечную проективную размерность, то его резольвенту Q в первой
конструкции из пункта I выше можно выбрать конечной. Второму
CDG-модулю M можно тогда резольвенту не выбирать, а просто вычислять
Ext^II_B(N,M) как когомологии тотального комплекса бикомплекса
Hom_B(Q,M). Диагонали этого бикомплекса конечны, так что способ
суммирования вдоль диагоналей не имеет значения. С другой стороны,
тотальный CDG-модуль комплекса CDG-модулей Q отличается от CDG-модуля
N на абсолютно ацикличный CDG-модуль, и ортогонален слева всем
контраацикличным CDG-модулям в гомотопической категории CDG-модулей.
Поэтому Ext^II_B(N,M) изоморфен Hom'у между N и M в абсолютной
производной категории CDG-модулей над B и в контрапроизводной
категории CDG-модулей над B.
Случай Tor чуть сложнее за счет того, что у нас нет общего определения
производного функтора тензорного произведения в производных категориях
второго рода CDG-модулей, точнее, такой производный функтор
оказывается определенным на производных категориях не всех CDG-модулей.
Пусть D^co(B-mod) -- копроизводная категория левых CDG-модулей над B,
и пусть D^co(mod_fl-B) -- копроизводная категория точной DG-категории
правых CDG-модулей над B, плоских как градуированные B-модули, т.е.
факторкатегория гомотопической категории правых CDG-модулей над B,
плоских как градуированные модули, по ее минимальной триангулированной
подкатегории, содержащей тотальные CDG-модули точных троек CDG-модулей,
плоских как градуированные модули, и замкнутой относительно бесконечных
прямых сумм. Тогда имеется очевидный функтор тензорного произведения
над B, D^co(mod_fl-B) x D^co(B-mod) \to D(Ab). Всякому правому
CDG-модулю N над B, имеющему конечную плоскую размерность как
градуированный B-модуль, можно функториально сопоставить объект
D^co(mod_fl-B), и для любого левого CDG-модуля M над B функтор
Tor^II_B(N,M) есть вышеописанный функтор тензорного произведения,
примененный к этому объекту D^co(mod_fl-B) и объекту M.
Если градуированное кольцо/категория B имеет конечную плоскую
размерность, можно просто построить производный функтор тензорного
произведения
D^co(mod-B) x D^co(B-mod) \to D(Ab).
Если градуированный B-модуль N имеет конечную проективную размерность,
ему можно функториально сопоставить объект гомотопической категории
CDG-модулей над B, проективных как градуированные модули.
III. (Ко)гомологии Хохшильда второго рода для DG-категории CDG-модулей.
Пусть B -- CDG-категория, и C -- DG-категория правых CDG-модулей над B,
конечно-порожденных и проективных как градуированные модули. Легко
видеть, что C антиэквивалентна DG-категории левых CDG-модулей над B,
конечно-порожденных и проективных как градуированные модули;
антиэквивалентность задается функтором K\mapsto Hom_B(K,B).
Далее, DG-категория левых CDG-модулей над B эквивалентна DG-категории
левых DG-модулей над C, а DG-категория правых CDG-модулей над B
эквивалентна DG-категории правых DG-модулей над C. Первая
эквивалентность сопоставляет CDG-модулю M функтор L\mapsto L\otimes_B M;
вторая сопоставляет CDG-модулю N функтор K\mapsto Hom_B(K,N). Эта
пара эквивалентностей переводит тензорное произведение CDG-модулей
в тензорное произведение DG-модулей.
Наконец, если CDG-категория B k-линейна для некоторого коммутативного
кольца k, то категория (k-линейных) CDG-бимодулей над B эквивалентна
категории DG-бимодулей над C. Эта эквивалентность сопоставляет
CDG-бимодулю E бифунктор (K,L)\mapsto Hom_B(K, L\otimes_B E) =
L\otimes_B Hom_B(K,E). Она переводит CDG-бимодуль B над B
в DG-бимодуль C над C.
