![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicС чем он связан по значению и с чем не связан?
Можно сказать по-русски "производный феномен" или что-нибудь подобное, в общегуманитарном смысле слова, вовсе не имея в виду никакой математики. В финансах есть термин "деривативы", и т.д. В финансах я не разбираюсь, но за производную категорию могу объяснить.
Читатель моих блогов, получивший университетское образование, но не являющийся математиком, может воображать, что "производная категория" имеет какое-то отношение к понятию "производной от функции", которое ему преподавали в институте. Чтобы завершить путаницу, в моих постингах можно также встретить словосочетание "производный функтор". Тут уж, конечно, не остается никаких сомнений, что "производный функтор" -- это какая-то навороченная версия той производной от функции, что в институте проходили.
Сомнений может не оставаться, но вывод ошибочен. Навскидку, вот четыре омонимических значения прилагательного "производный/ая/ое", встречающихся в математике (я думаю, что на самом деле их больше):
1. производная от функции (дальше идут вторая-третья-... и т.д. производная; частная производная; обратная операция -- первообразная, известная также как интеграл, и т.д.)
2. производная группа (коммутант)
3. производное множество (множество предельных точек)
4. производная категория (дальше в ту же степь производный функтор).
Пункты 2. и 3., как я понимаю, образованы от пункта 1. по аналогии в видах удобства обозначений. Есть общеизвестные обозначения для второй, третьей и т.д. производных -- штрихи сверху справа от буквы, циферка или буковка в скобочках сверху справа, и т.д.
Чтобы применять такие же обозначения к итерированным коммутантам (которые важны в контексте понятия разрешимой группы, в теории Галуа и задаче о разрешимости полиномиальных уравнений в радикалах) и к итерированным множествам предельных точек (которые рассматриваются в теории функций действительного переменного и общей топологии), люди стали обозначать эти операции, как производную от функции, и называть тоже "производными".
Это у меня такая фольк-этимология; она кажется мне правдоподобной. Истории вопроса я не изучал; если что, пусть специалисты меня поправят.
С пунктом 4. еще интереснее. Никаких вторых производных категорий (производных категорий от производных категорий) или вторых производных функторов (производных функторов от производных функторов) никто никогда не рассматривает, насколько я могу об этом судить.
Понятие о "частном производном функторе" имеет смысл для функтора нескольких аргументов (хотя я не видел, чтобы его так называли в литературе), но во всех классических примерах функторов двух аргументов, производный функтор по первому аргументу совпадает с производным функтором по второму аргументу. То есть, неожиданное для мат. анализа уравнение типа ∂f/∂x = ∂f/∂y выполнено в большинстве случаев.
(В редких сложных случаях, когда оно не выполнено, вы, конечно, предпочтете довести процесс взятия производного функтора до конца и работать с полноценным производным функтором типа ∂2f/∂x∂y.)
Обозначения для производных функторов, конечно, не те, что в двух предыдущих абзацах, а совершенно другие. Я их здесь не выписываю.
По содержанию соответствующих понятий, ни производная категория, ни производный функтор не имеют к производной от функции никакого отношения. Единственный общий элемент семантики прилагательного "производный" в словоупотреблениях 1. и 4. в списке выше можно усмотреть на общегуманитарном уровне. Та и другая производная суть "производные феномены" от соответствующих исходных феноменов, в самом расплывчатом и неконкретном смысле слова. Никакой другой связи или аналогии между 1. и 4. нет.
...Главное, что надо понимать про математическую терминологию -- это что понятий в математике намного больше, чем подходящих к ним слов в естественном языке. Поэтому (а) омонимия цветет и пахнет и/или (б) в роли точных терминов используются длиннейшие словосочетания.
Я в своих терминологических решениях обычно предпочитаю опцию (б). Поэтому у меня речь идет о "контрапроизводной категории W-локально контрагерентных копучков локально кокручения на квазикомпактной полуотделимой схеме X" и т.п. нагромождениях слов и букв.
Можно сказать по-русски "производный феномен" или что-нибудь подобное, в общегуманитарном смысле слова, вовсе не имея в виду никакой математики. В финансах есть термин "деривативы", и т.д. В финансах я не разбираюсь, но за производную категорию могу объяснить.
Читатель моих блогов, получивший университетское образование, но не являющийся математиком, может воображать, что "производная категория" имеет какое-то отношение к понятию "производной от функции", которое ему преподавали в институте. Чтобы завершить путаницу, в моих постингах можно также встретить словосочетание "производный функтор". Тут уж, конечно, не остается никаких сомнений, что "производный функтор" -- это какая-то навороченная версия той производной от функции, что в институте проходили.
Сомнений может не оставаться, но вывод ошибочен. Навскидку, вот четыре омонимических значения прилагательного "производный/ая/ое", встречающихся в математике (я думаю, что на самом деле их больше):
1. производная от функции (дальше идут вторая-третья-... и т.д. производная; частная производная; обратная операция -- первообразная, известная также как интеграл, и т.д.)
2. производная группа (коммутант)
3. производное множество (множество предельных точек)
4. производная категория (дальше в ту же степь производный функтор).
Пункты 2. и 3., как я понимаю, образованы от пункта 1. по аналогии в видах удобства обозначений. Есть общеизвестные обозначения для второй, третьей и т.д. производных -- штрихи сверху справа от буквы, циферка или буковка в скобочках сверху справа, и т.д.
