![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicGiven that apparently some people kindly refer to the following piece in their published papers, let it be available here. Transliterated Russian, the Fall of 1995.
II. Svobodnaja bialgebra Li (vopros Kazhdana i Etingofa).
Chto takoe svobodnaja obychnaja algebra Li? Pust' napisano
nekotoroe vyrazhenie ot kommutatorov, opredelyajuschee
otobrazhenie L^{\otimes n} -> L dlya proizvol'noj algebry Li L.
Pust' takoe otobrazhenie ravno nulyu dlya lyuboj konkretnoj
algebry Li; togda sleduet li iz etogo, chto eto mozhno vyvesti
putem tozhdestvennyh preobrazovanij iz antikommutativnosti i
tozhdestva Jakobi? Kak govoril Kazhdan, eto kak by teorema
Gil'berta o nulyah: a^2=0 vlechet a=0, no eto nel'zya poluchit'
tozhdestvennymi preobrazovanijami. Otvet: sleduet, potomu chto
rassmotrim svobodnuju algebru Li ot n obrazujuschih x_i, gde n
- to zhe, chto i vyshe, i rassmotrim znachenie nashego
otobrazhenija na elemente
x_1\otimes x_2\otimes...\otimes x_n \in L^{\otimes n};
esli ono ravno nulyu, to eto tozhdestvo, poskol'ku svobodnaja
algebra Li opredelyaetsya kak faktor svobodnoj neassociativnoj
algebry po vsem tozhdestvam. K tomu zhe, svobodnaja algebra
Li nad Z ne imeet kruchenija, tak chto dlya vyrazhenij s celymi
koefficientami vse ravno dostatochno polej harakteristiki 0.
Dalee, dostatochno dazhe konechnomernyh algebr Li, poskol'ku
svobodnaja algebra Li approksimiruetsya konechnomernymi
faktoralgebrami po idealam elementov graduirovki bol'she
fiksirovannoj.
Teper' pust' imeetsya vyrazhenie ot kommutatorov i kokommutatorov,
opredelyajuschee otobrazhenie B^{\otimes m} -> B^{\otimes n} dlya
proizvol'noj bialgebry Li B. Pust' takoe otobrazhenie ravno nulyu
dlya lyuboj bialgebry Li, togda mozhno li eto poluchist'
tozhdestvennymi preobrazovanijami?
Otvet: da, potomu chto sootvetstvujuschaja "bol'shaja" bialgebra
Li mozhet byt' postroena sledujuschim obrazom. Pust' C - lyubaja
koalgebra Li (dlya prostoty, ne topologicheskaja, to est' prosto
C -> C\otimes C v samom naivnom smysle). Rassmotrim svobodnuju
algebru Li, porozhdennuju C kak vektornym prostranstvom,
oboznachaetsya Lie(C). Ja utverzhdaju, chto kokommutator na C
odnoznachno prodolzhaetsya na Lie(C), tak chto poluchaetsya
bialgebra Li. V samom dele, bialgebry Li opredelyajutsya tremya
aksiomami: tozhdestvo Jakobi dlya kommutatora, dvojstvennoe
tozhdestvo dlya kokommutatora, i aksioma soglasovanija (kocikla)
\delta([x,y])=ad(x)(\delta(y))-ad(y)(\delta(x)). Poslednjaja rovno
govorit, kak opredelit' \delta([x,y]); korrektnost' i co-Jakobi
mozhno proverit' javno. Teper' predlagaetsya rassmotret'
"kosvobodnuju" koalgebru Li C=co-Lie(V^*), porozhdennuju (skazhem,
konechnomernym) vektornym prostranstvom V^* v vide graduirovannogo
dvojstvennogo prostranstva k svobodnoj algebre Li, porozhdennoj V,
co-Lie(V^*)=Lie(V)^*, i dalee bialgebru Li B=Lie(co-Lie(V)).