Вот еще один способ говорить о CDG-бимодулях. Пусть D -- DG-категория
правых CDG-модулей над B\otimes_k B^op, тогда имеется вполне строгий
DG-функтор С\otimes_k C^op \to D, причем все объекты D получаются из
объектов C\otimes_k C^op с помощью прямых сумм, скручиваний на коцепи
Маурера-Картана, и прямых слагаемых. Поэтому левые/правые DG-модули
над D отождествляются с левыми/правыми DG-модулями над C\otimes_k C^op,
причем это отождествление образует коммутативный треугольник
с отождествлением DG-модулей над D c СDG-модулями над B\otimes_k B^op
= CDG-бимодулями над B и последних с DG-бимодулями над C = DG-модулями
над C\otimes_k C^op.
Во всех этих случаях, наряду с отождествлениями (C)DG-(би)модулей,
имеются согласованные с ними отождествления градуированных (би)модулей.
Из сказанного выше, ввиду результатов пункта II, вытекает следующая
Теорема. Пусть B -- k-линейная k-плоская CDG-категория, C --
DG-категория правых CDG-модулей над B, конечно-порожденных и
проективных как градуированные модули, M -- CDG-бимодуль над B,
и M' -- соответствующий DG-бимодуль над C. Тогда имеется
естественный изоморфизм (ко)гомологий Хохшильда второго рода
CDG-категории B с коэффициентами в M и DG-категории C
c коэффициентами в M'.
IV. Сравнение теорий первого и второго рода.
Для любой k-линейной k-плоской малой DG-категории C определены, наряду
с (ко)гомологиями Хохшильда второго рода, также и (ко)гомологии
Хохшильда первого рода с коэффициентами в любом DG-бимодуле.
Имеются естественные отображения из гомологий первого рода в
гомологии второго рода и из когомологий второго рода в когомологии
первого рода. Для произвольной DG-алгебры, эти отображения не могут
быть изоморфизмами, поскольку обладают несовместимыми свойствами
функториальности/инвариантности: (ко)гомологии Хохшильда первого рода
сохраняются при квазиизоморфизме DG-алгебр, а (ко)гомологии Хохшильда
второго рода сохраняются при CDG-изоморфизме DG-алгебр. Известно,
что любые две DG-алгебры можно связать цепочкой переходов, некоторые
из которых являются квазиизоморфизмами, а другие CDG-изоморфизмами.
Но в некоторых случаях отображения между (ко)гомологиями Хохшильда
первого и второго рода для DG-категорий могут оказываться изоморфизмами.
В терминах интерпретации (ко)гомологий Хохшильда второго рода через
производные категории второго рода, данной в пункте II, эти отображения
связаны с естественными функторами из производных категорий второго
рода для DG-модулей в производные категории первого рода. Поэтому если
последние функторы являются эквивалентностями для DG-бимодулей над
DG-категорией C, то (ко)гомологии Хохшильда первого и второго рода
для DG-категории C изоморфны. На самом деле, достаточно, чтобы
DG-бимодуль C над C\otimes_k C^op имел конечную гомологическую
размерность как градуированный бимодуль и принадлежал триангулированной
подкатегории в гомотопической категории бимодулей, порожденной
абсолютно ацикличными (или контраацикличными) бимодулями и бимодулями,
проективными по отношению к производной категории первого рода
(h-проективными). В случае гомологий Хохшильда, достаточно потребовать,
чтобы объект категории D^co(mod_fl-C\otimes_k C^op), связанный
с DG-бимодулем C над C\otimes_k C^op, происходил из DG-бимодуля,
плоского по отношению к производной категории первого рода (h-плоского).
Рассмотрим случай k-линейной k-плоской CDG-категории (или просто
CDG-кольца) A, такой что градуированное кольцо/категория A\otimes_k A^op
имеет конечную гомологическую размерность. Пусть C -- DG-категория
правых CDG-модулей над A, проективных и конечно-порожденных как
градуированные A-модули. Тогда для того, чтобы абсолютная производная
категория DG-модулей над C\otimes_k C^op совпадала с производной
категорией этих DG-модулей, необходимо и достаточно, чтобы для любого
CDG-бимодуля X над A, представляющего ненулевой объект в абсолютной
производной категории CDG-бимодулей, существовали левый и правый
CDG-бимодули M и N над A, проективные и конечно-порожденные как
градуированные A-модули, такие что существует нестягиваемый замкнутый
морфизм CDG-бимодулей N\ot_k M \to X. Поскольку, в наших
предположениях, CDG-бимодули вида N\ot_k M компактны в абсолютной
производной категории CDG-бимодулей, это можно переформулировать так,
что CDG-бимодули вида N\ot_k M, где M и N -- CDG-модули, проективные
и конечно-порожденные как градуированные A-модули, должны порождать
абсолютную производную категорию CDG-бимодулей над A.
