Теоретическая и нетеоретическая теория представлений: мой личный опыт

[posic]

Мои личные впечатления от изучения и попыток работы в теории представлений хорошо укладываются в оппозицию "теоретичности/нетеоретичности", описанную Ю.Н. -- http://posic.livejournal.com/354905.html

Я начинал свои занятия "серьезной" математикой с изучения теории алгебраических групп и алгебр Ли по книжке Винберга и Онищика, но потом переместился в гомологическую алгебру. Причины этому, как я их вижу, были следующими.

Одно дело классифицировать конечномерные полупростые группы и алгебры Ли в терминах произвольно выбранной картановской и борелевской подгрупп/подалгебр (которые все сопряжены, так что от произвольного выбора ничего не зависит -- аспект, подчеркиваемый в стандартных изложениях). И далее, классифицировать представления в терминах старших весов -- имея в виду, что точно так же их можно классифицировать и в терминах младших весов или, более общо, старших весов относительно любой другой борелевской.

Другое дело, определять образующими и соотношениями какую-нибудь бесконечномерную алгебру Каца-Муди, заранее и навсегда фиксируя треугольное разложение. И далее, рассматривать модули старшего веса, не имеющие ничего общего с модулями младшего веса. И уже окончательно сужать общность, ограничиваясь аффинными алгебрами Ли, определение которых сводится по существу (как верно замечает Ю.Н.) к конкретному списку.

В конце концов, непреодолимое ощущение эстетической неудовлетворительности описанного в последнем абзаце остановило мои попытки продвинуться в теории представлений дальше конечномерного случая. Даже в конечномерном случае, меня до сих пор задевает характерное обсуждение, например, многообразия флагов как факторпространства G/B и т.п. В своей единственной собственной работе на эту тему, я старательно определял многообразие флагов как многообразие борелевских подгрупп, многообразия неполных флагов как многообразия параболических подгрупп определенных типов, и т.д. Это ощущение (усиливающегося, по мере продвижения вперед) разрыва между сложившимся стилем и моими эстетическими предпочтениями предопределило мой уход из теории представлений.

Одним из последних моих усилий в попытке пробиться были размышления о том, как можно было бы определить абстрактное понятие бесконечномерной группы. До литературы на эту тему я не добрался, но не столько какое-либо понимание, сколько просто ощущение проблематичности этого понятия у меня сформировалось.

... С тех пор прошло пятнадцать лет. Сейчас, с моей очень узкой точки зрения (вероятно, сильно отличающейся от точки зрения специалистов по теории представлений), ситуация в бесконечномерной теории представлений уже выглядит, по моим критериям, лучше, чем то, что описывает Ю.Н. Определение понятия тейтовской пары Хариш-Чандры не сводится к конкретному списку. Про произвольные модули над произвольными такими парами можно доказывать теоремы, хотя бы и очень общего характера. Возможность сказать "тогда" имеется. Теоретический подход возможен.

Конечно, пара Хариш-Чандры есть менее симметричный объект, чем просто группа или алгебра Ли, тут уж ничего не поделаешь. Это делает соответствующую теорию более навороченной и запутанной, чем более симметричные варианты; это же, насколько сейчас представляется, порождает специфический феномен полубесконечной гомологической алгебры. Но все-таки это понятие не сводится к списку из трех случаев. Оно является возможным объектом для приложения способностей теоретика.

... Нельзя не признать, что мой текст на эту тему является типичным примером "текста, значительно более сложного, чем его содержание" -- http://posic.livejournal.com/355547.html Возможно, такова неизбежная участь любой чисто теоретической работы в нашу перенасыщенную теориями математическую эпоху, но своих базовых инстинктов не переменишь.

Comments

[hippie57.livejournal.com]

Общефилософскую часть я комментировать не буду, но "произвольная бесконечномерная группа Ли", как и "бесконечномерное многообразие" для меня вещи не слишком абстрактные, а недоопределенные, ты прекрасно сам знаешь, что бесконечномерных пространств не бывает. И бесконечномерных многообразий не бывает. Вот когда ты скажешь, какую конкретную версию бесконечномерной линейной алгебры ты рассматриваешь, тут же "подсосется" (словечко Капранова) определение бесконечномерного нелинейного объекта. Если структура, которую ты фиксировал, достаточно жесткая, и группа Ли будет осмысленным понятием, и теория представлений будет интересная.

[posic.livejournal.com]

Ты не рассуждай общефилософски, а прямо скажи, в чем состоит определение бесконечномерной группы, связанной с бесконечномерными дискретными векторными пространствами, например. А также, в каком смысле является бесконечномерной группой группа, связанная с произвольной алгеброй Каца-Муди, или группа бесконечных матриц. И из чего состоит соответствующая категория представлений. Тут-то мы и увидим, есть ли на свете что-нибудь помимо тейтовских пар Хариш-Чандры, с твоей точки зрения.

Постинг же мой не содержит общефилософской части, а содержит описание моих личных впечатлений, по большей части довольно старых, а также вкусов и пристрастий (мало изменившихся).

