Про математическую строгость - 2
Apr. 6th, 2025 12:23 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
posichttps://yigal-s.livejournal.com/1782843.html
Еще одна ветка из той же дискуссии, четыре коммента:
"Полная индукция — это метод математического доказательства, позволяющий доказывать вещи, без доказательства неочевидные.
Формула для корней квадратного уравнения вообще не требует доказательства как такового. Она не доказывается, а выводится. Это не математическое доказательство, а физический вывод формулы с помощью несложных выкладок, символьных преобразований."
***
"Как я понимаю предмет обсуждения (и цель обсуждаемого курса/учебника) — речь идет исключительно о том, как научить студентов понятию о математическом доказательстве. Дальнейшие сложности находятся на более высоком уровне и к предмету обсуждения не относятся."
***
> У меня подозрение, что одним понятие о математическом доказательстве дается даром, а другие принципиально не понимают, что это такое, сколько их не учить.
"Понятие о математическом доказательстве может даваться даром при наличии подходящего учебного материала, на котором оно могло бы сформироваться.
Условно говоря, если ребенок вообще не ходил в школу, а провел все детство, помогая родителям ловить рыбу — на мой скромный взгляд, в этом нет/не было бы ничего плохого, но понятие о математическом доказательстве у такого ребенка до поступления в университет не сформируется независимо от наличия врожденных способностей. Некоторые современные школы по качеству преподавания математики могут быть еще хуже, чем отсутствие школы.
Школьная планиметрия является умеренно подходящим материалом для формирования понятия о математическом доказательстве (смысл ее преподавания в школах обычно так и объясняют). По моему личному опыту, метод математической индукции лучше. Я прочел в пятом или шестом (скорее, наверное, в пятом) классе несколько начальных разделов советской математической детской книжки "Метод математической индукции" и все понял. Мне кажется, это гораздо доходчивее, чем планиметрия.
Нет, мне не нужны были на том этапе какие-то специальные "идейные рассуждения" и способы "обнаружения фактов". Факт, что в таблице умножения n^2 - 1 = (n+1)(n-1) я обнаружил еще в первом-втором классе совершенно самостоятельно, методом перебора в голове таблицы умножения. Когда папа показал мне, как доказать это, раскрыв скобки, я был совершенно счастлив. То же, позже, и с доказательством формул по индукции. Вообще, нельзя "научить думать" или "научить быть умным"; можно только предлагать пищу для ума.
Если постановка задачи "научить математической строгости" не имеет смысла, то учебник, который мы здесь как бы обсуждаем, решает задачу, не имеющую смысла. Решая задачу, не имеющую смысла, хорошую работу сделать трудно. Поэтому вероятность, что учебник хорош, невелика (как я и отметил с самого начала). Может быть, университету Торонто нужен вводный курс математики для студентов, почти ничего не вынесших из школы, но в таком деле, действительно, главное — это постановка задачи.
Поставив задачу "отделить неспособных к предмету Икс + безнадежно испорченных предшествующим из рук вон скверным преподаванием предмета Икс — от способных, но не обученных; и обучить последних" — можно было бы поставить с головы на ноги все современное университетское преподавание вообще. Да и школьное тоже. Но для этого надо признать, что категория "неспособных" существует. Вокруг желания социалистов отрицать этот базовый факт, невзирая на разрушительные последствия его отрицания, вся борьба в преподавательском деле и ведется. До тех пор, пока базовый факт отрицается, все учебники будут эволюционировать от плохого к еще худшему."
***
> Кто будет отделять [способных от неспособных], когда и как?
"Отделять должна сама жизнь. То есть, рынок. То есть, свободный выбор людей, всех участников этой ситуации. Когда отделять берется государство, то и получается, как обычно получается, когда государство берется что-то делать."
Еще одна ветка из той же дискуссии, четыре коммента:
"Полная индукция — это метод математического доказательства, позволяющий доказывать вещи, без доказательства неочевидные.
Формула для корней квадратного уравнения вообще не требует доказательства как такового. Она не доказывается, а выводится. Это не математическое доказательство, а физический вывод формулы с помощью несложных выкладок, символьных преобразований."
***
"Как я понимаю предмет обсуждения (и цель обсуждаемого курса/учебника) — речь идет исключительно о том, как научить студентов понятию о математическом доказательстве. Дальнейшие сложности находятся на более высоком уровне и к предмету обсуждения не относятся."
***
> У меня подозрение, что одним понятие о математическом доказательстве дается даром, а другие принципиально не понимают, что это такое, сколько их не учить.
"Понятие о математическом доказательстве может даваться даром при наличии подходящего учебного материала, на котором оно могло бы сформироваться.
Условно говоря, если ребенок вообще не ходил в школу, а провел все детство, помогая родителям ловить рыбу — на мой скромный взгляд, в этом нет/не было бы ничего плохого, но понятие о математическом доказательстве у такого ребенка до поступления в университет не сформируется независимо от наличия врожденных способностей. Некоторые современные школы по качеству преподавания математики могут быть еще хуже, чем отсутствие школы.
Школьная планиметрия является умеренно подходящим материалом для формирования понятия о математическом доказательстве (смысл ее преподавания в школах обычно так и объясняют). По моему личному опыту, метод математической индукции лучше. Я прочел в пятом или шестом (скорее, наверное, в пятом) классе несколько начальных разделов советской математической детской книжки "Метод математической индукции" и все понял. Мне кажется, это гораздо доходчивее, чем планиметрия.
Нет, мне не нужны были на том этапе какие-то специальные "идейные рассуждения" и способы "обнаружения фактов". Факт, что в таблице умножения n^2 - 1 = (n+1)(n-1) я обнаружил еще в первом-втором классе совершенно самостоятельно, методом перебора в голове таблицы умножения. Когда папа показал мне, как доказать это, раскрыв скобки, я был совершенно счастлив. То же, позже, и с доказательством формул по индукции. Вообще, нельзя "научить думать" или "научить быть умным"; можно только предлагать пищу для ума.
Если постановка задачи "научить математической строгости" не имеет смысла, то учебник, который мы здесь как бы обсуждаем, решает задачу, не имеющую смысла. Решая задачу, не имеющую смысла, хорошую работу сделать трудно. Поэтому вероятность, что учебник хорош, невелика (как я и отметил с самого начала). Может быть, университету Торонто нужен вводный курс математики для студентов, почти ничего не вынесших из школы, но в таком деле, действительно, главное — это постановка задачи.
Поставив задачу "отделить неспособных к предмету Икс + безнадежно испорченных предшествующим из рук вон скверным преподаванием предмета Икс — от способных, но не обученных; и обучить последних" — можно было бы поставить с головы на ноги все современное университетское преподавание вообще. Да и школьное тоже. Но для этого надо признать, что категория "неспособных" существует. Вокруг желания социалистов отрицать этот базовый факт, невзирая на разрушительные последствия его отрицания, вся борьба в преподавательском деле и ведется. До тех пор, пока базовый факт отрицается, все учебники будут эволюционировать от плохого к еще худшему."
***
> Кто будет отделять [способных от неспособных], когда и как?
"Отделять должна сама жизнь. То есть, рынок. То есть, свободный выбор людей, всех участников этой ситуации. Когда отделять берется государство, то и получается, как обычно получается, когда государство берется что-то делать."