Более общим образом, можно опустить требование конечности гомологической
размерности кольца A\otimes_k A^op и требовать только, чтобы
градуированный модуль A над A\otimes_k A^op имел конечную голологическую
размерность и CDG-бимодуль А как объект контрапроизводной категории
CDG-бимодулей над A\otimes_k A^op порождался CDG-бимодулями вида
N\ot_k M как выше.
Ср. "Two kinds of derived categories...", Question 3.8.
V. Пример: CDG-алгебра с конечной убывающей кошулевой фильтрацией.
Пусть B -- CDG-алгебра над полем k, снабженная конечной убывающей
фильтрацией, удовлетворяющей условиям подраздела 6.8 статьи
"Two kinds of derived categories..." Тогда CDG-алгебра B\otimes_k B^op
снабжена индуцированной фильтрацией, удовлетворяющей тем же условиям.
Согласно теореме из указанного подраздела, абсолютная производная
категория левых/правых CDG-модулей над B эквивалентна копроизводной
категории левых/правых CDG-комодулей над двойственной CDG-коалгеброй С,
а абсолютная производная категория CDG-модулей над В\otimes_k B^op
эквивалентна копроизводной категории CDG-комодулей над C\otimes_k C^op.
Эти эквивалентности трансформируют функтор тензорного произведения
CDG-модулей со значениями в CDG-бимодулях в функтор тензорного
произведения CDG-комодулей со значениями в CDG-бикомодулях.
CDG-модули над B, проективные и конечно-порожденные как градуированные
B-модули, соответствуют при этих эквивалентностях конечномерным
CDG-комодулям над C.
Таким образом, (ко)гомологии Хохшильда первого рода DG-категории правых
CDG-модулей над B, проективных и конечно-порожденных как градуированные
B-модули изоморфны (ко)гомологиям Хохшильда второго рода той же
DG-категории, они же когомологии Хохшильда второго рода CDG-алгебры B,
если тензорные произведения конечномерных левых и правых CDG-комодулей
над C порождают копроизводную категорию CDG-бикомодулей над C.
Для этого достаточно, чтобы дифференциал и кривизна на C аннулировали
максимальную кополупростую градуированную подкоалгебру C и тензорное
произведение этой подкоалгебры на противоположную к ней было
кополупростой градуированной коалгеброй. Второе -- это некое условие
сепарабельности; оно заведомо выполнено, если поле k совершенно и
абелева группа, которой градуирована коалгебра C, не содержит кручения
порядка, равного характеристике k. Что же касается первого условия,
то его необходимость иллюстрирует следующий тривиальный контрпример.
Рассмотрим Z/2-градуированную CDG-алгебру B, которая как градуированная
алгебра изоморфна полю k, помещенному в градуировку ноль, дифференциал
на которой равен нулю, а элемент кривизны равен единице.
Соответствующая CDG-коалгебра C тоже изоморфна полю k, помещенному
в градуировку ноль, дифференциал на ней равен нулю, а элемент кривизны
равен плюс-минус единице, в зависимости от выбранных правил знаков.
В DG-категориях CDG-модулей над B и CDG-комодулей над C все объекты
стягиваемы. В частности, (ко)гомологии Хохшильда первого рода
DG-категории CDG-модулей над B, проективных и конечно-порожденных как
градуированные модули, равны нулю целиком. С другой стороны,
CDG-алгебра B\otimes_k B^op есть поле k, снабженное нулевым
дифференциалом и нулевой кривизной; сама CDG-алгебра B является
примером нестягиваемого CDG-модуля над B\otimes_k B^op (соответствующим
модулю k над кольцом k). Поэтому Tor и Ext второго (как и первого)
рода между B и B над B\otimes_k B^op равны полю k. Таким образом,
(ко)гомологии Хохшильда второго рода CDG-алгебры B отличаются от
когомологий Хохшильда первого рода DG-категории CDG-модулей над B,
проективных и конечно-порожденных как градуированные модули.
