Мотивы Тейта над конечным полем с целыми коэффициентами

[posic]

Нашел в ящике стола бумажку года примерно 96-го. Переписываю в компьютер.

Как известно, K_2n(F_q) = 0 и K_2n-1(F_q) = μ_qⁿ-1^⊗n; очевидно, это означает, что H¹(F_q,Z(n)) = μ_qⁿ-1^⊗n при n > 0 и H^s(F_q,Z(n)) = 0 для n≠0, s≠1. Тот же ответ можно получить, посчитав H^s(F_q,Z(n)) через H^s(F_q,Q(n)) и H^s(F_q,Q/Z(n)). Переходя к прямому пределу, получаем K_2n-1(F_q) ≅ Q/(Z[q^-1]), где Фробениус Fr_Fq действует умножением на qⁿ.

а) Мотивы Тейта над F_q с Z[q^-1]-коэффициентами: категория конечно-фильтрованных конечно-порожденных абелевых групп (M,F) с убывающей фильтрацией F, где действие q на (M,F) обратимо, снабженных расщеплением М⊗_ZQ = gr_FM⊗_ZQ над Q.

б) Мотивы Тейта над F_q с Z-коэффициентами: категория фильтрованных абелевых групп (M,F), снабженных расщеплением M⊗_ZZ_(p) = gr_FM⊗_ZZ_(p) над локализацией Z_(p) кольца Z по простому идеалу pZ, где q = p^k.

в) Мотивы Тейта над F_q с Z[q^-1]-коэффициентами: категория фильтрованных абелевых групп (M,F) с обратимым действием q на (M,F) вместе с оператором φ: (M,F) → (M,F), таким что его действие на присоединенном факторе gr_Fⁱφ: gr_FⁱM → gr_FⁱM есть умножение на qⁱ.

г) Мотивы Тейта над F_q с Z-коэффициентами: категория фильтрованных абелевых групп (M,F) вместе с набором операторов φ⁽ⁱ⁾: FⁱM → FⁱM, таких что ограничение φ⁽ⁱ⁾ на F^jM есть q^j-iφ^(j) и действие φ⁽ⁱ⁾ на gr_F^jM есть умножение на q^j-i (где j≥i).

(Теперь хорошо бы еще мотивы Артина-Тейта над F_q c целыми коэффициентами в том же духе описать.)