Плоская кошулевость и замена базового кольца

[posic]

Да, действительно.

Пусть A -- неотрицательно градуированное кольцо, R=A₀ -- его нулевая компонента, и S->R -- морфизм колец. Предположим, что все компоненты A_n с n>0 являются плоскими левыми R-модулями и плоскими левыми S-модулями. Тогда кольцо
A = R ⊕ A₁ ⊕ A₂ ⊕ A₃ ⊕ ...
кошулево тогда и только тогда, когда кольцо
B = S ⊕ A₁ ⊕ A₂ ⊕ A₃ ⊕ ...
кошулево. Мне кажется, что я могу доказать это обычными решеточными методами в рамках того, что изложено в соответствующем начальном разделе книжки про квадратичные алгебры. (Не говоря об обходном категорном аргументе из http://posic.livejournal.com/381980.html .)

А мой научный руководитель А.Б. не верил в это (пятнадцать лет назад)! Впрочем, это-таки теорема, не тавтология. В смысле -- не прямое следствие определений, а утверждение, которое нужно доказывать.

P.S. Вот два примера.
1. Пусть R -- прямая сумма конечного числа копий основного поля k, кольцо A является алгеброй над k, S=k. Тогда из совсем простых решеточных соображений видно, что кошулевость алгебр A и B эквивалентна. Это и есть тот пример, который у меня был 15 лет назад.
2. Просто случайный пример: пусть A_n=R для всех n, так что A есть кольцо многочленов от одной переменной R[t]. Пусть при этом R -- алгебра над полем k=S. Тогда ясно, что алгебра A кошулева, и очевидное рассуждение с факторизацией по центральному элементу степени 1 показывает, что алгебра B кошулева.

Update: ну, или просто применить S ⊗_B^L R = (S ⊗_B^L A) ⊗_A^L R, как водится (вместо решеток).