(ко)гомологии Хохшильда второго рода для малых CDG-категорий.
Реально нас интересуют (ко)гомологии Хохшильда второго рода для
CDG-алгебр и DG-категорий, но в качестве общего обобщения, можно
рассматривать CDG-категории. CDG-категория -- это категория, морфизмы
в которой суть градуированные абелевы группы с дифференциалом, а
в группе эндоморфизмов степени 2 каждого объекта задан элемент
кривизны. Примером CDG-категории является категория градуированных
абелевых групп с дифференциалом степени 1 (с произвольным ненулевым
квадратом); элемент кривизны объекта есть квадрат дифференциала.
CDG-функторы в эту CDG-категорию из произвольной CDG-категории B
называются CDG-модулями над B (левые CDG-модули суть ковариантные
функторы, правые -- контравариантные).
Tor второго рода между правым CDG-модулем N и левым CDG-модулем M
над CDG-категорией B определяется так: строятся левые резольвенты
N и M, составленные из CDG-модулей, плоских как градуированные модули;
берутся попарные тензорные произведения над B членов этих резольвент;
получается трикомплекс (тензорное произведение двух CDG-модулей --
комплекс); он сворачивается с помощью бесконечных произведений вдоль
диагональных плоскостей; берутся гомологии. Достаточно брать
резольвенту только у одного из модулей N и M (см. подраздел 3.12
статьи "Two kinds of derived categories...").
Если CDG-категория B линейна и плоска над коммутативным кольцом k
и один из модулей N и M тоже плоский над k, можно написать
бар-конструкцию для N, B и М -- это будет такой биградуированный
k-модуль с тремя дифференциалами, происходящими из умножений и
дифференциалов на N, B, M, и кривизны B. Из этого образования
делается тотальный комплекс с помощью бесконечных произведений вдоль
диагоналей, и берутся гомологии. Получается другое определение того
же самого Tor второго рода между N и M над B. Чтобы убедиться в этом,
нужно соединить вместе две конструкции: взять у N и M CDG-модульные
резольвенты Q и P, для каждого Q_i и P_j написать бар-конструкцию,
и полученный квадрикомплекс свернуть. Дальше проверить, что результат
будет квазиизоморфен как тотальному комплексу трикомплекса Q_i\otimes_B
P_j, так и тотальному комплексу бар-конструкции N и M над B.
Ext второго рода определяется аналогично, с той разницей, что вместо
плоских резольвент берутся проективные и инъективные, а вместо
бесконечных произведений вдоль диагоналей берутся бесконечные суммы.
Tor и Ext второго рода являются функторами на абсолютных производных
категориях CDG-модулей (как минимум).
Если A -- k-линейная k-плоская CDG-категория, то гомологии Хохшильда
второго рода HH_*^II(A,M) с коэффициентами в CDG-бимодуле M над A
определяются как Tor второго рода Tor^II_{A\otimes_k A^op}(A,M).
Аналогично, когомологии Хохшильда второго рода HH^II*(A,M) есть
Ext второго рода Ext^II_{A\otimes_k A^op}(A,M).
II. Ext и Tor второго рода как производные функторы в производных
категориях второго рода.
Нижеизложенное сильно упрощается, если предположить, что CDG-категория
B имеет конечную гомологическую размерность как градуированная
(предаддитивная) категория. Имея в виду случай B = A\otimes_k A^\op,
хотелось бы, однако, ослабить это предположение до предположения, что
градуированный B-модуль N имеет конечную плоскую или проективную
размерность (этого предположения уже никак не избежать).
