Двадцать четыре года назад: "Математика: Упорные люди бывают, не то, что я"

[posic]

https://posic.dreamwidth.org/3412.html

Обмен математическими комментами под этим постингом -- https://posic.livejournal.com/3340.html?thread=8972#t8972

Без года четверть века пролетела, и как все переменилось! Моя работа, о которой здесь шла речь, была в основном написана осенью 2008 -- весной 2009 годов, и вышла из печати в виде мемуара Американского мат. общества летом 2011 года. Мой авторский обзор по этой работе вышел из печати в 2023 году.

Люди, с которыми я обсуждал в Москве производную кошулеву двойственность в начале 90х годов, так и не выучили содержание ЖЖ-коммента 2001 года про спектральные последовательности по ссылке, не говоря уже о работе Эйленберга-Мура 1962 года, которую этот коммент пересказывал. Я уверен, что не выучили (а что, на самом деле кто-то выучил? приведите контрпример!) Несмотря на то, что я писал об этом прямо в первых строках введения к мемуару 2011 года и т.д. Ну, что ж, нет так нет. Значит, не надо им.

Годы прошли, и оказалось, что упорства мне не занимать. Что-то обнаружится еще через четверть века, чего я не понимаю про себя сейчас?

Comments

[posic]

> Это, типа, универсальный формализм для спекральных последователностей?

"Так буквально, это вряд ли. Скорее, универсальный формализм для кошулевой двойственности.

Тем не менее, спектральные последовательности там весьма при чем. Дело обстоит так: принято полагать, что, мол, если повезет, спектральная последовательность сходится, а если не повезет -- расходится, и тут уж ничего не поделаешь.

На самом деле, спектральная последовательность фильтрованного комплекса никогда не "расходится" в том смысле, в котором может расходиться -- т.е., не иметь никакого предела -- последовательность чисел. Даже всегда известно, куда сходится с.п.ф.к.: к гомологиям пополнения исходного комплекса относительно его фильтрации. Т.е., точнее сказать, для того, чтобы спектралка сходилась к когомологиям исходного комплекса нужно, чтобы фильтрация была исчерпывающей в том направлении, в котором она возрастает, и чтобы комплекс был полон в том направлении, в котором она убывает.

Вышесказанное верно с одной оговоркой: там могут быть тонкие эффекты, связанные с неточностью функтора обратного предела, и как с ними бороться, вообще говоря, неизвестно. Но на практике, когда человек, разводя руками, говорит, что мол спектралка расходится и ничего тут не поделаешь, -- это, как правило, всего лишь означает, что у него комплекс с убывающей фильтрацией; с нулевым пересечением, разумеется; однако не полный. При этом спектралка очень даже сходится -- просто она сходится к когомологиям другого комплекса, а именно, пополнения.

Литература: Eilenberg, Moore. Limits and spectral sequences. Topology 1, 1962."

[posic]

> Спасибо. Так, конечно,
не очень понятно о каких Козюлях,
фильтрациях и пополнениях речь.
Надеюсь, Вы запишите.
Часто приходися мечтать об эффективной хирургии
спетралок. Де вот умный построит,
я свои прокручу и в кассу :).