My s Polischukom pridumali etomu takuju analogiju: imeetsya
algebraicheskaja struktura s dvumya operacijami; rassmatrivaetsya
lyuboj objekt po pervoj strukture i im porozhdaetsya svobodnyj
objekt po vtoroj strukture; chto mozhet poluchitsya? Rassmotrim,
naprimer, kol'co: esli vzyat' gruppu po slozheniju i porodit' ej
svobodnuju polugruppu po umnozheniju, to nichego horoshego ne
budet, no esli vzyat' polugruppu po umnozheniju i porodit'
svobodnuju gruppu po slozheniju, poluchitsya gruppovoe kol'co.
Zabavno, chto v nashem sluchae mozhno sdelat' i tak i tak:
v silu dvojstvennosti, kosvobodnaja koalgebra Li, porozhdennaja
lyuboj algebroj Li, dolzhna byt' tozhe bialgebroj Li. Teper'
u nas est' dazhe dve konstrukcii "bol'shoj" bialgebry: krome
Lie(co-Lie(V)), mozhno vzyat' co-Lie(Lie(V)). Mezhdu nimi
est' estestvennyj morfizm Lie(co-Lie(V)) -> co-Lie(Lie(V));
pol'zujas' sluchaem (napisanija etogo pis'ma), ja vchera
kak raz proveril, chto eto ne izomorfizm (obe veschi mozhno
konechnomerno prograduirovat' samym naivnym obrazom, skazav,
chto na V dejstvuet C^* tozhdestvennym harakterom i na etih
shtukah imeetsya inducirovannoe dejstvie, to est' pervye
komponenty graduirovki sut' V, vtorye \Lambda^2V + \Lambda^2V,
i t.d., razmernosti komponent v obeih algebrah, natural'no,
sovpadajut, no izomorfizm narushaetsya pri n=4, v chem mozhno
ubeditsya, vvedya bolee tonkuju bigraduirovku).
Zavershenie dokazatel'stva... mozhno bylo by opyat' ostavit'
v kachestve uprazhnenija chitatelyam; ja pochemu-to tak i ne
umeju proiznesnti ego do konca vpolne vnyatno. Dlya nachala,
vsyakoe vyrazhenie ot kommutatorov i kokommutatorov mozhno
perepisat', pol'zujas' aksiomoj kocicla, tak chtoby snachala
primenyalis' vse kokommutatory, a potom vse kommutatory.
Teper' nashe otobrazhenie B^{\otimes_m}->B^{\otimes n}
razlagaetsya v kompozitsiju
B^{\otimes m} -> \bigoplus_i B^{\otimes N_i} -> B^{\otimes n},
gde sleva kokommutatory, a sprava kommutatory. Voz'mem
B=Lie(co-Lie(V)) i ogranichim eto otobrazhenie na co-Lie(V);
togda levaja strelka proishodit vnutri co-Lie(V) i graduirovka
B po chislu kommutatorov razdelyaet raznye N_i. Teper' dlya
fiksirovannogo N_i=N voz'mem V = < x_1,...,x_N >, vvedem na nem
graduirovku so znachenijami v Z^N, i voz'mem ogranichenie
vseh otobrazhenij na komponenty graduirovki (1,...,1).
Poluchitsya kommutativnaja diagramma
gde poseredine stoit pryamaja summa neskol'kih ekzemplyarov
prostranstva regulyarnogo predstavlenija simmetricheskoj gruppy
ot N peremennyh. Teper' nashe tozhdestvo predstavlyaetsya
sledstviem linejnyh uslovij na obraz otobrazhenija sleva i
jadro otobrazhenija sprava; poslenie dolzhny poluchatsya
tozhdestvennymi preobrazovanijami iz aksiom coalgebry i
algebry Li, sootvetstvenno. Bol'she nichego ne mogu skazat'.