Начнем со случая Ext, поскольку он проще. Если CDG-модуль N над B
имеет конечную проективную размерность, то его резольвенту Q в первой
конструкции из пункта I выше можно выбрать конечной. Второму
CDG-модулю M можно тогда резольвенту не выбирать, а просто вычислять
Ext^II_B(N,M) как когомологии тотального комплекса бикомплекса
Hom_B(Q,M). Диагонали этого бикомплекса конечны, так что способ
суммирования вдоль диагоналей не имеет значения. С другой стороны,
тотальный CDG-модуль комплекса CDG-модулей Q отличается от CDG-модуля
N на абсолютно ацикличный CDG-модуль, и ортогонален слева всем
контраацикличным CDG-модулям в гомотопической категории CDG-модулей.
Поэтому Ext^II_B(N,M) изоморфен Hom'у между N и M в абсолютной
производной категории CDG-модулей над B и в контрапроизводной
категории CDG-модулей над B.
Случай Tor чуть сложнее за счет того, что у нас нет общего определения
производного функтора тензорного произведения в производных категориях
второго рода CDG-модулей, точнее, такой производный функтор
оказывается определенным на производных категориях не всех CDG-модулей.
Пусть D^co(B-mod) -- копроизводная категория левых CDG-модулей над B,
и пусть D^co(mod_fl-B) -- копроизводная категория точной DG-категории
правых CDG-модулей над B, плоских как градуированные B-модули, т.е.
факторкатегория гомотопической категории правых CDG-модулей над B,
плоских как градуированные модули, по ее минимальной триангулированной
подкатегории, содержащей тотальные CDG-модули точных троек CDG-модулей,
плоских как градуированные модули, и замкнутой относительно бесконечных
прямых сумм. Тогда имеется очевидный функтор тензорного произведения
над B, D^co(mod_fl-B) x D^co(B-mod) \to D(Ab). Всякому правому
CDG-модулю N над B, имеющему конечную плоскую размерность как
градуированный B-модуль, можно функториально сопоставить объект
D^co(mod_fl-B), и для любого левого CDG-модуля M над B функтор
Tor^II_B(N,M) есть вышеописанный функтор тензорного произведения,
примененный к этому объекту D^co(mod_fl-B) и объекту M.
Если градуированное кольцо/категория B имеет конечную плоскую
размерность, можно просто построить производный функтор тензорного
произведения
D^co(mod-B) x D^co(B-mod) \to D(Ab).
Если градуированный B-модуль N имеет конечную проективную размерность,
ему можно функториально сопоставить объект гомотопической категории
CDG-модулей над B, проективных как градуированные модули.
III. (Ко)гомологии Хохшильда второго рода для DG-категории CDG-модулей.
Пусть B -- CDG-категория, и C -- DG-категория правых CDG-модулей над B,
конечно-порожденных и проективных как градуированные модули. Легко
видеть, что C антиэквивалентна DG-категории левых CDG-модулей над B,
конечно-порожденных и проективных как градуированные модули;
антиэквивалентность задается функтором K\mapsto Hom_B(K,B).
Далее, DG-категория левых CDG-модулей над B эквивалентна DG-категории
левых DG-модулей над C, а DG-категория правых CDG-модулей над B
эквивалентна DG-категории правых DG-модулей над C. Первая
эквивалентность сопоставляет CDG-модулю M функтор L\mapsto L\otimes_B M;
вторая сопоставляет CDG-модулю N функтор K\mapsto Hom_B(K,N). Эта
пара эквивалентностей переводит тензорное произведение CDG-модулей
в тензорное произведение DG-модулей.
Наконец, если CDG-категория B k-линейна для некоторого коммутативного
кольца k, то категория (k-линейных) CDG-бимодулей над B эквивалентна
категории DG-бимодулей над C. Эта эквивалентность сопоставляет
CDG-бимодулю E бифунктор (K,L)\mapsto Hom_B(K, L\otimes_B E) =
L\otimes_B Hom_B(K,E). Она переводит CDG-бимодуль B над B
в DG-бимодуль C над C.
Вот еще один способ говорить о CDG-бимодулях. Пусть D -- DG-категория
правых CDG-модулей над B\otimes_k B^op, тогда имеется вполне строгий
DG-функтор С\otimes_k C^op \to D, причем все объекты D получаются из
объектов C\otimes_k C^op с помощью прямых сумм, скручиваний на коцепи
Маурера-Картана, и прямых слагаемых. Поэтому левые/правые DG-модули
над D отождествляются с левыми/правыми DG-модулями над C\otimes_k C^op,
причем это отождествление образует коммутативный треугольник
с отождествлением DG-модулей над D c СDG-модулями над B\otimes_k B^op
= CDG-бимодулями над B и последних с DG-бимодулями над C = DG-модулями
над C\otimes_k C^op.