Чтобы применять такие же обозначения к итерированным коммутантам (которые важны в контексте понятия разрешимой группы, в теории Галуа и задаче о разрешимости полиномиальных уравнений в радикалах) и к итерированным множествам предельных точек (которые рассматриваются в теории функций действительного переменного и общей топологии), люди стали обозначать эти операции, как производную от функции, и называть тоже "производными".
Это у меня такая фольк-этимология; она кажется мне правдоподобной. Истории вопроса я не изучал; если что, пусть специалисты меня поправят.
С пунктом 4. еще интереснее. Никаких вторых производных категорий (производных категорий от производных категорий) или вторых производных функторов (производных функторов от производных функторов) никто никогда не рассматривает, насколько я могу об этом судить.
Понятие о "частном производном функторе" имеет смысл для функтора нескольких аргументов (хотя я не видел, чтобы его так называли в литературе), но во всех классических примерах функторов двух аргументов, производный функтор по первому аргументу совпадает с производным функтором по второму аргументу. То есть, неожиданное для мат. анализа уравнение типа ∂f/∂x = ∂f/∂y выполнено в большинстве случаев.
(В редких сложных случаях, когда оно не выполнено, вы, конечно, предпочтете довести процесс взятия производного функтора до конца и работать с полноценным производным функтором типа ∂2f/∂x∂y.)
Обозначения для производных функторов, конечно, не те, что в двух предыдущих абзацах, а совершенно другие. Я их здесь не выписываю.
По содержанию соответствующих понятий, ни производная категория, ни производный функтор не имеют к производной от функции никакого отношения. Единственный общий элемент семантики прилагательного "производный" в словоупотреблениях 1. и 4. в списке выше можно усмотреть на общегуманитарном уровне. Та и другая производная суть "производные феномены" от соответствующих исходных феноменов, в самом расплывчатом и неконкретном смысле слова. Никакой другой связи или аналогии между 1. и 4. нет.
...Главное, что надо понимать про математическую терминологию -- это что понятий в математике намного больше, чем подходящих к ним слов в естественном языке. Поэтому (а) омонимия цветет и пахнет и/или (б) в роли точных терминов используются длиннейшие словосочетания.
Я в своих терминологических решениях обычно предпочитаю опцию (б). Поэтому у меня речь идет о "контрапроизводной категории W-локально контрагерентных копучков локально кокручения на квазикомпактной полуотделимой схеме X" и т.п. нагромождениях слов и букв.
no subject
Date: 2025-12-23 11:45 pm (UTC)no subject
Date: 2025-12-23 11:46 pm (UTC)В выражении "копучок кокручения" сложная грамматика. Не разбираясь в лингвистике, не знаю толком, как объяснить. Попробую сказать так: слово "кокручения" здесь -- существительное как бы в грамматической роли прилагательного. Оно выражает свойство, факт принадлежности данного копучка к некоторому классу копучков. Скажем, есть параллельное понятие "(локально) контраприспособленный копучок" (я упрощаю, опуская слова "контрагерентный" или "локально контрагерентный"; но пусть его, и так слишком сложно). Вот существительное "кокручения" выступает здесь в той же грамматической роли, что и прилагательное "контраприспособленный".
В общем, на уровне полузабытого школьного понятия о членах предложения, слово "кокручения" здесь -- определение.
Совсем грубо говоря, нагляднее и проще было бы писать по-русски "кокрученый копучок" вместо "копучок кокручения"; но из соображений, что возвышенный штиль в научном тексте лучше приниженного, я пишу "копучок кокручения". Слово "локально" здесь -- как бы определение определения, поэтому взято наречие вместо прилагательного -- "копучок локально кокручения". Также как "локально контраприспособленный копучок".
В английском проще, там нет такого барьера между существительными и прилагательными, как в русском, и инверсия порядка слов не нужна. Locally cotorsion contraherent cosheaf, locally contraadjusted contraherent cosheaf.
no subject
Date: 2025-12-24 02:22 pm (UTC)Мне видится разница между этими случаями. По-моему, соотношение между пределами в анализе и пределами в теории категорий является в намного большей степени (более-менее прозрачной) аналогией. В то время, как соотношение между производными в анализе и производными категориями/функторами в гомологической алгебре является в большей степени математической омонимией, никакой существенной аналогии не подразумевающей.
Иначе говоря, конечно, пределы в анализе и пределы в теории категорий могли бы называться разными словами, но это означало бы существенную потерю наглядности терминологии. В то же время, называние производных в анализе и производных категорий/функторов в гомологической алгебре одним и тем же словом -- в большей степени историческая случайность. Они могли бы называться разными словами без всякой потери наглядности.
For what it's worth, вот конкретный пример, достаточно очевидный, когда предел в теории категорий совпадает с пределом в анализе. Рассмотрим упорядоченное множество всех вещественных чисел, и свяжем с ним категорию обычным образом. То есть, объекты категории суть вещественные числа, единственный морфизм из x в y существует, когда x меньше либо равно y, иначе множество морфизмов из x в y пусто. Тогда предел нестрого возрастающей последовательности вещественных чисел в смысле мат. анализа -- это то же самое, что индуктивный предел этой последовательности в смысле теории категорий. А предел нестрого убывающей последовательности вещественных чисел в смысле мат. анализа -- это то же самое, что проективный предел этой последовательности в смысле теории категорий.