II. Svobodnaja bialgebra Li (vopros Kazhdana i Etingofa).
Chto takoe svobodnaja obychnaja algebra Li? Pust' napisano
nekotoroe vyrazhenie ot kommutatorov, opredelyajuschee
otobrazhenie L^{\otimes n} -> L dlya proizvol'noj algebry Li L.
Pust' takoe otobrazhenie ravno nulyu dlya lyuboj konkretnoj
algebry Li; togda sleduet li iz etogo, chto eto mozhno vyvesti
putem tozhdestvennyh preobrazovanij iz antikommutativnosti i
tozhdestva Jakobi? Kak govoril Kazhdan, eto kak by teorema
Gil'berta o nulyah: a^2=0 vlechet a=0, no eto nel'zya poluchit'
tozhdestvennymi preobrazovanijami. Otvet: sleduet, potomu chto
rassmotrim svobodnuju algebru Li ot n obrazujuschih x_i, gde n
- to zhe, chto i vyshe, i rassmotrim znachenie nashego
otobrazhenija na elemente
x_1\otimes x_2\otimes...\otimes x_n \in L^{\otimes n};
esli ono ravno nulyu, to eto tozhdestvo, poskol'ku svobodnaja
algebra Li opredelyaetsya kak faktor svobodnoj neassociativnoj
algebry po vsem tozhdestvam. K tomu zhe, svobodnaja algebra
Li nad Z ne imeet kruchenija, tak chto dlya vyrazhenij s celymi
koefficientami vse ravno dostatochno polej harakteristiki 0.
Dalee, dostatochno dazhe konechnomernyh algebr Li, poskol'ku
svobodnaja algebra Li approksimiruetsya konechnomernymi
faktoralgebrami po idealam elementov graduirovki bol'she
fiksirovannoj.
Teper' pust' imeetsya vyrazhenie ot kommutatorov i kokommutatorov,
opredelyajuschee otobrazhenie B^{\otimes m} -> B^{\otimes n} dlya
proizvol'noj bialgebry Li B. Pust' takoe otobrazhenie ravno nulyu
dlya lyuboj bialgebry Li, togda mozhno li eto poluchist'
tozhdestvennymi preobrazovanijami?
Otvet: da, potomu chto sootvetstvujuschaja "bol'shaja" bialgebra
Li mozhet byt' postroena sledujuschim obrazom. Pust' C - lyubaja
koalgebra Li (dlya prostoty, ne topologicheskaja, to est' prosto
C -> C\otimes C v samom naivnom smysle). Rassmotrim svobodnuju
algebru Li, porozhdennuju C kak vektornym prostranstvom,
oboznachaetsya Lie(C). Ja utverzhdaju, chto kokommutator na C
odnoznachno prodolzhaetsya na Lie(C), tak chto poluchaetsya
bialgebra Li. V samom dele, bialgebry Li opredelyajutsya tremya
aksiomami: tozhdestvo Jakobi dlya kommutatora, dvojstvennoe
tozhdestvo dlya kokommutatora, i aksioma soglasovanija (kocikla)
\delta([x,y])=ad(x)(\delta(y))-ad(y)(\delta(x)). Poslednjaja rovno
govorit, kak opredelit' \delta([x,y]); korrektnost' i co-Jakobi
mozhno proverit' javno. Teper' predlagaetsya rassmotret'
"kosvobodnuju" koalgebru Li C=co-Lie(V^*), porozhdennuju (skazhem,
konechnomernym) vektornym prostranstvom V^* v vide graduirovannogo
dvojstvennogo prostranstva k svobodnoj algebre Li, porozhdennoj V,
co-Lie(V^*)=Lie(V)^*, i dalee bialgebru Li B=Lie(co-Lie(V)).
