![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicКак объясняется здесь, триангулированная категория мотивов Тейта над полем F с целыми коэффициентами должна быть эквивалентна производной категории DG-комодулей над положительно внутренне градуированной DG-коалгеброй C, когомологии которой H(C) сосредоточены в когомологической градуировке 0, но не являются плоскими Z-модулями. Объекты Тейта Z(i) соответствуют при этой эквивалентности тривиальным DG-комодулям Z, помещенным в когомологическую градуировку 0 и внутреннюю градуировку -i.
Как соотносятся DG-коалгебра С и ее когомологии? В общем случае, на неплоских когомологиях DG-коалгебры структуры коалгебры нет, т.к. отображение H(C)⊗H(C) → H(C⊗C) не является изоморфизмом и направление этой стрелки не позволяет определить коумножение на H(C). Именно это имелось в виду в последней фразе вышезалинкованного постинга. Однако, в случае, когда H(C) состредоточено в когомологической градуировке ноль, H(C)⊗H(C) изоморфно отображается на H0(C⊗C), и обратив этот изоморфизм, коассоциативное коумножение на H(C) можно определить. Эта ошибка перекочевала из жж-постинга в архивную версию статьи.
Далее, DG-комодулю N над С, когомологии которого сосредоточены в когомологической градуировке 0 и являются конечно-порожденным проективным Z-модулем, можно сопоставить комодуль H0(N) над H0(C) с аналогичным свойством. Это точный функтор, но эквивалентностью точных категорий он не является. Достаточно рассмотреть случай, когда F -- алгебраическое замыкание конечного поля Fq. Тогда DG-коалгебра C квазиизоморфна DG-коалгебре с компонентами C0 = Z и C1 = (Z[q-1]→Q), и всеми остальными компонентами, равными нулю. Легко видеть, написав кобар-конструкцию, что Ext1C(Z,Z(i)) = Q/Z[q-1] для всех i>0, как и должно быть в мотивах над алгебраическим замыканием конечного поля; но Ext1H0(C)(Z,Z(i)) = 0 для i>1.
Более того, класс квазиизоморфизма C среди DG-коалгебр, плоских над Z, невозможно восстановить по коумножению на H0(C), как легко видеть на примере DG-коалгебры c ненулевыми компонентами C1 и C2 и нулевыми Ci для i>2. Поэтому описывать мотивы Тейта с целыми коэффициентами надо в терминах такого класса квазиизоморфизма коалгебры C, а не коумножения на ее нулевых когомологиях.
Как соотносятся DG-коалгебра С и ее когомологии? В общем случае, на неплоских когомологиях DG-коалгебры структуры коалгебры нет, т.к. отображение H(C)⊗H(C) → H(C⊗C) не является изоморфизмом и направление этой стрелки не позволяет определить коумножение на H(C). Именно это имелось в виду в последней фразе вышезалинкованного постинга. Однако, в случае, когда H(C) состредоточено в когомологической градуировке ноль, H(C)⊗H(C) изоморфно отображается на H0(C⊗C), и обратив этот изоморфизм, коассоциативное коумножение на H(C) можно определить. Эта ошибка перекочевала из жж-постинга в архивную версию статьи.
Далее, DG-комодулю N над С, когомологии которого сосредоточены в когомологической градуировке 0 и являются конечно-порожденным проективным Z-модулем, можно сопоставить комодуль H0(N) над H0(C) с аналогичным свойством. Это точный функтор, но эквивалентностью точных категорий он не является. Достаточно рассмотреть случай, когда F -- алгебраическое замыкание конечного поля Fq. Тогда DG-коалгебра C квазиизоморфна DG-коалгебре с компонентами C0 = Z и C1 = (Z[q-1]→Q), и всеми остальными компонентами, равными нулю. Легко видеть, написав кобар-конструкцию, что Ext1C(Z,Z(i)) = Q/Z[q-1] для всех i>0, как и должно быть в мотивах над алгебраическим замыканием конечного поля; но Ext1H0(C)(Z,Z(i)) = 0 для i>1.
Более того, класс квазиизоморфизма C среди DG-коалгебр, плоских над Z, невозможно восстановить по коумножению на H0(C), как легко видеть на примере DG-коалгебры c ненулевыми компонентами C1 и C2 и нулевыми Ci для i>2. Поэтому описывать мотивы Тейта с целыми коэффициентами надо в терминах такого класса квазиизоморфизма коалгебры C, а не коумножения на ее нулевых когомологиях.