Во всех этих случаях, наряду с отождествлениями (C)DG-(би)модулей,
имеются согласованные с ними отождествления градуированных (би)модулей.
Из сказанного выше, ввиду результатов пункта II, вытекает следующая
Теорема. Пусть B -- k-линейная k-плоская CDG-категория, C --
DG-категория правых CDG-модулей над B, конечно-порожденных и
проективных как градуированные модули, M -- CDG-бимодуль над B,
и M' -- соответствующий DG-бимодуль над C. Тогда имеется
естественный изоморфизм (ко)гомологий Хохшильда второго рода
CDG-категории B с коэффициентами в M и DG-категории C
c коэффициентами в M'.
IV. Сравнение теорий первого и второго рода.
Для любой k-линейной k-плоской малой DG-категории C определены, наряду
с (ко)гомологиями Хохшильда второго рода, также и (ко)гомологии
Хохшильда первого рода с коэффициентами в любом DG-бимодуле.
Имеются естественные отображения из гомологий первого рода в
гомологии второго рода и из когомологий второго рода в когомологии
первого рода. Для произвольной DG-алгебры, эти отображения не могут
быть изоморфизмами, поскольку обладают несовместимыми свойствами
функториальности/инвариантности: (ко)гомологии Хохшильда первого рода
сохраняются при квазиизоморфизме DG-алгебр, а (ко)гомологии Хохшильда
второго рода сохраняются при CDG-изоморфизме DG-алгебр. Известно,
что любые две DG-алгебры можно связать цепочкой переходов, некоторые
из которых являются квазиизоморфизмами, а другие CDG-изоморфизмами.
Но в некоторых случаях отображения между (ко)гомологиями Хохшильда
первого и второго рода для DG-категорий могут оказываться изоморфизмами.
В терминах интерпретации (ко)гомологий Хохшильда второго рода через
производные категории второго рода, данной в пункте II, эти отображения
связаны с естественными функторами из производных категорий второго
рода для DG-модулей в производные категории первого рода. Поэтому если
последние функторы являются эквивалентностями для DG-бимодулей над
DG-категорией C, то (ко)гомологии Хохшильда первого и второго рода
для DG-категории C изоморфны. На самом деле, достаточно, чтобы
DG-бимодуль C над C\otimes_k C^op имел конечную гомологическую
размерность как градуированный бимодуль и принадлежал триангулированной
подкатегории в гомотопической категории бимодулей, порожденной
абсолютно ацикличными (или контраацикличными) бимодулями и бимодулями,
проективными по отношению к производной категории первого рода
(h-проективными). В случае гомологий Хохшильда, достаточно потребовать,
чтобы объект категории D^co(mod_fl-C\otimes_k C^op), связанный
с DG-бимодулем C над C\otimes_k C^op, происходил из DG-бимодуля,
плоского по отношению к производной категории первого рода (h-плоского).
Рассмотрим случай k-линейной k-плоской CDG-категории (или просто
CDG-кольца) A, такой что градуированное кольцо/категория A\otimes_k A^op
имеет конечную гомологическую размерность. Пусть C -- DG-категория
правых CDG-модулей над A, проективных и конечно-порожденных как
градуированные A-модули. Тогда для того, чтобы абсолютная производная
категория DG-модулей над C\otimes_k C^op совпадала с производной
категорией этих DG-модулей, необходимо и достаточно, чтобы для любого
CDG-бимодуля X над A, представляющего ненулевой объект в абсолютной
производной категории CDG-бимодулей, существовали левый и правый
CDG-бимодули M и N над A, проективные и конечно-порожденные как
градуированные A-модули, такие что существует нестягиваемый замкнутый
морфизм CDG-бимодулей N\ot_k M \to X. Поскольку, в наших
предположениях, CDG-бимодули вида N\ot_k M компактны в абсолютной
производной категории CDG-бимодулей, это можно переформулировать так,
что CDG-бимодули вида N\ot_k M, где M и N -- CDG-модули, проективные
и конечно-порожденные как градуированные A-модули, должны порождать
абсолютную производную категорию CDG-бимодулей над A.
