Как сказать по-английски "неопределенность"?

[posic]

В смысле, 0/0, 0⋅∞, ∞/∞, ∞-∞, 1^∞, ∞⁰, 0⁰, и т.д. Indefinite expression?

Upd: оказывается, indeterminate form.

Comments

[flaass.livejournal.com]

http://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form

[posic.livejournal.com]

О, спасибо.

[flaass.livejournal.com]

Заодно и сам узнал :)

[posic.livejournal.com]

А как вы это узнали, если раньше не знали?

[flaass.livejournal.com]

"правило лопиталя" - гугло шлет в русскую википедию, оттуда в английскую.

[posic.livejournal.com]

Нетривиально.

[avzel.livejournal.com]

Никогда не встречал (что, впрочем, ничего не значит). Я бы, наверное, просто написал "the expression ... is meaningless".

[posic.livejournal.com]

Я просто хотел узнать, как называется по-английски эта важная концепция из анализа. А вы не преподаете анализ? Или в современных курсах этого уже нет? Последнее было бы странно и огорчительно.

[avzel.livejournal.com]

Calculus иногда приходится преподавать (к счастью, редко, я этого страшно не люблю). Термин "indeterminate form" таки-да встречается при обсуждении пределов (в частности, правила Лопиталя), но мне неочевидно, что это - важная концепция. Студентов, вроде бы, нужно убедить в том, что сами по себе эти выражения лишены смысла, так что употреблять их не нужно. Вероятно, имел бы больше смысла термин "indeterminate case" для описания ситуаций, когда может возникнуть соблазн написать одно из этих бессмысленных выражений.

[posic.livejournal.com]

Мне кажется, дело не в том, имеет ли смысл выражение с символами типа 0 и ∞, а в том, что indeterminate form -- это формула, составленные из двух подформул, предел которой нельзя определить, зная только пределы подформул. В этом смысле имеет место "неопределенность" -- мы не знаем, чему равен предел (пока не посмотрим на сами подформулы, а не только их пределы). Важность же этой концепции, наверно, соответствует важности аналогичной школьной концепции "на ноль делить нельзя".

[avzel.livejournal.com]

Ну да: "sin(x)/x is an indeterminate form at 0, while 0/0 is a meaningless expression."

[gaz-v-pol.livejournal.com]

К слову, скажи, ты не знаешь, а является ли правило Лопиталя всесильным? Иными словами, предпложим есть предел вида 0/0, в котором и числитель и знаменатель являются элементарными функциями. Продифферецировали, получили опять 0/0. На практике если несколько раз продифференцировать, то рано или поздно получишь в знаменателе не 0. Спрашивается, а верно ли, что это всегда так?

[posic.livejournal.com]

Нет, неверно. Существуют ненулевые элементарные функции, имеющие все производные в некоторой точке, равные нулю. Примером, когда правило Лопиталя (в этом смысле) не срабатывает, был бы предел типа e^-1/x4/e^-1/x2 при x→0. Предел этот равен нулю, но правило Лопиталя этого не знает, поскольку сколько ни дифференцируй знаменатель, все равно у него в нуле ноль будет. Нужно только доопределить значения числителя и знаменателя по непрерывности нулем при х=0.

Еще проще привести пример элементарной функции, непрерывной, но не дифференцируемой в нуле -- скажем, функция "корень из x". Например, предел x^1/2/x^1/3 при x→0 равен нулю, но его нельзя посчитать по правилу Лопиталя, поскольку производные числителя и знаменателя в нуле уходят в бесконечность (и все высшие производные тем более). Более изощренный пример элементарной функции, непрерывной, но не дифференцируемой в нуле -- это xsin(1/x) (опять же надо доопределить по непрерывности нулем при x=0).

[gaz-v-pol.livejournal.com]

Да, верно, спасибо, posic!

Скажи, а вообще каким может быть предел элементарной функции? К примеру, можно ли подобрать неопределённость вида 0/0 из элементарных функций с рациональными коэффициентами, что предел равен 0,12345678910111213 (все натуральные числа подряд записаны) ?

[posic.livejournal.com]

Очевидно, во-первых, множество возможных пределов элементарных функций с рациональными коэффициентами в рациональных точках счетно, так что далеко не всякое вещественное число можно так получить. С другой стороны, среди не пределов даже, а просто значений элементарных функций c рациональными коэффициентами в рациональных точках полно трансцендентных чисел, начиная с e, натурального логарифма двух, десятичного логарифма двух, корня из двух в степени корень из двух, и т.д. Вообще же вопросы иррациональности и трансцендентности чисел сложны и мало изучены, например, наука не умеет доказывать иррациональность e+π, кажется.

А вот чем замечательно конкретное число, состоящее из всех натуральных чисел, подряд записанных в десятичной системе, и что про него известно -- я просто не знаю. В принципе, это похоже на элементарную задачу, с которой может повозиться любой владеющий школьной программой (или основами анализа) -- можно ли выразить это число в каком-то более аналитическом виде. Написать его как сумму ряда и попытаться свернуть. Я не пробовал, не знаю, что получится. Википедия и т.п. источники, наверно, об этом что-то знают, но я с ходу не соображу, как это там найти.

[gaz-v-pol.livejournal.com]

Хорошо, попробую спросить так. Расширяет ли операция взятия предела множество чисел, которые мы можем получить?

Формально:

1. Пусть А - множество значений f(0) элементарных функций с рациональными коэффициентами.

2. Пусть B - множество значений пределов вида f(x)/g(x), где f и g суть элементарные функции с рациональными коэффициентами, которые не определены в нуле, но их пределы в 0 равны 0.

Верно ли, что A = B ? Или же в B содержатся какие-то дополнительные числа, которых нет в A ?

[posic.livejournal.com]

Доказать, что B не равно A, было бы совершенно невозможной задачей на нынешнем уровне, мне кажется. Вопрос должен стоять, можно ли привести пример элемента B, про который не видно, почему бы он принадлежал A. Ответа на этот вопрос я не знаю.

[(Anonymous)]

0^0=1, shame on you

[posic.livejournal.com]

Аноним, у нас тут теория пределов, а не многочленов и степенных рядов. В теории меры вон 0⋅∞=0, как подсказывает нам Википедия.

[(Anonymous)]

ambiguity?