Горенштейновость кошулево самодвойственна
Nov. 12th, 2009 08:55 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posicПусть A и B -- две двойственные кошулевы алгебры. Тогда между подходящими производными категориями градуированных A- и B-модулей есть антиэквивалентность, переводящая свободные модули в тривиальные и обратно, т.е. A<->k и k<->B. Таким образом, ExtA(k,A) = ЕxtB(k,B). Биградуировка на Ext'ах при этом как-то там трансформируется, конечно.
В случае кошулевой алгебры A и квадратично двойственной к ней кошулевой коалгебры C, это будет ковариантная эквивалентность категорий и происходящий из нее изоморфизм ExtA(k,A) = ExtC(C,k).
Вот и вся недолга, приблизительно. Отчего и почему на изобретение такой простой вещи у меня ушло пятнадцать лет?
P.S. Отсюда следует, в частности, что ExtA(k,A)=0 и для внешней алгебры А от бесконечного числа переменных тоже, т.е. внешняя алгебра от бесконечного числа переменных похожа на симметрическую алгебру от бесконечного числа переменных в этом отношении. При этом если этот самый Ext для симметрической алгебры от бесконечного числа переменных есть "одномерное пространство в когомологической и внутренней градуировках ∞", то для внешней алгебры от бесконечного числа переменных это "одномерное пространство в когомологической градуировке 0 и внутренней градуировке ∞".
В случае кошулевой алгебры A и квадратично двойственной к ней кошулевой коалгебры C, это будет ковариантная эквивалентность категорий и происходящий из нее изоморфизм ExtA(k,A) = ExtC(C,k).
Вот и вся недолга, приблизительно. Отчего и почему на изобретение такой простой вещи у меня ушло пятнадцать лет?
P.S. Отсюда следует, в частности, что ExtA(k,A)=0 и для внешней алгебры А от бесконечного числа переменных тоже, т.е. внешняя алгебра от бесконечного числа переменных похожа на симметрическую алгебру от бесконечного числа переменных в этом отношении. При этом если этот самый Ext для симметрической алгебры от бесконечного числа переменных есть "одномерное пространство в когомологической и внутренней градуировках ∞", то для внешней алгебры от бесконечного числа переменных это "одномерное пространство в когомологической градуировке 0 и внутренней градуировке ∞".
