Основная гипотеза о мотивах Артина-Тейта
Mar. 15th, 2010 12:01 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть R -- одно из колец Z/m, Z, или Q, и L/F -- расширение Галуа полей. Рассмотрим в производной категории DM(F,R) мотивов над F с коэффициентами в R минимальную подкатегорию MT(F,L,R), содержащую мотивы R[K](i) полей K, промежуточных между F и L, с коэффициентами в R, подкрученные на мотивы Тейта R(i), и замкнутую относительно расширений. Из стандартных vanishing conjectures следует, что между объектами MT(F,L,R) нет отрицательных Ext'ов, так что это точная подкатегория в DM(F,A).
Если предполагать эти гипотезы, то основная гипотеза о мотивах Артина-Тейта утверждает, что Ext'ы в точной категории MT(F,L,R) такие же, как Ext'ы между теми же объектами в DM(F,R). Из этого следовало бы, что триангулированная подкатегория, порожденная MT(F,L,R) в DM(F,R), эквивалентна ограниченной производной категории MT(F,L,R). Если не предполагать vanishing, то основную гипотезу можно сформулировать, скажем, как гипотезу разложимости положительных Ext'ов между объектами MT(F,L,R) в категории DM(F,R) в композиции первых Ext'ов между теми же объектами в той же категории, или на эквивалентном языке глупых фильтраций.
Предположим, что расширение L/F конечно (достаточно рассматривать этот случай), и рассмотрим объект S в MT(F,L,R), равный прямой сумме R[K] по всем полям K, промежуточным между F и L (достаточно взять по одному представителю каждой орбиты действия группы Галуа L/F на промежуточных полях). Тогда из основной гипотезы следует, что градуированное кольцо диагональных Ext'ов с компонентами An = ExtDM(F,R)n(S,S(n)) квадратично. В трех случаях:
(1) когда характеристика F конечна и R = Q,
(2) когда char F = p и R = Z/pk,
(3) когда R = Z/m и поле F содержит первообразный корень m-й степени из единицы --
имеется точный критерий: основная гипотеза эквивалентна (в предположении более известных гипотез) тому, что кольцо A кошулево. При этом в целях проверки кошулевости можно заменить компоненту A0 на R (или на прямую сумму R по всем промежуточным полям).
Доводы в пользу основной гипотезы имеют ту же структуру, что и доводы в пользу соответствующей гипотезы для случая мотивов Тейта, т.е., когда L = F. Собственно, это те же доводы, что имеются в случае L = F и R = Q, для которого эта гипотеза была сформулирована в исходной статье Саши Б. Как известно, эти доводы состоят в том, что Ext'ов выше диагонали (где номер Ext'а равен весу) между мотивами Тейта нет, а диагональные Ext'ы образуют алгебру Милнора, которая квадратична. Помимо основной гипотезы, совершенно непонятно, с чего бы этому быть так.
В случае мотивов Артина-Тейта, ситуация чуть сложнее, чем в случае просто мотивов Тейта, и доводы имеют следующий вид.
1. Кажется, нетрудно проверить, что кольцо A порождено своей компонентой A1, и для этого нужно только знать, что алгебры Милнора полей порождены своими первыми компонентами. Важно только, что множество полей, мотивы которых мы рассматриваем, содержит вместе с любыми двумя полями K' и K'' все их композиты над F, т.е. прямые слагаемые тензорного произведения K'⊗FK''.
2. Условие квадратичности A, в противоположность предыдущему, совершенно нетривиально ив случае простого циклического расширения L/F содержит (почти целиком, точнее, в виде импликации "размерность ≥3 следует из размерности 2") утверждение теоремы Гильберта 90 для милноровских K-групп. Точнее, оно, видимо, эквивалентно подходящей форме последней теоремы.
3. Знакомые гипотезы о кошулевости милноровской K-теории по модулю l в простых циклических расширениях степени l влекут кошулевость алгебры A для такого расширения F/L, т.е., основную гипотезу в этой ситуации.
Надо бы добавить к этому списку разбор случаев группы Галуа Z/l2 и (что особенно интересно) Z/l×Z/l (начиная с гораздо лучше понятого случая l = 2).
