Симметричное обобщение неоднородной квадратичной двойственности

[posic]

Развитие постскриптума к http://posic.livejournal.com/385751.html

Неоднородная квадратичная двойственность -- это антиэквивалентность категорий неоднородных кошулевых алгебр и кошулевых CDG-алгебр. В эту формулировку зашито утверждение теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта для неоднородных деформаций квадратичных кошулевых соотношений.

Можно ли обобщить эту двойственность до "симметричной" двойственности между двумя одинаковыми или похожими категориями -- условно говоря, неоднородных кошулевых CDG-алгебр? Мне кажется, давным-давно (лет 10 назад) этот вопрос мне задавал нынешний юзер hippie57. Как теперь ясно, ответ на этот вопрос положительный, с поправкой на некоторые тонкости.

Прежде всего, неоднородные кошулевы CDG-алгебры являются образованиями с двумя индексами -- размазанными не по прямой (в смысле целых чисел), а по плоскости (в смысле квадрата целых чисел). Хотя второй индекс может пробегать не Z, а Z/2Z.

Далее, самую обычную неоднородную кошулеву двойственность лучше все-таки формулировать как ковариантную эквивалентность категорий, связывающую неоднородные кошулевы алгебры и кошулевы CDG-коалгебры. Это позволяет избавиться от всех условий конечномерности векторных пространств. Проблема в том, что второй вариант -- соответствие между неоднородными кошулевыми коалгебрами и кошулевыми CDG-алгебрами -- имеет смысл только в предположении, что убывающая фильтрация на коалгебре обрывается, а квадратично двойственная кошулева алгебра, соответственно, имеет конечную гомологическую размерность. Если же условие конечности гомологической размерности не накладывать, то приходится накладывать условие конечномерности компонент. В остальном все работает.

Попросту, неоднородная кошулева CDG-алгебра -- это CDG-алгебра A, снабженная возрастающей фильтрацией F однородными подпространствами, согласованной с умножением и почти согласованной с дифференциалом: требуется, чтобы d(F_iA) содержалось в F_i+1A. Элемент кривизны h должен содержаться в F₂A, а элементы замены связности (на которые можно подкручивать CDG-структуру) -- в F₁A. Присоединенная биградуированная факторалгебра gr_FA должна быть кошулевой в градуировке n, приходящей из индексов фильтрации F. Тогда на gr_FA индуцируется структура CDG-алгебры с дифференциалом, повышающим градуировку n на единицу и элементом кривизны в градуировке n=2. По этим данным можно построить двойственную неоднородную кошулеву алгебру B или коалгебру C (не забыв сдвинуть когомологическую градуировку, как полагается при кошулевой двойственности). А исходная неоднородная кошулева CDG-алгебра A определяет CDG-структуру на B или C.

Comments

[hippie57.livejournal.com]

Лёня, сие всегда была мечта. Я уже забыл половину, но мне почему-то вспоминается, что этот вопрос связан с вопросом о том, как определить полубесконечную Кошулеву двойственность (скажем, для чего-то вродеэтих самых пар алгебра-коалгебра, сцепленные твистинг структурой).

[udod.livejournal.com]

"Попросту, неоднородная кошулева CDG-алгебра -- это CDG-алгебра A, снабженная возрастающей фильтрацией F однородными подпространствами, согласованной с умножением и почти согласованной с дифференциалом: требуется, чтобы d(FiA) содержалось в Fi+1A. Элемент кривизны h должен содержаться в F2A, а элементы замены связности (на которые можно подкручивать CDG-структуру) -- в F1A"

Где полный чайник может почитать про такое - у нас оно вылезает?

[posic.livejournal.com]

Начинать знакомство лучше со старой статьи "Неоднородная квадратичная двойственность и кривизна". Некоторое изложение буквально того, что описано в постинге, имеется в сегодняшней версии текста "Two kinds of derived categories, Koszul duality ...", выложенной на моей странице, см. недописанный раздел 6.8. Но оно очень краткое.

[udod.livejournal.com]

Отлично!

[udod.livejournal.com]

Я думал что Вы младше:). Вижу много нужных мне слов.

[posic.livejournal.com]

Я был почти вундеркиндом, но потерял много времени в более старшем возрасте :)

Хотя в этой статье в Функане написано все про CDG-алгебры, кривизну, и классы Чженя, собственно неоднородная квадратичная двойственность в такой общности, которая включала бы двойственность между дифференциальными операторами и комплексом де Рама (т.е., в относительной версии, над базовым кольцом) там корректно не прописана, а только обсуждается на примерах.

Если вам она понадобится, то ее можно найти во вводном разделе 0.4 к полубесконечному трактату или (лучше) в недописанном тексте "Nonhomogeneneous Koszul duality and D-\Omega", доступном с той же домашней страницы.

[udod.livejournal.com]

Ровно она мне и нужна + некая как-бы физика и александровская геометрия с помощью которой это наверно корректно дискретизируется уже на на симплициальные конечномерные комплексы. первые правильные есть.

[udod.livejournal.com]

* правильные формулы

[udod.livejournal.com]

Очень замечательно все это. ровно то что надо. Правда у меня все алгебры -\infty - алгебры, но это вроде бы тех же щей - пожиже влей.

[posic.livejournal.com]

Про связь A_\infty-алгебр с CDG-коалгебрами, а также про A_\infty-коалгебры с кривизной и их связь с CDG-алгебрами, кое-что написано в секции 7 препринта "Two kinds of derived categories..."

[udod.livejournal.com]

Чудно!