![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть A → B -- гомоморфизм коммутативных колец, пусть С и D -- коммутативные алгебры над кольцом B, и пусть f: C → D -- их гомоморфизм как алгебр над кольцом A (но не над кольцом B). Тогда, вопреки изложению в EGA, нет никакого способа построить по f отображение квазикогерентных пучков алгебр над Spec B, соответствующих B-алгебрам C и D. В смысле, не обязательно B-линейный, но даже A-линейный гомоморфизм пучков колец на Spec B соответствующих построить нельзя.
В самом деле, пусть b ∈ B -- какой-то элемент, и пусть U = Spec B[b−1] -- соответствующая главная аффинная открытая подсхема в Spec B. Тогда кольца сечений наших двух пучков колец на Spec B над аффинной открытой подсхемой U ⊂ B суть C[b−1] и D[b−1]. Если гомоморфизм f: C → D не обязан переводить образ элемента b в C в образ элемента b в D, то f индуцирует гомоморфизм колец C[b−1] → D[f(b)−1], а гомоморфизм колец C[b−1] → D[b−1] построить по f нет никакой возможности.
Утверждение [EGA, Proposition IV.16.5.2] верно, конечно; оно несложное. У меня есть технология доказательства таких вещей. На этой почве я заинтересовался случайно замеченной в EGA пропозицией, в том плане, что у Гротендика это получается проще, чем у меня, и не надо ли сослаться. Но на данный момент вывод состоит в том, что доказательство этого утверждения в EGA ошибочно.
Свести понятие о дифференцировании (derivation) к понятию о гомоморфизме колец -- можно. Это сводит разрешимую в общем виде задачу о локализации дифференцирований к неразрешимой в общем виде задаче о локализации гомоморфизмов. Потому что инфинитезимальные гомоморфизмы колец локализуются, даже если они нелинейны, а настоящие нелинейные гомоморфизмы колец не локализуются.
Никаких упоминаний об этой ошибке я в интернете не нашел. Однако, нашлось упоминание другой и, видимо, гораздо более содержательной ошибки в EGA IV, которую признал в другой публикации Гротендик, а потом исправили Рэйно и Грюзон (допустив, в свою очередь, ошибку, которую позже исправил Перри) -- https://mathoverflow.net/questions/10731/possible-formal-smoothness-mistake-in-ega
В самом деле, пусть b ∈ B -- какой-то элемент, и пусть U = Spec B[b−1] -- соответствующая главная аффинная открытая подсхема в Spec B. Тогда кольца сечений наших двух пучков колец на Spec B над аффинной открытой подсхемой U ⊂ B суть C[b−1] и D[b−1]. Если гомоморфизм f: C → D не обязан переводить образ элемента b в C в образ элемента b в D, то f индуцирует гомоморфизм колец C[b−1] → D[f(b)−1], а гомоморфизм колец C[b−1] → D[b−1] построить по f нет никакой возможности.
Утверждение [EGA, Proposition IV.16.5.2] верно, конечно; оно несложное. У меня есть технология доказательства таких вещей. На этой почве я заинтересовался случайно замеченной в EGA пропозицией, в том плане, что у Гротендика это получается проще, чем у меня, и не надо ли сослаться. Но на данный момент вывод состоит в том, что доказательство этого утверждения в EGA ошибочно.
Свести понятие о дифференцировании (derivation) к понятию о гомоморфизме колец -- можно. Это сводит разрешимую в общем виде задачу о локализации дифференцирований к неразрешимой в общем виде задаче о локализации гомоморфизмов. Потому что инфинитезимальные гомоморфизмы колец локализуются, даже если они нелинейны, а настоящие нелинейные гомоморфизмы колец не локализуются.
Никаких упоминаний об этой ошибке я в интернете не нашел. Однако, нашлось упоминание другой и, видимо, гораздо более содержательной ошибки в EGA IV, которую признал в другой публикации Гротендик, а потом исправили Рэйно и Грюзон (допустив, в свою очередь, ошибку, которую позже исправил Перри) -- https://mathoverflow.net/questions/10731/possible-formal-smoothness-mistake-in-ega
