Стриктификация
Jan. 9th, 2010 09:46 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть имеется тензорная категория, для простоты, без коммутативности, а только с ассоциативностью. Для еще большей простоты, можно предполагать, что это тензорная категория векторных пространств. Как заменить ее на эквивалентную тензорную категорию, в которой изоморфизм ассоциативности (U⊗V)⊗W ≅ U⊗(V⊗W) был бы тождественным отображением, т.е. имела бы место ассоциативность в форме не естественного изоморфизма, а просто равенства итерированных тензорных произведений?
Первая мысль, приходящая в голову неподготовленному человеку, глядящему на эту задачу, состоит в том, что мы развели слишком много векторных пространств. Содержательной разницы между (U⊗V)⊗W и U⊗(V⊗W) нет; есть казуистическое различие, происходящее из теоретико-множественных конструкций тензорных произведений. Хотелось бы все это отождествить. Двигаясь в этом направлении, человек закономерным образом приходит к идее поотождествлять все векторные пространства одинаковых размерностей, и считает это решением задачи стриктификации.
Это решение ошибочно. Построить ассоциативную тензорную категорию векторных пространств, содержащую по одному объекту каждой размерности, конечно, можно, но такая тензорная категория не может быть строгой. Почему -- объясняется в книжке "Категории для работающего математика" (конец параграфа 7.1).
Чтобы стриктифицировать тензорную категорию, надо не уменьшить, а увеличить количество объектов в каждом классе изоморфизма. Например, объявить объектами тензорной категории StrictVect формальные тензорные произведения векторных пространств V1⊗…⊗Vn, где n пробегает неотрицательные целые числа (см. параграф 11.3 той же книжки). Эта конструкция стриктификации использует теорему когерентности, утверждающую, что все изоморфизмы между кратными тензорными произведениями, индуцированные изоморфизмом ассоциативности между тройными произведениями, образуют коммутативные диаграммы, если пятиугольная диаграмма коммутативна.
Первая мысль, приходящая в голову неподготовленному человеку, глядящему на эту задачу, состоит в том, что мы развели слишком много векторных пространств. Содержательной разницы между (U⊗V)⊗W и U⊗(V⊗W) нет; есть казуистическое различие, происходящее из теоретико-множественных конструкций тензорных произведений. Хотелось бы все это отождествить. Двигаясь в этом направлении, человек закономерным образом приходит к идее поотождествлять все векторные пространства одинаковых размерностей, и считает это решением задачи стриктификации.
Это решение ошибочно. Построить ассоциативную тензорную категорию векторных пространств, содержащую по одному объекту каждой размерности, конечно, можно, но такая тензорная категория не может быть строгой. Почему -- объясняется в книжке "Категории для работающего математика" (конец параграфа 7.1).
Чтобы стриктифицировать тензорную категорию, надо не уменьшить, а увеличить количество объектов в каждом классе изоморфизма. Например, объявить объектами тензорной категории StrictVect формальные тензорные произведения векторных пространств V1⊗…⊗Vn, где n пробегает неотрицательные целые числа (см. параграф 11.3 той же книжки). Эта конструкция стриктификации использует теорему когерентности, утверждающую, что все изоморфизмы между кратными тензорными произведениями, индуцированные изоморфизмом ассоциативности между тройными произведениями, образуют коммутативные диаграммы, если пятиугольная диаграмма коммутативна.
no subject
Date: 2010-01-13 07:11 am (UTC)funktor C^I->C dlya vsyakogo linejno uporyadochennogo konechnogo mnozhestva I so strogoj
soglasovannost'u otnositel'no otobrazhenij I->J
(eto v monoidal'nom sluchae) ili, eshche proshche,
dlya (neiporyadochennogo) konechnogo mn-va I
(v simmetricheskom monoidal'nom sluchae).
V. Hinich