[hippie57.livejournal.com]

Насчёт Тейтовских пар Хариш-Чандры, я совершенно согласен, что это основополагающее определение, но для порядка замечу, что у аффинных алгебр, например, бывают конечномерные представления, которые совершенно перпендикулярны науке про категорию О. Главное же -- любая теория представлений (в отличие от общей алгебры) занимается специфическими объектами (далеко не любая группа, далеко не любая алгебра Ли и т.д.) и специфическими абелевыми категориями, с ними связанными (далеко не любые модули и т.п.) И это просто потому, что общий вопрос про общую структуру бесконечно сложен дробь бессодержателен. Кстати, локальный Ленглендс в понимании Бейлинсона -- это изучение категории ВСЕХ дискретных (то есть интегрируемых относительно сколь угодно глубоко лежащей половинной подалгебры) представлений аффинной алгебры Ли. Естественно, это гораздо сложнее изучения категории О.

[posic.livejournal.com]

> для порядка замечу, что у аффинных алгебр, например, бывают конечномерные представления, которые совершенно перпендикулярны науке про категорию О.

Что это значит? Я думал, аффинная алгебра не имеет конечномерных факторалгебр, и следовательно, не может иметь нетривиальных конечномерных представлений. Т.е. я не понимаю, о чем идет речь.

Далее, я не сомневаюсь, что огорча(вш,ющ)ему меня положению дел в этой науке есть свои причины.

А представления, интегрируемые относительно глубоко лежащей половинной подалгебры -- это частный случай модулей Хариш-Чандры над тейтовской парой Хариш-Чандры, и как таковой для меня с моей нынешней точки зрения как раз и ничем не сложнее категории O.

Наконец, ты не ответил на мой вопрос, но я сам придумал ответ: можно рассмотреть инд-объекты в категории конечномерных алгебраических групп и их представления, интегрируемые на каждый конечномерный кусок. Я, конечно, не знаю, есть ли такая наука и как она выглядит.

[hippie57.livejournal.com]

Ну если твои петли -- полиномиальные (Лорана), то можно подставлять в полином любое значение, будет отображение в конечномерную алгебру Ли, у той можно брать представления, поднимать на аффинную алгебру. Конечно, такие представления неградуированы. Групповые инд-схемы типа тех, которые ты определил, имеют смысл, например, бесконечные матрицы с конечным числом ненулевых элементов вне диагонали. Таким занимается, например, Пенков. Насчёт того, вписываются ли дискретные модули в Тейтовский формализм, конечно, вписываются, кто бы спорил, проблема в том, что до сих пор задача теории представлений (описать -- что? неприводимые? разложение на блоки? ...) для такой "большой" категории не ставилась. Соответствующая задача для конечномерной простой алгебры Ли в каком-то виде решена Бейлинсоном: модули над универсальной обертывающей с нулевым центральным характером -- это Д-модули на флагах.

[posic.livejournal.com]

Все понятно, да. Спасибо.

[sasha-br.livejournal.com]

Теория представлений за последние годы тоже претерпела большие изменения. Есть очень мало содержательных задач, цель
которых есть классифицировать какие-нибудь представления.
Вот, например, геометрический Лэнглендс люди традиционно относят к теории представлений, но там ничего такого нет.
Бесконечномерного тоже ничего нет, я тут с hippie согласен -- есть петли, возможно двойные петли.
При этом если вернуться к Неретину, то нельзя не отметить, что Гельфанд, Наймарк, Пятецкий и т.д. занимались в среднем
более содержательными вещами, чем Дынкин и компания.
Для меня теория представлений интересна как некое место, где можно тестировать методы и конструкции из других математических
областей. Нечто вроде лаборатории.

[posic.livejournal.com]

Как мне показалось, современная теория представлений занимается построением эквивалентностей между абелевыми или триангулированными категориями пучков/модулей, связанными с геометрическими/алгебраическими объектами, происходящими из конечномерных полупростых групп.

"Бесконечномерная группа", конечно, бессодержательное понятие; в самом лучшем случае, можно говорить о конкретных категориях таких групп и характерных примерах объектов этих категорий. Да и это означает очень "теоретическую" и абстрактную точку зрения. Но для меня нет разницы между понятиями "Вирасоро" и "Z-градуированная алгебра Ли с конечномерными компонентами", так уж жизнь сложилась.

Я не сомневаюсь, что нетеоретический подход к математике, упирающийся скорее в примеры, чем в концепции, излюбленный и пропагандированный Гельфандом, имеет свои преимущества. Он закономерен в теории представлений в той мере, в которой простые объекты, будучи классифицированы, образуют некий список. Гельфанд правильно говорил, что основания у любой области появляются к тому времени, когда она уже во многом закончена. Просто я предпочитаю демонстрировать простоту сложного, а вскрывающаяся сложность простого меня только огорчает.

Я, конечно, тоже использую теорию представлений как источник и место приложения гомологических идей. Как и всю остальную математику, впрочем.