23.03.2010. Update -- пункт 2 был ошибкой (которую я сделал еще в 90-х, но только теперь вижу, что это ошибка). Условие квадратичности гораздо слабее того, что нужно для теоремы Гильберта 90.
UUpdate: можно попробовать доказать, что если порядок группы Галуа L/F обратим в R, то основная гипотеза для L/F с коэффициентами в R эквивалентна основной гипотезе для L/L (т.е. для мотивов Тейта над L) с коэффициентами в R.
Если предполагать эти гипотезы, то основная гипотеза о мотивах Артина-Тейта утверждает, что Ext'ы в точной категории MT(F,L,R) такие же, как Ext'ы между теми же объектами в DM(F,R). Из этого следовало бы, что триангулированная подкатегория, порожденная MT(F,L,R) в DM(F,R), эквивалентна ограниченной производной категории MT(F,L,R). Если не предполагать vanishing, то основную гипотезу можно сформулировать, скажем, как гипотезу разложимости положительных Ext'ов между объектами MT(F,L,R) в категории DM(F,R) в композиции первых Ext'ов между теми же объектами в той же категории, или на эквивалентном языке глупых фильтраций.
Предположим, что расширение L/F конечно (достаточно рассматривать этот случай), и рассмотрим объект S в MT(F,L,R), равный прямой сумме R[K] по всем полям K, промежуточным между F и L (достаточно взять по одному представителю каждой орбиты действия группы Галуа L/F на промежуточных полях). Тогда из основной гипотезы следует, что градуированное кольцо диагональных Ext'ов с компонентами An = ExtDM(F,R)n(S,S(n)) квадратично. В трех случаях:
(1) когда характеристика F конечна и R = Q,
(2) когда char F = p и R = Z/pk,
(3) когда R = Z/m и поле F содержит первообразный корень m-й степени из единицы --
имеется точный критерий: основная гипотеза эквивалентна (в предположении более известных гипотез) тому, что кольцо A кошулево. При этом в целях проверки кошулевости можно заменить компоненту A0 на R (или на прямую сумму R по всем промежуточным полям).
Доводы в пользу основной гипотезы имеют ту же структуру, что и доводы в пользу соответствующей гипотезы для случая мотивов Тейта, т.е., когда L = F. Собственно, это те же доводы, что имеются в случае L = F и R = Q, для которого эта гипотеза была сформулирована в исходной статье Саши Б. Как известно, эти доводы состоят в том, что Ext'ов выше диагонали (где номер Ext'а равен весу) между мотивами Тейта нет, а диагональные Ext'ы образуют алгебру Милнора, которая квадратична. Помимо основной гипотезы, совершенно непонятно, с чего бы этому быть так.
В случае мотивов Артина-Тейта, ситуация чуть сложнее, чем в случае просто мотивов Тейта, и доводы имеют следующий вид.
1. Кажется, нетрудно проверить, что кольцо A порождено своей компонентой A1, и для этого нужно только знать, что алгебры Милнора полей порождены своими первыми компонентами. Важно только, что множество полей, мотивы которых мы рассматриваем, содержит вместе с любыми двумя полями K' и K'' все их композиты над F, т.е. прямые слагаемые тензорного произведения K'⊗FK''.
2. Условие квадратичности A, в противоположность предыдущему, совершенно нетривиально и
3. Знакомые гипотезы о кошулевости милноровской K-теории по модулю l в простых циклических расширениях степени l влекут кошулевость алгебры A для такого расширения F/L, т.е., основную гипотезу в этой ситуации.
Надо бы добавить к этому списку разбор случаев группы Галуа Z/l2 и (что особенно интересно) Z/l×Z/l (начиная с гораздо лучше понятого случая l = 2).
23.03.2010. Update -- пункт 2 был ошибкой (которую я сделал еще в 90-х, но только теперь вижу, что это ошибка). Условие квадратичности гораздо слабее того, что нужно для теоремы Гильберта 90.
UUpdate: можно попробовать доказать, что если порядок группы Галуа L/F обратим в R, то основная гипотеза для L/F с коэффициентами в R эквивалентна основной гипотезе для L/L (т.е. для мотивов Тейта над L) с коэффициентами в R.