Более общим образом, можно опустить требование конечности гомологической
размерности кольца A\otimes_k A^op и требовать только, чтобы
градуированный модуль A над A\otimes_k A^op имел конечную голологическую
размерность и CDG-бимодуль А как объект контрапроизводной категории
CDG-бимодулей над A\otimes_k A^op порождался CDG-бимодулями вида
N\ot_k M как выше.
Ср. "Two kinds of derived categories...", Question 3.8.
V. Пример: CDG-алгебра с конечной убывающей кошулевой фильтрацией.
Пусть B -- CDG-алгебра над полем k, снабженная конечной убывающей
фильтрацией, удовлетворяющей условиям подраздела 6.8 статьи
"Two kinds of derived categories..." Тогда CDG-алгебра B\otimes_k B^op
снабжена индуцированной фильтрацией, удовлетворяющей тем же условиям.
Согласно теореме из указанного подраздела, абсолютная производная
категория левых/правых CDG-модулей над B эквивалентна копроизводной
категории левых/правых CDG-комодулей над двойственной CDG-коалгеброй С,
а абсолютная производная категория CDG-модулей над В\otimes_k B^op
эквивалентна копроизводной категории CDG-комодулей над C\otimes_k C^op.
Эти эквивалентности трансформируют функтор тензорного произведения
CDG-модулей со значениями в CDG-бимодулях в функтор тензорного
произведения CDG-комодулей со значениями в CDG-бикомодулях.
CDG-модули над B, проективные и конечно-порожденные как градуированные
B-модули, соответствуют при этих эквивалентностях конечномерным
CDG-комодулям над C.
Таким образом, (ко)гомологии Хохшильда первого рода DG-категории правых
CDG-модулей над B, проективных и конечно-порожденных как градуированные
B-модули изоморфны (ко)гомологиям Хохшильда второго рода той же
DG-категории, они же когомологии Хохшильда второго рода CDG-алгебры B,
если тензорные произведения конечномерных левых и правых CDG-комодулей
над C порождают копроизводную категорию CDG-бикомодулей над C.
Для этого достаточно, чтобы дифференциал и кривизна на C аннулировали
максимальную кополупростую градуированную подкоалгебру C и тензорное
произведение этой подкоалгебры на противоположную к ней было
кополупростой градуированной коалгеброй. Второе -- это некое условие
сепарабельности; оно заведомо выполнено, если поле k совершенно и
абелева группа, которой градуирована коалгебра C, не содержит кручения
порядка, равного характеристике k. Что же касается первого условия,
то его необходимость иллюстрирует следующий тривиальный контрпример.
Рассмотрим Z/2-градуированную CDG-алгебру B, которая как градуированная
алгебра изоморфна полю k, помещенному в градуировку ноль, дифференциал
на которой равен нулю, а элемент кривизны равен единице.
Соответствующая CDG-коалгебра C тоже изоморфна полю k, помещенному
в градуировку ноль, дифференциал на ней равен нулю, а элемент кривизны
равен плюс-минус единице, в зависимости от выбранных правил знаков.
В DG-категориях CDG-модулей над B и CDG-комодулей над C все объекты
стягиваемы. В частности, (ко)гомологии Хохшильда первого рода
DG-категории CDG-модулей над B, проективных и конечно-порожденных как
градуированные модули, равны нулю целиком. С другой стороны,
CDG-алгебра B\otimes_k B^op есть поле k, снабженное нулевым
дифференциалом и нулевой кривизной; сама CDG-алгебра B является
примером нестягиваемого CDG-модуля над B\otimes_k B^op (соответствующим
модулю k над кольцом k). Поэтому Tor и Ext второго (как и первого)
рода между B и B над B\otimes_k B^op равны полю k. Таким образом,
(ко)гомологии Хохшильда второго рода CDG-алгебры B отличаются от
когомологий Хохшильда первого рода DG-категории CDG-модулей над B,
проективных и конечно-порожденных как градуированные модули.