My s Polischukom pridumali etomu takuju analogiju: imeetsya
algebraicheskaja struktura s dvumya operacijami; rassmatrivaetsya
lyuboj objekt po pervoj strukture i im porozhdaetsya svobodnyj
objekt po vtoroj strukture; chto mozhet poluchitsya? Rassmotrim,
naprimer, kol'co: esli vzyat' gruppu po slozheniju i porodit' ej
svobodnuju polugruppu po umnozheniju, to nichego horoshego ne
budet, no esli vzyat' polugruppu po umnozheniju i porodit'
svobodnuju gruppu po slozheniju, poluchitsya gruppovoe kol'co.
Zabavno, chto v nashem sluchae mozhno sdelat' i tak i tak:
v silu dvojstvennosti, kosvobodnaja koalgebra Li, porozhdennaja
lyuboj algebroj Li, dolzhna byt' tozhe bialgebroj Li. Teper'
u nas est' dazhe dve konstrukcii "bol'shoj" bialgebry: krome
Lie(co-Lie(V)), mozhno vzyat' co-Lie(Lie(V)). Mezhdu nimi
est' estestvennyj morfizm Lie(co-Lie(V)) -> co-Lie(Lie(V));
pol'zujas' sluchaem (napisanija etogo pis'ma), ja vchera
kak raz proveril, chto eto ne izomorfizm (obe veschi mozhno
konechnomerno prograduirovat' samym naivnym obrazom, skazav,
chto na V dejstvuet C^* tozhdestvennym harakterom i na etih
shtukah imeetsya inducirovannoe dejstvie, to est' pervye
komponenty graduirovki sut' V, vtorye \Lambda^2V + \Lambda^2V,
i t.d., razmernosti komponent v obeih algebrah, natural'no,
sovpadajut, no izomorfizm narushaetsya pri n=4, v chem mozhno
ubeditsya, vvedya bolee tonkuju bigraduirovku).
Zavershenie dokazatel'stva... mozhno bylo by opyat' ostavit'
v kachestve uprazhnenija chitatelyam; ja pochemu-to tak i ne
umeju proiznesnti ego do konca vpolne vnyatno. Dlya nachala,
vsyakoe vyrazhenie ot kommutatorov i kokommutatorov mozhno
perepisat', pol'zujas' aksiomoj kocicla, tak chtoby snachala
primenyalis' vse kokommutatory, a potom vse kommutatory.
Teper' nashe otobrazhenie B^{\otimes_m}->B^{\otimes n}
razlagaetsya v kompozitsiju
B^{\otimes m} -> \bigoplus_i B^{\otimes N_i} -> B^{\otimes n},
gde sleva kokommutatory, a sprava kommutatory. Voz'mem
B=Lie(co-Lie(V)) i ogranichim eto otobrazhenie na co-Lie(V);
togda levaja strelka proishodit vnutri co-Lie(V) i graduirovka
B po chislu kommutatorov razdelyaet raznye N_i. Teper' dlya
fiksirovannogo N_i=N voz'mem V = < x_1,...,x_N >, vvedem na nem
graduirovku so znachenijami v Z^N, i voz'mem ogranichenie
vseh otobrazhenij na komponenty graduirovki (1,...,1).
Poluchitsya kommutativnaja diagramma
Lie(co-Lie(V))^{\otimes m} ------> Lie(co-Lie(V))^{\otimes n}
....... A ...................................... |
....... | ...................................... |
co-Lie(V)^{\otimes m}_{1,...,1} --> ............ |
........ \bigoplus_i V^{\otimes N}_{1,...,1} ... V
................................ --> Lie(V)^{\otimes n}_{1,...,1}
gde poseredine stoit pryamaja summa neskol'kih ekzemplyarov
prostranstva regulyarnogo predstavlenija simmetricheskoj gruppy
ot N peremennyh. Teper' nashe tozhdestvo predstavlyaetsya
sledstviem linejnyh uslovij na obraz otobrazhenija sleva i
jadro otobrazhenija sprava; poslenie dolzhny poluchatsya
tozhdestvennymi preobrazovanijami iz aksiom coalgebry i
algebry Li, sootvetstvenno. Bol'she nichego ne mogu skazat'.
